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数列求和教学教案

数列求和
一、分组求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。 例 1:Sn=-1+3-5+7-?+(-1)n(2n-1) 解法:按 n 为奇偶数进行分组,连续两项为一组。 当 n 为奇数时: Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+?+(-2n+1) =2×

n ?1 +(-2n+1) 2

=-n 当 n 为偶数时: Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+?+[(-2n+3)+(2n+1)] =2× =n ∴Sn=

n 2
-n (n 为奇数) n (n 为偶数)

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
练习:求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a S n ? (1 ?

(分组) (分组求和)

二、错位相减:这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {2n· bn}的前 n 项和,其中{ 2n }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。

例 2:求数列 2,2×22,3×23,4×24,?,n×2n, ?的前 n 项和。 解: Sn=2+2×22+3×23+4×24+?+ n×2n ∴2Sn= 22+2 ×23+3 ×24+?+n×2n+1 ∴(1-2) Sn=2+ 22+ 23+?+2n- n×2n+1 =

2 ? 2n?1 ? n2n?1 1? 2

n ? Sn ? ( n ? 1) 2 ?1 ? 2

1

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 ∴ S n ? 4 ? n ?1 2
练习:求数列

(设制错位) (错位相减)

三、倒序相加法:如果一个数列中,与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数” 之和)等于首末两项 之和(或等于首末两项“系数” 之和) 那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加,从 , 而可求出数列的前 n 和. 例 3 已知函数 f ( x) ?

1 3
x ?1

?1 n ?1 n an ?1 ? f ( ), an ? f ( ) ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n . n n
1 3x ?1 ? 1 31? x ? 1 ? 1
=

,数列 ? an ? 中,a1 ? f ( ), a2 ? f ( ), a3 ? f ( ) ,? ak ? f ( ) ,?,

1 n

2 n

3 n

k n

解: f ( x) ? f (1 ? x) ?

3x ?1 ?1, 3x ?1 ? 1 1 ? 3x ?1 1 ?

1 2 3 n ?1 n Sn ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ??? + f ( )+ f ( ), n n n n n 1 2 3 n ?1 设 S ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f ( ) n n n n n ?1 n?2 2 1 把上式右边倒序得: S ? f ( )? f ( ) ? ??? ? f ( ) ? ? f ( ) n n n n 1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 两式相加得 2S ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] + ? + [ f ( ) ? f ( )] n n n n n n = n ?1 ? n , n ∴S ? 2 n n 1 ∴ Sn ? S ? f ( ) ? ? f (1) ? (n ? 1) . n 2 2

2

四、裂项法求和:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: 例 4:求数列

1 1 1 1 , , ,?, ,?的前 n 项和 S n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

解:∵

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2
1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 2 ? 4 ) ? ? ? ? ? ( n ? n ? 2 )? 2? ?

Sn=

=

1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ) = ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2n ? 2 2n ? 4
1 } 的前 n 项和 S n . n ?1 ? n
n ? 1 ? n ,所以

例 5 求数列 {

解:因为 an ?

S n =( 2 ? 1 )+( 3 ? 2 )+( 4 ? 3 )+?+( n ? 1 ? n )= n ? 1 ? 1 .
例 6.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? S n ? n ? n ? 0 ,求数列 ? 。
2

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ? an ?1 ?

解:由已知得 ( S n ? n)( S n ? n ? 1) ? 0 , 所以

S n ? n ? 0 ,即 Sn ? n2 .

当n ? 1时,a1 ? S1 ? 1 .
当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? (n ? 1)
2 2

=2n-1.

所以,数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. 因为

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以, Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n = (1 ? . )? 2 2n ? 1 2 n ? 1

解析:要先观察通项类型,在裂项求和,而且要注意剩下首尾两项,还是剩下象上例中的四项,后面还 很可能和极限、求参数的最大小值联系。

3

五、通项分析法:通过对数列的通项进行分析、整理,从中发现数列求和的方法,这也是求数列前 n
项和的一种基本方法. 例 7 已知数列 {an } 中,

a1 ? 1, a2 ? 1 ? 2 ? 1, a3 ?1 ? 2 ? 22 ? 2 ? 1 , a4 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 22 ? 2 ? 1 , ??? .
求数列 {an } 的前 n 项和 S n . 解:数列 {an } 的通项公式是:

an ? 1 ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ??? ?22 ? 2 ? 1
? (1 ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n?1 ) ? (2n ?2 ? 2n ?3 ? ??? ? 22 ? 2 ? 1)

?

1 ? 2n 1 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? (2n?1 ? 1) ? 1? 2 1? 2

? 3 ? 2n?1 ? 2 ,

? Sn ? (3 ?1 ? 2) ? (3 ? 2 ? 2) ? (3 ? 22 ? 2) + ? ?(3 ? 2n?1 ? 2)

? 3(1 ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n?1 ) ? 2n ?

3(1 ? 2n ) ? 2n ? 3 ? 2 n ? 3 ? 2 n 1? 2

4

5


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