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滕州市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

滕州市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 在抛物线 y2=2px(p>0)上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则该抛物线的准线方程为(



A.x=1 B.x= C.x=﹣1 D.x=﹣

?2x ? y ? 2 ? 0

2.

若变量

x,y

满足约束条件

? ?

x

?

2

y

?

4

?

0

,则目标函数

z

?

3x

?

2

y

的最小值为(

??x ?1 ? 0

A.-5

B.-4

C.-2

3. 已知 a>0,实数 x,y 满足:

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(

) D.3


A.2 B.1 C. D.

4.

+(a﹣4)0 有意义,则 a 的取值范围是(



A.a≥2 B.2≤a<4 或 a>4 C.a≠2 D.a≠4

5. 直线 2x+y+7=0 的倾斜角为( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在

6. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆

的切线,则椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

7. 已知 i 是虚数单位,则复数

等于( )

A.﹣ + i B.﹣ + i C. ﹣ i D. ﹣ i

8. 已知全集为 R ,集合 A ? ?x | x ? ?2或x ? 3?, B ? ??2,0, 2, 4? ,则 (?R A) B ? (

A.??2,0, 2?

B.??2, 2, 4?

C. ??2, 0, 3?


D.?0, 2, 4?

9. 棱台的两底面面积为 S1 、 S2 ,中截面(过各棱中点的面积)面积为 S0 ,那么(



A. 2 S0 ? S1 ? S2

B. S0 ? S1S2

C. 2S0 ? S1 ? S2

D. S02 ? 2S1S2

10.设集合 S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,则实数 a 的取值范围是( )

A.﹣3<a<﹣1 B.﹣3≤a≤﹣1 C.a≤﹣3 或 a≥﹣1 D.a<﹣3 或 a>﹣1

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11.sin570°的值是( )

A. B.﹣ C. D.﹣

12.设? , ? 是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )

A.若 l ? ? ,? ? ? ,则 l ? ? B.若 l //? , ? // ? ,则 l ? ?

C.若 l ? ? ,? // ? ,则 l ? ?

D.若 l //? ,? ? ? ,则 l ? ?

二、填空题

13.如图,正方形 O' A' B 'C ' 的边长为 1 cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图的

周长为 .

1111] 14.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 n 的值等于_________.

15.已知 a, b 为常数,若 f ? x? ? x2 ? 4x+3,f开?始ax ? b? ? x2 ?10x ? 24 ,则 5a ?b ? _________.

16.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 n ?1
量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=( )t﹣a(a 为常数),
S ? 5,T ? 1 如图所示,据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开 始,至少需要经过 小时后,学生才能回到S教?室T?. 否

是 S ?S?4

输出 n

T ? 2T

结束

n ? n?1

17.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分 750 分)X 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分.已知 P(400

<X<450)=0.3,则 P(550<X<600)=



18.已知 f (x) 是定义在 R 上函数, f ?(x) 是 f (x) 的导数,给出结论如下:

①若 f ?(x) ? f (x) ? 0 ,且 f (0) ? 1,则不等式 f (x) ? e?x 的解集为 (0, ??) ;

②若 f ?(x) ? f (x) ? 0 ,则 f (2015) ? ef (2014) ;

③若 xf ?(x) ? 2 f (x) ? 0 ,则 f (2n?1) ? 4 f (2n ), n ? N ? ;

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④若 f ?(x) ? f (x) ? 0 ,且 f (0) ? e ,则函数 xf (x) 有极小值 0 ; x

⑤若 xf ?(x) ? f (x) ? ex ,且 f (1) ? e ,则函数 f (x) 在 (0, ??) 上递增. x

其中所有正确结论的序号是



三、解答题

19.已知函数 f(x)=a﹣



(1)若 a=1,求 f(0)的值; (2)探究 f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若函数 f(x)为奇函数,判断|f(ax)|与 f(2)的大小.

