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夏县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试

精选高中模拟试卷

夏县第四高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1 ? 1 x ? , x ? [0, ) ? ? 2 2 1. 已知函数 f ( x) ? ? ,若存在常数使得方程 f ( x) ? t 有两个不等的实根 x1 , x2 ?3 x 2 , x ? [ 1 ,1] ? ? 2 ( x1 ? x2 ),那么 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围为( )
A. [ ,1)

姓名__________

分数__________

3 4

B. [ ,

1 3 ) 8 6

C. [

3 1 , ) 16 2


D. [ , 3)

3 8

2. 设数集 M={x|m≤x≤m+ },N={x|n﹣ ≤x≤n},P={x|0≤x≤1},且 M,N 都是集合 P 的子集,如果把 b ﹣a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是( A. B. C. D.

3. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线 l 的倾斜角),以原点 O 为极点, x 轴 ? ? y ? 3 ? t sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ?

?

3

) ,直线 l 与圆 C 的两个交点为 A, B ,当
2? 3
) D.2 C.1

| AB | 最小时, ? 的值为(
A. ? ?



?
4

B. ? ?

?
3

C. ? ?

3? 4

D. ? ?

4. 一个骰子由 1~6 六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“”处的数字是( A.6 B.3

5. 函数 f ( x) = ln x + A. (0,??)

1 2 x + ax 存在与直线 3x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( 2 B. (??,2) C. (2,??) D. (??,1]



【命题意图】 本题考查导数的几何意义、 基本不等式等基础知识, 意在考查转化与化归的思想和基本运算能力.

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6. 如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为(



A.11

B.11.5 C.12

D.12.5 )

7. 一个几何体的三视图如图所示,如果该几何体的侧面面积为 12π,则该几何体的体积是(

A.4π

B.12π

C.16π

D.48π )

8. 在△ ABC 中,C=60°,AB= A. B.5 C.3 D.

,AB 边上的高为 ,则 AC+BC 等于(

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 9. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最小值为( ?x ?1 ? 0 ?
A.-5 B.-4 C.-2 ,c=2,cosA= ,则 b=( 10.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a= A. B. C.2 D.3

) D.3 ) ) D. y ? x ? z

11.已知 x, y , z 均为正实数,且 2x ? ? log 2 x , 2? y ? ? log2 y , 2? z ? log2 z ,则( A. x ? y ? z A.k360°+463° B. z ? x ? y ) D.k360°﹣257° B.k360°+103° C. z ? y ? z C.k360°+257° 12.与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)(

二、填空题
13.设某总体是由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 6 个个体,选取方 法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第 6 个个体编号为 ________.

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1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识,意在考查统计的思想. 14.若全集 ,集合 ,则 。 .

15.已知两个单位向量 a, b 满足: a ? b ? ?

1 ,向量 2a ? b 与的夹角为,则 cos ? ? 2


16.在等差数列{an}中,a1,a2,a4 这三项构成等比数列,则公比 q=

17.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 为 AB 的中点,CE=3,异面直线 A1C1 与 CE 所成角的余弦值为 ,且四边形 ABB1A1 为正方形,则球 O 的直径为 上的函数 满足 . , 为 的导函数,且

18.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】定义在



恒成立,则

的取值范围是__________________.

三、解答题
19.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人,女性中有 43 人主要 的休闲方式是看电视,其余人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,其余人主要 的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为休闲方式与性别有关系.独立性检验观察值计算公式 ,独立性检验临界值表: P(K2≥k0)0.50 0.25 0.15 0.05 0.0250.01 k0 0.4551.3232.0723.8415.0246.635 0.005 7.879

20.已知函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},且对定义域内的任意 x,y 都有 f(x﹣y)= 成立,且 f(1)=1,当 0<x<2 时,f(x)>0. (1)证明:函数 f(x)是奇函数;

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(2)试求 f(2),f(3)的值,并求出函数 f(x)在[2,3]上的最值.

21.(本小题满分 12 分)已知在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且

(sin A ? sin B)(b ? a) ? s i n C( 3b ? c) .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c .

