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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第8课 一元二次不等式的解课件 文


考纲要求
1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的 二次函数、一元二次方程的联系. 2.会解一元二次不等式.

知识梳理
1.一元一次不等式 ax ? b(a ? 0)

b {x | x ? } ① a ? 0 时,原不等式的解集为 a .
b {x | x ? } ② a ? 0 时,原不等式的解集为 a .

2.一元二次不等式的解集:

? ? b2 ? 4ac
y ? ax 2 ? bx ? c

??0

??0

??0
y

(a ? 0) 的图象 ax2 ? bx ? c ? 0
的根 有两不等实根 有两相等实根

O

x

O

O

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

b x1 ? x2 ? ? 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}

b {x x ? ? } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

?

?

3.设 a ? b ,则

( x ? a)( x ? b) ? 0 的解集为{x | x ? a,或x ? b} . ( x ? a)( x ? b) ? 0 的解集为 {x | a ? x ? b}


x?a ? 0 的解集为 {x | x ? a,或x ? b} . x ?b x?a ? 0 的解集为 {x | a ? x ? b} . x ?b

基础自测
x ?1 1. (2012 重庆高考)不等式 ? 0 的解集是( x?2
A. (1, ??) C. (?2,1) B. (? ?, ?2 ) D. (??, ?2) ? (1, ??) )

【答案】C

2. (2012 西城一模)已知集合 A ? {x | x ? 1} ,

B ? {x | x ? 4} ,那么 A ? B ? (
2



A. (?2, 2) C. (1, 2)

B. (?1, 2) D. (1, 4)

【答案】C 【解析】∵ B ? {x | x ? 4} ? (?2, 2) ,
2

∴ A ? B ? (1, 2) .

3. (2012 密云一模) 设集合 M ? {x | x ? 1} ,P ? {x | x ? 1} ,
2

则下列关系中正确的是( A. M ? P C. M ? P ? M

) B. M ? P? P D. M ? P? P

【答案】B 【解析】∵ P ? {x | x ? ?1, 或x ? 1} , ∴M ?P ? P.

4. (2012 北京高考)已知集合 A ? {x ? R | 3x ? 2 ? 0} ,

B ? {x ? R | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? (
A. (??, ?1)



2 B. (?1, ? ) 3
D. (3, ??)

2 C. ( ? ,3) 3
【答案】D

2 【解析】∵ A ? {x | x ? ? } , 3
B ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} ,
∴ A ? B ? {x | x ? 3} .

典例剖析
考点1 一元二次不等式的解法

【例 1】解下列不等式: (1) 2 ? 3x ? 2 x ? 0 ; (2) ?3x ? 6 x ? 2 .
2 2

【解析】 (1)原不等式可化为 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ,
2

1 ∴ (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ ? ? x ? 2 , 2
? 1 ? ∴原不等式的解集为 ? x ? ? x ? 2 ? . 2 ? ?

(2)原不等式可化为 3x ? 6 x ? 2 ? 0 ,
2

∵ ? ? 0 ,方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的两根是
2

3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? , 3 3

? 3 3? ? ? ∴原不等式的解集为 ? x x ? 1 ? ,或x ? 1 ? ?. 3 3 ? ? ? ?

【变式】 (2012 西城一模)已知全集 U ? R ,集合

? 1 ? A ? ? x | ? 1? ,则 ?U A ? ( ? x ?
A. (0,1) C. (??,0] ? (1, ??)



B. (0,1] D. (? ?, 0? )

[ 1,? ) ?

【答案】C

? 1 ? ? x ?1 ? 【解析】∵ A ? ? x | ? 1? ? ? x | ? 0? x ? x ? ? ?
? ? x | 0 ? x ? 1? ,
∴ ? A ? (??,0] ? (1, ??) . U

考点2 含参数的一元二次不等式的解法

【例 2】 解关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ( a ? R ).

【解析】分以下情况讨论 当 a ? 0 时,原不等式变为 ? x ? 1? 0 ,∴ x ? 1 . 当 a ? 0 时,原不等式变为 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 ①

1 当 a ? 0 时,①式变为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 , a 1 ∴不等式的解为 x ? 1 ,或 x ? . a 1 当 a ? 0 时,①式变为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 . a 1 1 当 0 ? a ? 1 ,即 ? 1 时,则 1 ? x ? . a a

1 当 a ? 1 ,即 ? 1 时,则 x ?? . a

1 1 当 a ? 1 ,即 ? 1 时,则 ? x ? 1 . a a ? 1 ? 综上:当 a ? 0 时,不等式的解集为 ? x x ? ,或x ? 1? ; a ? ? 当 a ? 0 时,不等式的解集为 ? x x ? 1? ;
? 1? 当 0 ? a ? 1时,不等式的解集为 ? x 1 ? x ? ? . a? ? 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? . ? 1 ? 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? x ? x ? 1? . ? a ?

【变式】 (2012 潍坊联考)关于 x 的不等式 ax ? b 的解集是

ax ? b (1, ??) ,则关于 x 的不等式 ? 0 的解集是( x?2
A. (??, ?1) ? (2, ??) C. (1, 2) B. (?1, 2) D. (??,1) ? (2, ??)



【答案】A 【解析】 x 的不等式 ax ? b 的解集是 (1, ??) , a ? b ? 0 , ∵ ∴

ax ? b x ?1 ∴ ? 0 可化为 ? 0 ,∴ x ? ?1 或 x ? 2 . x?2 x?2

考点3 一元二次不等式恒成立问题

【例 3】已知关于 x 的不等式: ax ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 的解集为
2

R,求 a 的取值范围.

【解析】当 a ? 0 时,得 x ? ?1 ,不符合题意,

?a ? 0 ?a ? 0 当 a ? 0 时,则 ? ,即 ? , 2 ?? ? 0 ?(a ? 1) ? 4a(a ? 1) ? 0

?a ? 0 1 ∴? 2 ,解得 a ? ? . 3 ?3a ? 2a ? 1 ? 0

1 ∴ a 的取值范围是 (??, ? ) . 3

【变式】 (2012 南宁模拟)在 R 上定义运算*: x ? y ? x(1 ? y) , 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意 x 恒成立,则 a 的取值 范围是( ) B. 0 ? a ? 2

A. ? 1 ? a ? 1

1 3 C. ? ? a ? 2 2

3 1 D. ? ? a ? 2 2

【答案】C 【解析】∵ ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意 x 恒成立, 即 ( x ? a)(1 ? x ? a) ? 1 对任意 x 恒成立, ∴ x ? x ? a ? a ? 1 ? 0 恒成立,
2 2

∴ ? ? 1 ? 4(?a ? a ? 1) ? 0 ,
2

1 3 ∴? ? a ? . 2 2

归纳反思
1.解一元二次不等式的基本步骤: (1)整理系数,使二次项的系数为正数; (2)尝试用“十字相乘法”分解因式; (3)计算“ ? ? b ? 4ac ” ① ? ? 0 时,求得根 x1 < x 2 ,
2

② ? ? 0 时,求得根 x1 ? x2 , ③ ? ? 0 时,方程无解; (4)结合二次函数的图象特征写出解集. 2.解含参数不等式的基本途径是分类讨论: (1)要考虑参数的总体取值范围; (2)要在同一标准下对参数进行划分,做到不重不漏.


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