20.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1A ? AB, CB ? A1ABB1 . (1)求证: AB1 ? 平面 A1BC ; (2)若 AC ? 5, BC ? 3, ?A1AB ? 60 ,求三棱锥 C ? AA1B 的体积.

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21.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式. (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能 使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元.(精确到 1 万元).
22.已知 f(x)=x3+3ax2+bx 在 x=﹣1 时有极值为 0. (1)求常数 a,b 的值; (2)求 f(x)在[﹣2,﹣ ]的最值.
23.如图所示,已知 + =1(a>>0)点 A(1, )是离心率为 的椭圆 C:上的一点,斜率为 的直 线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点不重合.
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(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ ABD 面积的最大值; (Ⅲ)设直线 AB、AD 的斜率分别为 k1,k2,试问:是否存在实数 λ,使得 k1+λk2=0 成立?若存在,求出 λ 的值;否则说明理由.
24.已知? 、 ? 、是三个平面,且? ? ? c , ? ? ? a ,? ? ? b ,且 a b ? O .求证:、
、三线共点.
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滕州市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由题意可得抛物线 y2=2px(p>0)开口向右, 焦点坐标( ,0),准线方程 x=﹣ , 由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为 4 的点到准线的距离等于 5, 即 4﹣(﹣ )=5,解之可得 p=2 故抛物线的准线方程为 x=﹣1. 故选:C. 【点评】本题考查抛物线的定义,关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线,属基础题. 2. 【答案】B 【解析】
试题分析:根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分,目标函数可转化直线系 y ? 3 x ? 1 z ,直线系在可 22
行域内的两个临界点分别为 A(0,2) 和 C(1,0) ,当直线过 A 点时, z ? 3x ? 2y ? ?2? 2 ? ?4 ,当直线过 C 点 时, z ? 3x ? 2y ? 3?1 ? 3,即的取值范围为[?4,3],所以 Z 的最小值为 ? 4 .故本题正确答案为 B.
考点:线性规划约束条件中关于最值的计算. 3. 【答案】 C 【解析】解:作出不等式对应的平面区域,(阴影部分) 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z,
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平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最小,此时 z 最小. 即 2x+y=1,



,解得



即 C(1,﹣1), ∵点 C 也在直线 y=a(x﹣3)上, ∴﹣1=﹣2a,
解得 a= .
故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

4. 【答案】B 【解析】解:∵

+(a﹣4)0 有意义,





解得 2≤a<4 或 a>4. 故选:B.

5. 【答案】C
【解析】【分析】设直线 2x+y+7=0 的倾斜角为 θ,则 tanθ=﹣2,即可判断出结论. 【解答】解:设直线 2x+y+7=0 的倾斜角为 θ, 则 tanθ=﹣2, 则 θ 为钝角. 故选:C.
6. 【答案】D
【解析】解:设 F2 为椭圆的右焦点

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由题意可得:圆与椭圆交于 P,并且直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线,

所以点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2.

又因为 F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以



根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,

所以|PF2|=2a﹣c.

所以 2a﹣c= ,所以 e=



故选 D.

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义.

7. 【答案】A

【解析】解:复数

=

=

故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

=



8. 【答案】A 【解析】

考点:1、集合的表示方法;2、集合的补集及交集.

9. 【答案】A

【解析】

试题分析:不妨设棱台为三棱台,设棱台的高为 2h 上部三棱锥的高为,根据相似比的性质可得:

???( ? ?(

a

a )2 ? S? ? 2h S a )2 ? S?

,解得

2

S0 ?

S?

S? ,故选 A.

?? a ? h S0

考点:棱台的结构特征.

10.【答案】A

【解析】解:∵S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,



,解得:﹣3<a<﹣1.