22.(本小题满分 12 分) 已知平面向量 a ? (1, x) , b ? (2x ? 3, ? x) , ( x ? R) . (1)若 a / / b ,求 | a ? b | ; (2)若与夹角为锐角,求的取值范围.

23.某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试.甲、乙两人参加了 5 次考试,成绩如下:

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甲的成绩 乙的成绩

第一次 82 75

第二次 87 90

第三次 86 91

第四次 80 74

第五次 90 95

(Ⅰ)若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛,你认为选谁合适?写出你认为合适的人选并说明理由; (Ⅱ)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过 5 分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述 5 次摸底考试成绩 统计,任意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率.

24.已知椭圆: 于 M,N 两点,且△ F2MN 的周长为 4. (Ⅰ)求椭圆方程;

,离心率为

,焦点 F1(0,﹣c),F2(0,c)过 F1 的直线交椭圆

m) B且 (Ⅱ) 直线 l 与 y 轴交于点 P (0, (m≠0) , 与椭圆 C 交于相异两点 A, 求 m 的取值范围.

. 若



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夏县第四高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】

3 1 3 1 ? t ?1, 由x? ? , 可得 x ? , 4 2 4 4 1 1 3 1 1 1 3 2 2 由 1 ? 3x ,可得 x ? (负舍),即有 ? x1 ? , ? x2 ? ,即 ? x2 ? ,则 4 3 3 4 2 2 3 ? 3 1? x1 f ? x2 ? ? 3x1 ? 3x2 2 ? ? , ? .故本题答案选 C. ?16 2 ?
试题分析: 由图可知存在常数, 使得方程 f ? x ? ? t 有两上不等的实根, 则

考点:数形结合. 【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个 常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对 数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象. 2. 【答案】C 【解析】解:∵集 M={x|m≤x≤m+ },N={x|n﹣ ≤x≤n}, P={x|0≤x≤1},且 M,N 都是集合 P 的子集, ∴根据题意,M 的长度为 ,N 的长度为 , 当集合 M∩N 的长度的最小值时, M 与 N 应分别在区间[0,1]的左右两端, 故 M∩N 的长度的最小值是 故选:C. 3. 【答案】A
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=



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【解析】解析:本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系.在直角坐标系中,圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,直线 l 的普通方程为 y ? 3 ? tan? (x ? 1),直线 l 过定点 M (1, 3) ,∵

| MC |? 2 ,∴点 M 在圆 C 的内部.当 | AB | 最小时,直线 l ? 直线 MC , kMC ? ?1 ,∴直线 l 的斜率为1 ,∴ ? ? ? ,选 A. 4
4. 【答案】A 【解析】 试题分析:根据与相邻的数是 1, 4,3 ,而与相邻的数有 1, 2,5 ,所以 1,3,5 是相邻的数,故“?”表示的数是, 故选 A. 考点:几何体的结构特征. 5. 【答案】D 【解析】因为 f ?( x) ? 因为 x +

1 1 ? x ? a ,直线的 3x ? y ? 0 的斜率为 3 ,由题意知方程 ? x ? a ? 3 ( x > 0 )有解, x x

1 ? 2 ,所以 a ? 1 ,故选 D. x

6. 【答案】C 【解析】解:由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以 x 为 2,所以由图可估计样本重量的中位数是 12. 故选:C. 7. 【答案】B 【解析】解:由三视图可知几何体是底面半径为 2 的圆柱, ∴几何体的侧面积为 2π×2×h=12π,解得 h=3,
2 ∴几何体的体积 V=π×2 ×3=12π.

故选 B. 【点评】本题考查了圆柱的三视图,结构特征,体积,表面积计算,属于基础题. 8. 【答案】D 【解析】解:由题意可知三角形的面积为 S= = = AC?BCsin60°,

2 2 2 2 ∴AC?BC= .由余弦定理 AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos60°=(AC+BC) ﹣3AC?BC,

∴(AC+BC) ﹣3AC?BC=3,
2 ∴(AC+BC) =11. ∴AC+BC=

2

故选:D

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【点评】本题考查解三角形,三角形的面积与余弦定理的应用,整体法是解决问题的关键,属中档题. 9. 【答案】B 【解析】

3 1 x ? z ,直线系在可 2 2 行域内的两个临界点分别为 A(0,2) 和 C (1,0) ,当直线过 A 点时, z ? 3x ? 2 y ? ?2 ? 2 ? ?4 ,当直线过 C 点 时, z ? 3x ? 2 y ? 3 ?1 ? 3 ,即的取值范围为 [?4,3] ,所以 Z 的最小值为 ? 4 .故本题正确答案为 B.
试题分析:根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分,目标函数可转化直线系 y ?

