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2016新课标创新人教A版数学必修4 2.5平面向量应用举例


[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P109~P112 的内容,回答下列问题. (1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题? 提示:距离、夹角等问题. (2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题? 提示:可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题. 2.归纳总结,核心必记 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转 化为向量问题; ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ③把运算结果“翻译”成几何关系. (2)向量在物理中的应用 ①物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. ②向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中. ③动量 mv 是向量的数乘运算. ④功是力 F 与位移 s 的数量积. [问题思考] 用向量解决几何问题时,有时需要选择合适的基底,你知道怎样选择合适的基底吗? 提示:所选择基向量的长度和夹角应该是已知的. [课前反思] (1)平面向量在平面几何中的应用: ; (2)平面向量在物理中的应用:

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?讲一讲 1.如图所示,在正方形 ABCD 中,P 为对角线 AC 上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足 分别为 E,F,连接 DP,EF,求证:DP⊥EF.

[尝试解答] 法一:设正方形 ABCD 的边长为 1,AE=a(0<a<1), 则 EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP= 2a,

=1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+ 2a×a×cos 45°+ 2a×(1-a)×cos 45° =-a+a2+a(1-a)=0.

法二:设正方形边长为 1,建立如图所示的平面直角坐标系,

设 P(x,x),则 D(0,1),E(x,0),F(1,x),

即 DP⊥EF.

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?练一练 1 1.已知在平行四边形 ABCD 中,E,F 是对角线 AC 上的两点,且 AE=FC= AC,试 4 用向量方法证明四边形 DEBF 也是平行四边形.

且 D,E,F,B 四点不共线, 所以四边形 DEBF 是平行四边形.

?讲一讲 2.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,设 AC=m,BC=n.

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1 (1)若 D 为斜边 AB 的中点,求证:CD= AB; 2 (2)若 E 为 CD 的中点,连接 AE 并延长交 BC 于 F,求 AF 的长度(用 m,n 表示). [尝试解答] (1)证明:以 C 为坐标原点,以边 CB,CA 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建 立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0).

∵D 为 AB 的中点, n m? ∴D? ?2, 2 ?,

1 即 CD= AB. 2 (2)∵E 为 CD 的中点, n m? ∴E? ?4, 4 ?,

n 3 ? 即(x,-m)=λ? ?4,-4m?.

?x=4λ, 则? 3 ?-m=-4mλ,
4 n 故 λ= ,即 x= , 3 3 n ? ∴F? ?3,0?, 1 1 ∴|AF― →|= n2+9m2,即 AF= n2+9m2. 3 3

n

利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,向 向量的数量积转化,用公式|a|2=a2 求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

式:若 a=(x,y),则|a|= x2+y2. ?练一练 2.如图,平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线 AC 的长.

= a2-2a· b+b2 = 1+4-2a· b = 5-2a· b=2, ∴5-2a· b=4, 1 ∴a· b= , 2 又| |2=|a+b|2

=a2+2a· b+b2 =1+4+2a· b=6, ∴| |= 6,

即 AC= 6.

?讲一讲 3.在风速为 75( 6- 2)km/h 的西风中,飞机以 150 km/h 的航速向西北方向飞行,求 没有风时飞机的航速和航向. [尝试解答] 设 ω=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度, vb=va-ω.如图所示.

=|vb|, 作 AD∥BC,CD⊥AD 于 D,BE⊥AD 于 E, 则∠BAD=45°. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴|vb|=150 2, 即没有风时飞机的航速为 150 2km/h,方向为北偏西 60°.

利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题; (2)建立以向量为主体的数学模型; (3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型; (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题. ?练一练 3.已知力 F(斜向上)与水平方向的夹角为 30°,大小为 50 N,一个质量为 8 kg 的木块 受力 F 的作用在动摩擦因数 μ=0.02 的水平面上运动了 20 m.问力 F 和摩擦力 f 所做的功 分别为多少?(g 取 10 m/s2) 解:如图所示,设木块的位移为 s,则 WF=F· s=|F||s|cos 30°=50×20× 3 =500 3 2

1 (J).将力 F 分解,它在铅垂方向上的分力 F1 的大小为|F1|=|F|sin 30°=50× =25(N),所 2 以摩擦力 f 的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N),因此 Wf=f· s=|f||s|· cos 180° =1.1×20×(-1)=-22(J).

