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2016陕西工业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 陕西工业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、填空题(本大题满分 44 分,共 11 题,每题 4 分,只要求直接填写结果) 1、已知: a ? bi ? i ? i 4 (其中 a 、 b 为实数, i 为虚数单位)。则 a ? b ? ; 2、若 m ? loga 2 , n ? loga 3 ,则 a 2 m? n ? ; 3、已知: a ? {1,2} , b ? {x,1} ,且 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x ? ;

?

?

?

?

?

?

4、已知 f ( x) ? sin 2x ? 2 cos x , x ? [

? 2?
3 , 3

] 的最小值为;

5、在一个袋子里有 10 个红球和 2 个白球,现从中随机拿出 3 个,则其中至少有一个 白球的概率是 (用分数表示);

6、参数方程 ?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数方程)所表示的曲线的焦点的直角坐标是; ? y ? cos2?

7、经过点 A (a,0) ,( a ? 0 ),且与极轴正方向夹角为

? 的直线的极坐标方程为; 4

8、若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 ( a、b ? R ),始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周 长,则 ab 的最大值为;

9、已知:函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 1 ? ) ( a ? 0 )在区间 [1,??) 上单调递减,则实数 a
2

a x

取值范围是;

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10、数列 {an } 是等差数列,前 n 项和为 S n , S 2 ? 10 , S5 ? 55 ,则过点 P ( n,

Sn ), n

Q(n ? 2,

S n?2 ) 的直线斜率为; n?2

11、设集合 S n ? {1,2,3,?, n} ,若 Z ? S n ,则把 Z 的所有元素的乘积称为 Z 的容量 (若 Z 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0)。若

Z 的容量为奇(偶)数,则称为奇(偶)子集。若 n ? 4 ,则 S n 的所有奇子集的容量
之和为;

二、选择题(本大题满分 16 分,共 4 题,每题有且仅有一个正确答案) 12、 x ? 2 的必要非充分条件是……………………………………………………………() A、 x ? 1 ? 3 B、 x ? 1 ? 2 C、 x ? 1 ? 1 D、 x ? 1 ? 1

13、已知: sin 2? ? ? ,且

1 4

?
2

? ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? ? ……………………………()

A、

3 3 5 5 B、 ? C、 D、 ? 2 2 2 2

14、直线 a 在平面 M 内,则“平面 M ∥平面 N ”是“直线 a ∥在平面 N ”的………… () A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 15、函数 f ( x) 的反函数图像向左平移一个单位得到曲线 C ,函数 g ( x) 的图像与曲线

C 关于 y ? x 成轴对称,则 g ( x) 等于…………………………………………………………()

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A、 g ( x) ? f ( x) ? 1 B、 g ( x) ? f ( x ? 1) C、 g ( x) ? f ( x) ? 1 D、 g ( x) ? f ( x ? 1)

三、解答题 16、(本题满分 12 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 4 分)

若复数 z ? x ? yi ( x、y ? R ),且

x y 1 ? ? , i 是虚数单位 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

(1)求复数 z ; (2)求 z 。、

17、(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知:正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E、F 分别在底面正方形的边 AB 、

BC 上,且 AE ? CF ?

2 ,点 G 是棱 A1 B1 的中点。 3

(1)在图中画出经过三点正方体 E、F、G 的截面,并保留作图痕迹; (2)求(1)中的截面与底面 ABCD 所成锐二面角的大小;

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D1 C1

A1

G

B1

D C F A E B

18、(本题满分 14 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 10 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 1( n ? N ) (1)求数列 ?an ? 的通项; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 3 , bn?1 ? an ? bn ( n ? N ),求 ?bn ? 的通项及前 n 项和 Bn ;

19、(本题满分 16 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分) 已知:某型号进口仪器每台降价 x 成(1 成为 10 % ),那么售出数量就增加 mx成 ( m ? R ? 常数) (1)当某商场现在定价为每台 a 元,售出 b 台,试建立降价后的营业额 y 与每台降价

x 成的函数关系式,并求出 m ?