考点:线性规划约束条件中关于最值的计算. 10.【答案】D 【解析】解:∵a= ,c=2,cosA= , =
2 ,整理可得:3b ﹣8b﹣3=0,

∴由余弦定理可得:cosA= = ∴解得:b=3 或﹣ (舍去). 故选:D. 11.【答案】A 【解析】

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考 点:对数函数,指数函数性质. 12.【答案】C 【解析】解:与﹣463°终边相同的角可以表示为:k360°﹣463°,(k∈Z) 即:k360°+257°,(k∈Z) 故选 C 【点评】本题考查终边相同的角,是基础题.

二、填空题
13.【答案】19 【解析】由题意可得,选取的这 6 个个体分别为 18,07,17,16,09,19,故选出的第 6 个个体编号为 19. 14.【答案】{ |0< <1} 【解析】∵ 15.【答案】 ? 【解析】 ,∴ { |0< <1}。

2 7 . 7

考点:向量的夹角. 【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1) 求平面向量的数量积有三种方法: 一是定义 a ? b ? a b cos ? ; 二是坐标运算公式 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ;

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三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 16.【答案】 2 或 1 .

【解析】解:设等差数列{an}的公差为 d,
2 则可得(a1+d) =a1(a1+3d)

解得 a1=d 或 d=0 ∴公比 q= =2 或 1.

故答案为:2 或 1. 【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质,属基础题. 17.【答案】 4 或 .

【解析】解:设 AB=2x,则 AE=x,BC= ∴AC= , ×



2 2 由余弦定理可得 x =9+3x +9﹣2×3×



∴x=1 或 或 AB=2

, ,球 O 的直径为 ,球 O 的直径为 . =4, = . ,BC=

∴AB=2,BC=2 故答案为:4 或

18.【答案】

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【解析】



睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上 看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起 到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这 是非常必要的。根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧。许多问 题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效。

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1) 看电视 男性21 女性43 合计64 (2) 所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为休闲方式与性别有关系﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 运动 33 27 60 合计 54 70 124

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【点评】 独立性检验是考查两个分类变量是否有关系, 并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的 统计方法,主要是通过 k 的观测值与临界值的比较解决的 20.【答案】 【解析】(1)证明:函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称. 又 f(x﹣y)= ,
2

所以 f(﹣x)=f[(1﹣x)﹣1]=

=

=

=

=

=



故函数 f(x)奇函数. (2)令 x=1,y=﹣1,则 f(2)=f[1﹣(﹣1)]= 令 x=1,y=﹣2,则 f(3)=f[1﹣(﹣2)]= ∵f(x﹣2)= ∴f(x﹣4)= 则函数的周期是 4. 先证明 f(x)在[2,3]上单调递减,先证明当 2<x<3 时,f(x)<0, 设 2<x<3,则 0<x﹣2<1, 则 f(x﹣2)= 设 2≤x1≤x2≤3, 则 f(x1)<0,f(x2)<0,f(x2﹣x1)>0, 则 f(x1)﹣f(x2)= ∴f(x1)>f(x2), 即函数 f(x)在[2,3]上为减函数, 则函数 f(x)在[2,3]上的最大值为 f(2)=0,最小值为 f(3)=﹣1. , ,即 f(x)=﹣ <0, = , , = = = , ,

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【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及函数的最值及其几何意义等有关知识,综合性较强,难度较 大. 21.【答案】解:(Ⅰ)由正弦定理及已知条件有 b 2 ? a 2 ?