即 F 和 f 所做的功分别为 500 3J 和-22 J. ——————————————[课堂归纳· 感悟提 升]——————————————— 1.本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用,难点是平面向量在物理中的应用. 2.要掌握平面向量的应用 (1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题,见讲 1; (2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题,见讲 2; (3)平面向量在物理中的应用,见讲 3.

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课下能力提升(二十一) [学业水平达标练] 题组 1 平面向量在平面几何中的应用 1.已知△ABC, =a, =b,且 a· b<0,则△ABC 的形状为( )

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 π 解析:选 A ∵a· b<0,∴∠BAC> . 2 2.在四边形 ABCD 中, A.平行四边形 B.菱形 C.长方形 D.正方形 那么四边形 ABCD 为( )

∴四边形 ABCD 为菱形.

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

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4. 如图所示, 在矩形 ABCD 中, AB= 3, BC=3, BE⊥AC, 垂足为 E, 则 ED=________.

解析:以 A 为坐标原点,AD,AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(0, 3),C(3, 3),D(3,0), =(3, 3),

即 ED= 答案:

21 . 2 21 2

5.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,BC 的中点.求证:AF⊥DE(利用向量 证明).

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题组 2 向量在物理中的应用 6.人骑自行车的速度是 v1,风速为 v2,则逆风行驶的速度为( A.v1-v2 B.v1+v2 v1 C.|v1|-|v2| D.?v ? ? 2? 解析:选 B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1+v2.注意速度是有方向和大 小的,是一个向量. 7.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们夹角为 90°时,合力大小为 20 N,则当它 们的夹角为 120°时,合力大小为( ) )

A.40 N B.10 2N C.20 2N D.10 3N 解析:选 B |F1|=|F2|=|F|cos 45°=10 2,当 θ=120°,由平行四边形法则知:|F 合| =|F1|=|F2|=10 2N. 8.在水流速度为 4 3km/h 的河水中,一艘船以 12 km/h 的实际航行速度垂直于对岸行 驶,求这艘船的航行速度的大小与方向. 解:如图所示,设 边, 表示水流速度, 表示船垂直于对岸行驶的速度,以 为一

为一对角线作?ABCD,则

就是船的航行速度.

4 3 3 tan ∠ACB= = , 12 3 ∴∠CAD=∠ACB=30°,∠BAD=120°. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

即船的航行速度的大小为 8 3km/h,方向与水流方向的夹角为 120°. [能力提升综合练] 1. 设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且 a 与 b 不共线, a⊥c, |a|=|c|,则|b· c|的值一定等于( )

A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 B.以 b,c 为两边的三角形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形的面积 D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 解析:选 A 假设 a 与 b 的夹角为 θ,|b· c|=|b|· |c|· |cos〈b,c〉|=|b|· |a|· |cos(90°±θ)| =|b|· |a|· sin θ, 即为以 a,b 为邻边的平行四边形的面积. 2.如图,△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,则 等于( )

3 A. 2 C.2

5 B. 2 D.3

A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

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∴△ABC 是直角三角形. 4.已知一物体在共点力 F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移 s=(2lg 5, 1),则共点力对物体做的功 W 为( A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 解析:选 D +2lg 2=2. 5. 已知 A, B 是圆心为 C, 半径为 5的圆上的两点, 且|AB|= 5, 则 解析:由弦长|AB|= 5,可知∠ACB=60°, =________. W=(F1+F2)· s=(lg 2+lg 5,2lg 2)· (2lg 5,1)=(1,2lg 2)· (2lg 5,1)=2lg 5 )

5 答案:- 2 6.如图所示,若 D 是△ABC 内的一点,且 AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.

则 a=e+c,b=e+d, 所以 a2-b2=(e+c)2-(e+d)2 =c2+2e· c-2e· d-d2. 由已知可得 a2-b2=c2-d2, 所以 c2+2e· c-2e· d-d2=c2-d2, 所以 e· (c-d)=0.

即 AD⊥BC. 7. 如图, 平行四边形 ABCD 中, E、 F 分别是 AD、 AB 的中点, G 为 BE 与 DF 的交点. 若 =a, =b.

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(1)试以 a,b 为基底表示 (2)求证:A,G,C 三点共线.

?2λ=1-μ, 由平面向量基本定理知? 1 ?1-λ=2μ,
2 解得 λ=μ= , 3

1

所以 A,G,C 三点共线.

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