5 时,每台降价多少成时,营业额 y 最大? 4

(2)为使营业额增加,求 m 的取值范围。

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20、(本题满分 16 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分)

设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,图像关于直线 x ? 1 对称,且对 x1、x 2 ? [0, ] ,有

1 2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
??,f ( (1)设 f (1) ? a ,探求 f ( ),f ( ), 1 2 1 4 1 ) 的值; 2n

(2)求证: f ( x) 是以 2 为周期的函数,并将该命题加以推广。

21、(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分,第 3 小题 6 分) 已知:一椭圆两焦点坐标分别为 F1 (1 , 0) 、 F2 (?1, 0) ,且椭圆上一点 P 到两焦点的 距离和为 4 (1)求该椭圆的方程;
? ?

(2)设点 M 在椭圆上,且 MF 1 ? MF2 ? m ? 1 ,试把

?

?

MF1 ? MF2 MF1 ? MF2
? ?

表示为 m 的函数

f ( m) ;

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(3)试证:方程 f ( m) ? 2 sin

m 至多只有一个实数根。 2

参考答案
一、填空题(本大题满分 44 分,共 11 题,每题 4 分,只要求直接填写结果) 1、已知: a ? bi ? i ? i 4 (其中 a 、 b 为实数, i 为虚数单位)。则 a ? b ? 2 2、若 m ? loga 2 , n ? loga 3 ,则 a 2 m? n ? 12 ; ;

3、已知: a ? {1,2} , b ? {x,1} ,且 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x ?

?

?

?

?

?

?

1 ; 2

4、已知 f ( x) ? sin 2x ? 2 cos x , x ? [

? 2?
3 ,

1 ] 的最小值为 - ; 3 4

5、在一个袋子里有 10 个红球和 2 个白球,现从中随机拿出 3 个,则其中至少有一个 白球的概率是

5 (用分数表示); 11

6、参数方程 ?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数方程)所表示的曲线的焦点的直角坐标是 ? y ? cos2?

1 (1,- ) ; 2
7、经过点 A (a,0) ,( a ? 0 ),且与极轴正方向夹角为

? 的直线的极坐标方程为 4

? cos? ? ? sin ? ? a ;

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8、若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 ( a、b ? R ),始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周 长,则 ab 的最大值为

1 ; 4

9、已知:函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 1 ? ) ( a ? 0 )在区间 [1,??) 上单调递减,则实数 a
2

a x

取值范围是 ?- 1,0? ;

10、数列 {an } 是等差数列,前 n 项和为 S n , S 2 ? 10 , S5 ? 55 ,则过点 P ( n,

Sn ), n

Q(n ? 2,

S n?2 ) 的直线斜率为 2 n?2



11、设集合 S n ? {1,2,3,?, n} ,若 Z ? S n ,则把 Z 的所有元素的乘积称为 Z 的容量 (若 Z 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0)。若

Z 的容量为奇(偶)数,则称为奇(偶)子集。若 n ? 4 ,则 S n 的所有奇子集的容量
之和为 7 ;

二、选择题(本大题满分 16 分,共 4 题,每题有且仅有一个正确答案) 12、 x ? 2 的必要非充分条件是……………………………………………(A A、 x ? 1 ? 3 B、 x ? 1 ? 2 C、 x ? 1 ? 1 D、 x ? 1 ? 1 )

13、已知: sin 2? ? ? ,且

1 4

?
2

? ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? ? ……………………………( D )

A、

3 3 5 5 B、 ? C、 D、 ? 2 2 2 2

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14、直线 a 在平面 M 内,则“平面 M ∥平面 N ”是“直线 a ∥在平面 N ”的………… ( A ) A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 15、函数 f ( x) 的反函数图像向左平移一个单位得到曲线 C ,函数 g ( x) 的图像与曲线