3bc ? c 2 , 即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc . ? b2 ? c2 ? a2 3 6分 由余弦定理得: cos A ? ,又 A ? (0, ? ) ,故 A ? . ? 6 2bc 2 1 8分 (Ⅱ) ? ?ABC 的面积为 3 ,? bc sin A ? 3 ,? bc ? 4 3 ①, 2 10 分 又由(Ⅰ) b 2 ? a 2 ? 3bc ? c 2 及 a ? 2, 得 b 2 ? c 2 ? 16 ,② 12 分 由 ①②解得 b ? 2, c ? 2 3 或 b ? 2 3, c ? 2 .
(0,3) .

3分

22.【答案】(1)2 或 2 5 ;(2) (?1, 0) 【解析】

试题分析:(1)本题可由两向量平行求得参数,由坐标运算可得两向量的模,由于有两解,因此模有两个值; (2)两向量 a, b 的夹角为锐角的充要条件是 a ? b ? 0 且 a, b 不共线,由此可得范围. 试题解析:(1)由 a / / b ,得 x ? 0 或 x ? ?2 , 当 x ? 0 时, a ? b ? (?2,0) , | a ? b |? 2 , 当 x ? ?2 时, a ? b ? (2, ?4) , | a ? b |? 2 5 .
2 (2)与夹角为锐角, a ? b ? 0 , ? x ? 2 x ? 3 ? 0 , ?1 ? x ? 3 ,

又因为 x ? 0 时, a / / b , 所以的取值范围是 (?1, 0)

(0,3) .

考点:向量平行的坐标运算,向量的模与数量积. 【名师点睛】 由向量的数量积 a ? b ? a b cos ? 可得向量的夹角公式, 当为锐角时,cos ? ? 0 , 但当 cos ? ? 0 时,可能为锐角,也可能为 0(此时两向量同向),因此两向量夹角为锐角的充要条件是

a ?b a b

? 0 且 a, b 不同

向,同样两向量夹角为钝角的充要条件是 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)解法一: 依题意有 ,

a ?b a b

? 0 且 a, b 不反向.

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答案一:∵ 答案二:∵

∴从稳定性角度选甲合适. 乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适.

(注:按(Ⅱ)看分数的标准,5 次考试,甲三次与乙相当,两次优于乙,所以选甲合适.

解法二:因为甲 5 次摸底考试成绩中只有 1 次 90,甲摸底考试成绩不低于 90 的概率为 ; 乙 5 次摸底考试成绩中有 3 次不低于 90,乙摸底考试成绩不低于 90 的概率为 . 所以选乙合适. (Ⅱ)依题意知 5 次摸底考试,“水平相当”考试是第二次,第三次,第五次,记为 A,B,C.“水平不相当” 考试是第一次,第四次,记为 a,b. 从这 5 次摸底考试中任意选取 2 次有 ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC 共 10 种情况. 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共 aA,aB,aC,bA,bB,bC 共 6 种情况. ∴5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率 化归转化思想、或然与必然思想. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意,4a=4, ∴a=1,c= ∴ , = , ; = , .

【点评】本题主要考查平均数,方差,概率等基础知识,运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查

∴椭圆方程方程为

(Ⅱ)设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1),B(x2,y2) 由
2 2 2 得(k +2)x +2kmx+(m ﹣1)=0

2 2 2 2 2 △=(2km) ﹣4(k +2)(m ﹣1)=4(k ﹣2m +2)>0(*)

∴x1+x2=﹣ ∵ ∴λ=3 ∴﹣x1=3x2 ,

,x1x2=

, ,

2 ∴x1+x2=﹣2x2,x1x2=﹣3x2 ,

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2 ∴3(x1+x2) +4x1x2=0,

∴3(﹣

2 ) +4?

=0,

2 2 2 2 整理得 4k m +2m ﹣k ﹣2=0

m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,
2 2 由(*)式得 k >2m ﹣2



∵k≠0, ∴ >0,

∴﹣1<m<﹣ 或 <m<1 即所求 m 的取值范围为(﹣1,﹣ )∪( ,1). 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题.直线和圆锥曲线的综合题是高考 的重点题目,要强化学习.

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