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故选:A. 11.【答案】B 【解析】解:原式=sin(720°﹣150°)=﹣sin150°=﹣ . 故选 B 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
12.【答案】 C 111]
【解析】
考 点:线线,线面,面面的位置关系
二、填空题 13.【答案】 8cm
【解析】
考点:平面图形的直观图.
14.【答案】 6 【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.第 1 次运行后, S ? 9,T ? 2, n ? 2, S ? T ;第 2 次运行后, S ? 13,T ? 4, n ? 3, S ? T ; 第 3 次 运 行 后 , S ? 17,T ? 8, n ? 4, S ? T ; 第 4 次 运 行 后 , S ? 21,T ? 16, n ? 5, S ? T ;第 5 次运行后,S ? 25,T ? 32, n ? 6, S ? T ,此时跳出循环,输出结果 n ? 6 程
序结束.
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15.【答案】 【解析】
试题分析:由 f ? x? ? x2 ? 4x+3,f ?ax ? b? ? x2 ?10x ? 24 ,得 (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x2 ?10x ? 24 ,
?a2 ? 1 即 a2x2 ? 2abx ? b2 ? 4ax ? 4b ? 3 ? x2 ?10x ? 24 ,比较系数得 ??2ab ? 4a ? 10 ,解得 a ? ?1,b ? ?7 或
??b2 ? 4b ? 3 ? 24 a ? 1,b ? 3,则 5a ?b ? .
考点:函数的性质及其应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用,其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算,求解解析式 中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及
推理与运算能力,试题有一定难度,属于中档试题,本题的解答中化简 f (ax ? b) 的解析式是解答的关键.
16.【答案】0.6 【解析】解:当 t>0.1 时,可得 1=( )0.1﹣a
∴0.1﹣a=0 a=0.1 由题意可得 y≤0.25= ,
即( )t﹣0.1≤ ,
即 t﹣0.1≥
解得 t≥0.6, 由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. 故答案为:0.6 【点评】本题考查函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力.易错点:只单纯解不等式,而忽略题意, 得到其他错误答案.
17.【答案】 0.3 .
【解析】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】确定正态分布曲线的对称轴为 x=500,根据对称性,可得 P(550<ξ<600). 【解答】解:∵某校高三学生成绩(总分 750 分)ξ 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分, ∴正态分布曲线的对称轴为 x=500, ∵P(400<ξ<450)=0.3,
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∴根据对称性,可得 P(550<ξ<600)=0.3.

故答案为:0.3.

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,正确运用正态分布曲线的对称性是关键.

18.【答案】②④⑤

【解析】解析:构造函数 g(x) ? ex f (x) , g?(x) ? ex[ f (x) ? f ?(x)] ? 0 , g(x) 在 R 上递增,

∴ f (x) ? e?x ? ex f (x) ? 1 ? g(x) ? g(0) ? x ? 0 ,∴①错误;

构造函数 g(x) ?

f (x) ex



g?(

x)

?

f ?(x) ? ex

f (x)

? 0 , g(x) 在 R 上递增,∴ g(2015) ? g(2014) ,

∴ f (2015) ? ef (2014) ∴②正确;

构造函数 g(x) ? x2 f (x) , g?(x) ? 2xf (x) ? x2 f ?(x) ? x[2 f (x) ? xf ?(x)] ,当 x ? 0 时, g?(x) ? 0 ,∴

g(2n?1) ? g(2n ) ,∴ f (2n?1) ? 4 f (2n ) ,∴③错误;

由 f ?(x) ? f (x) ? 0 得 xf ?(x) ? f (x) ? 0 ,即 ? xf (x)?? ? 0 ,∴函数 xf (x) 在 (0, ??) 上递增,在 (??, 0) 上递

x

x

x

减,∴函数 xf (x) 的极小值为 0? f (0) ? 0 ,∴④正确;

由 xf ?(x) ? f (x) ? ex 得 f ?(x) ? ex ? xf (x) ,设 g(x) ? ex ? xf (x) ,则

x

x2

g?(x) ? ex ? f (x) ? xf ?(x) ? ex ? ex ? ex (x ?1) ,当 x ?1时, g?(x) ? 0 ,当 0 ? x ?1时, g?(x) ? 0 ,∴当 xx

x ? 0 时, g(x) ? g(1) ? 0 ,即 f ?(x) ? 0 ,∴⑤正确.