C 关于 y ? x 成轴对称,则 g ( x) 等于…………………………………………………………(A
A、 g ( x) ? f ( x) ? 1 B、 g ( x) ? f ( x ? 1) C、 g ( x) ? f ( x) ? 1 D、 g ( x) ? f ( x ? 1) 三、解答题 16、(本题满分 12 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 4 分)



若复数 z ? x ? yi ( x、y ? R ),且

x y 1 ? ? , i 是虚数单位 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

(1)求复数 z ; (2)求 z 。、

(1) z=- +i

1 5

(2) z =

26 。 5

17、(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知:正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E、F 分别在底面正方形的边 AB 、

BC 上,且 AE ? CF ?

2 ,点 G 是棱 A1 B1 的中点。 3

(1)在图中画出经过三点正方体 E、F、G 的截面,并保留作图痕迹;

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(2)求(1)中的截面与底面 ABCD 所成锐二面角的大小;

arctg 6 2
A1

D1

C1

G

B1

18、(本题满分 14 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 10 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 1( n ? N ) (1)求数列 ?an ? 的通项;

D C F A E B

an ? 2n?1 (n ? N )
(2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 3 , bn?1 ? an ? bn ( n ? N ),求 ?bn ? 的通项及前 n 项和 Bn ;

bn ? 2n?1 ? 2, Bn ? 2n ? 2n ?1
19、(本题满分 16 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分) 已知:某型号进口仪器每台降价 x 成(1 成为 10 % ),那么售出数量就增加 mx成 ( m ? R ? 常数) (1)当某商场现在定价为每台 a 元,售出 b 台,试建立降价后的营业额 y 与每台降价

x 成的函数关系式,并求出 m ?

5 时,每台降价多少成时,营业额 y 最大? 4

解: y=a(1 ?

x mx )b(1 ? ), x ? ? 0,10? 10 10

当 m= 时,x=1,营业额最大,降价 1 成时。

5 4

(2)为使营业额增加,求 m 的取值范围。

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解:为使营业额增加, y=a(1 ?

x mx )b(1 ? ) ? ab, x ? ?0,10? 10 10

0<x ?

10(m ? 1) ,? m ? 1 m

20、(本题满分 16 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分)

设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,图像关于直线 x ? 1 对称,且对 x1、x 2 ? [0, ] ,有

1 2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
??,f ( (1)设 f (1) ? a ,探求 f ( ),f ( ), 1 2 1 4 1 ) 的值; 2n

(2)求证: f ( x) 是以 2 为周期的函数,并将该命题加以推广。 21、(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分,第 3 小题 6 分) 已知:一椭圆两焦点坐标分别为 F1 (1 , 0) 、 F2 (?1, 0) ,且椭圆上一点 P 到两焦点的 距离和为 4 (1)求该椭圆的方程;
? ?

(2)设点 M 在椭圆上,且 MF 1 ? MF2 ? m ? 1 ,试把

?

?

MF1 ? MF2 MF1 ? MF2
? ?

表示为 m 的函数

f ( m) ;
(3)试证:方程 f ( m) ? 2 sin

m 至多只有一个实数根。 2

解:(1)该椭圆的方程

x2 y 2 + ? 1; 4 3

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(2) f (m) ?

1 8 (m ? ), m ? ?1, 2? 4 m m 2

(3)(反证法) F (m)=f (m) ? 2sin

如果至少存在两个不相等的实数 m1, m2 ??1,2? ,不妨设

m1 ? m2 ,? f (m)与-2sin

m 在 ?1, 2? 上为减函数,? F (m )在?1,2? 上为减函数。 2 m 2

故 F (m1 ) ? F (m2 ) ,这与 F (m1 )=F (m2 )=0 相矛盾。因此,满足方程 f ( m) ? 2 sin 至多只有一个实数根。


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