三、解答题

19.【答案】

【解析】解:(1)a=1 时:f(0)=1﹣

=;

(2)∵f(x)的定义域为 R∴任取 x1x2∈R 且 x1<x2

则 f(x1)﹣f(x2)=a﹣

﹣a+

=



∵y=2x 在 R 是单调递增且 x1<x2 ∴0<2x1<2x2,∴2x1﹣2x2<0, 2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上单调递增. (3)∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x),

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即 a﹣

=﹣a+



解得:a=1. ∴f(ax)=f(x) 又∵f(x)在 R 上单调递增 ∴x>2 或 x<﹣2 时:|f(x)|>f(2), x=±2 时:|f(x)|=f(2), ﹣2<x<2 时:|f(x)|<f(2). 【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题.在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单 调性定义的应用以及问题转化的能力.值得同学们体会和反思.

20.【答案】(1)证明见解析;(2) 4 3 .
【解析】
试题分析:(1)有线面垂直的性质可得 BC ? AB1 ,再由菱形的性质可得 AB1 ? A1B ,进而有线面垂直的判 定定理可得结论;(2)先证三角形 A1 AB 为正三角形,再由于勾股定理求得 AB 的值,进而的三角形 A1 AB 的 面积,又知三棱锥的高为 BC ? 3,利用棱锥的体积公式可得结果.

考 点:1、线面垂直的判定定理;2、勾股定理及棱锥的体积公式. 21.【答案】 【解析】解:(1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2 ,(k1,k2≠0;x≥0) 由图知 f(1)= ,∴k1= 又 g(4)= ,∴k2= 从而 f(x)= ,g(x)= (x≥0)
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(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10﹣x 万元,设企业的利润为 y 万元

y=f(x)+g(10﹣x)=

,(0≤x≤10),



,∴

(0≤t≤ )

当 t= ,ymax≈4,此时 x=3.75
∴当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元. 【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题.解题 的关键是换元,利用二次函数的求最值的方法求解.

22.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)=x3+3ax2+bx, ∴f'(x)=3x2+6ax+b, 又∵f(x)在 x=﹣1 时有极值 0, ∴f'(﹣1)=0 且 f(﹣1)=0, 即 3﹣6a+b=0 且﹣1+3a﹣b=0, 解得:a= ,b=1 经检验,合题意. (2)由(1)得 f'(x)=3x2+4x+1, 令 f'(x)=0 得 x=﹣ 或 x=﹣1,
又∵f(﹣2)=﹣2,f(﹣ )=﹣ ,f(﹣1)=0,f(﹣ )=﹣ ,
∴f(x)max=0,f(x)min=﹣2.

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵ ∴b2=c2
∴椭圆方程为 + =1

,∴a= c,

又点 A(1, )在椭圆上,



=1,

∴c2=2 ∴a=2,b= ,

∴椭圆方程为

=1 …

第 13 页,共 14 页

(Ⅱ)设直线 BD 方程为 y= x+b,D(x1,y1),B(x2,y2), 与椭圆方程联立,可得 4x2+2 bx+b2﹣4=0 △=﹣8b2+64>0,∴﹣2 <b<2
x1+x2=﹣ b,x1x2=

∴|BD|=

=



设 d 为点 A 到直线 y= x+b 的距离,∴d=

∴△ABD 面积 S=



=

当且仅当 b=±2 时,△ABD 的面积最大,最大值为 …

(Ⅲ)当直线 BD 过椭圆左顶点(﹣ ,0)时,k1=

=2﹣ ,k2=

此时 k1+k2=0,猜想 λ=1 时成立.

= ﹣2

证明如下:k1+k2=

+

=2 +m

=2 ﹣2 =0

当 λ=1,k1+k2=0,故当且仅当 λ=1 时满足条件… 【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用,考查存在性问题的处理方法,椭圆方程的求法,韦达定理的应 用,考查分析问题解决问题的能力.

24.【答案】证明见解析. 【解析】

考点:平面的基本性质与推论.
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