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叶集区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

叶集区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若函数 f ? x ? ? 取值范围为(

座号_____

姓名__________

分数__________

? 1 ? ? ,0 ? 上单调递增,则实数的 ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? ? 3a ? sin x ? cos x ? ? ? 4a ? 1? x 在 ? ? 2 ? 2 ?

1? ? B. ? ?1 , ? 7? ?

?1 ? 1? A. ? , ?7 ? 1 C. (?? ,? ] ? [1 ,? ?) 7

D. [1 ,? ?) )的部分图象如图所示,则函数 y=f(x)对应的

2. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, 解析式为( )

A.

B.

C. 的切线的倾斜角( C.60° ) )

D.

3. 过抛物线 y=x2 上的点 A.30° B.45°   4. 直线在平面外是指( A.直线与平面没有公共点 B.直线与平面相交 C.直线与平面平行 D.直线与平面最多只有一个公共点

D.135°

5. 在复平面内,复数(﹣4+5i)i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6. 下列式子表示正确的是( A、 0 ? ?0, 2,3? )



B、 ?2? ? ?2,3? C、 ? ? ?1, 2? D、 ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? 7. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1, 0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, ( a ? ? b) / / c ,则 ? ? ( 1 1 A. B. C.1 4 2

) D.2

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8. 设函数 f(x)的定义域为 A,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈I(I?A) ,有 x+l∈A,且 f(x+l)≥f(x) , 则称 f(x)为 I 上的 l 高调函数,如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2,且函 数 f(x)为 R 上的 1 高调函数,那么实数 a 的取值范围为( A.0<a<1 B.﹣ ≤a≤     9. 若复数 z 满足 A.1﹣i =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( D.﹣1+i ) C.﹣1≤a≤1 D.﹣2≤a≤2 )

B.1+i C.﹣1﹣i

?y ? x ? 2 ? 10.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ,若目标函数 z ? y ? mx 取得最大值时有唯一的最优解 (1,3) ,则 ?3 x ? y ? 5 ?
实数 m 的取值范围是( A. m ? ?1 ) C. m ? 1 D. m ? 1 B. 0 ? m ? 1

【命题意图】本题考查了线性规划知识,突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨,该题属于逆向问 题,重点把握好作图的准确性及几何意义的转化,难度中等. 11.如果双曲线经过点 P(2, A.x2﹣ =1 B. ﹣ =1 ),且它的一条渐近线方程为 y=x,那么该双曲线的方程是( C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 )

12.已知全集 U=R,集合 M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和 N={x|x=2k﹣1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示, 则阴影部分所示的集合的元素共有( )

A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.无穷多个

二、填空题
13.已知   14.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,已知 y =1﹣bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a﹣bi|=      .

y?e

f′ ? x?

的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的增区间是 ▲



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 15 .设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? ( a ? 1) x ? 3( a ? 1) y 的最小值是 ?20 ,则实数 a ? 1 ? x ? y ?1 ? 0 ?
O ______. 1 2 x

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【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力. 16.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)=lnx- 最小值 4,则 m=________.

m (m∈R)在区间[1,e]上取得 x

17.设集合 A ? x | 2 x ? 7 x ? 15 ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,满足
2 2

?

?

?

?

A ? B ? ? , A ? B ? ? x | ?5 ? x ? 2? ,求实数 a ? __________.
18.已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差是 2,另一组数据 ax1 , ax2 , ax3 , ax4 , ax5 ( a ? 0 ) 的标准差是 2 2 ,则 a ? .

三、解答题
19.如图所示,两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB , M ? AC , N ? FB ,且

AM ? FN ,求证: MN / / 平面 BCE .

20.已知椭圆 点,且椭圆的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; .

的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0),P 是椭圆 C 上任意一

(2)直线 l1,l2 是椭圆的任意两条切线,且 l1∥l2,试探究在 x 轴上是否存在定点 B,点 B 到 l1,l2 的距离之积 恒为 1?若存在,求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由.  

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21.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | , g ( x) ? ? x . (1)解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)对任意的实数,不等式 f ( x) ? 2 x ? 2 g ( x) ? m( m ? R ) 恒成立,求实数 m 的最小值.111]

22.为了培养中学生良好的课外阅读习惯,教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于 t0 小时.为 此,教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取 100 名学生进行调研,获得他们一周课外阅读时间的数据,整 理得到如图频率分布直方图: (Ⅰ)求任选 2 人中,恰有 1 人一周课外阅读时间在[2,4)(单位:小时)的概率 (Ⅱ)专家调研决定:以该校 80%的学生都达到的一周课外阅读时间为 t0,试确定 t0 的取值范围

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23.已知 a>b>0,求证:



24.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数 f ? x ? ? alnx ? (1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调性;
x?a

?

?

1 ?1 . x

1 ? a? ?1 ? (3)当 0 ? a ? 时,求证:对任意 x ? ? , +? ? ,都有 ?1 ? ? 2 ? x? ?2 ?

?e.

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叶集区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【 解 析 】

考 点:1、导数;2、单调性;3、函数与不等式. 2. 【答案】A 【解析】解:由函数的图象可得 A=1, 解得 ω=2, 再把点( 结合 故有 故选:A.   3. 【答案】B 【解析】解:y=x2 的导数为 y′=2x, 在点 的切线的斜率为 k=2× =1, ,1)代入函数的解析式可得 sin(2× ,可得 φ= , , +φ)=1, = ? = ﹣ ,

设所求切线的倾斜角为 α(0°≤α<180°), 由 k=tanα=1, 解得 α=45°. 故选:B.
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【点评】本题考查导数的运用 : 求切线的斜率,考查直线的倾斜角的求法,考查运算能力,属于基础题.   4. 【答案】D 【解析】解:根据直线在平面外是指:直线平行于平面或直线与平面相交, ∴直线在平面外,则直线与平面最多只有一个公共点. 故选 D.   5. 【答案】B 【解析】解:∵(﹣4+5i)i=﹣5﹣4i, ∴复数(﹣4+5i)i 的共轭复数为:﹣5+4i, ∴在复平面内,复数(﹣4+5i)i 的共轭复数对应的点的坐标为:(﹣5,4),位于第二象限. 故选:B.   6. 【答案】D 【解析】 试题分析:空集是任意集合的子集。故选 D。 考点:1.元素与集合的关系;2.集合与集合的关系。 7. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 a ? (1, 2) , b ? (1, 0) ,所以 ( a ? ? b) ? ?1 ? ? , 2 ? ,又因为 ( a ? ? b) / / c ,所以

?

?

?

?

?

?

?

4 ?1 ? ? ? ? 6 ? 0, ? ?
8. 【答案】 B

1 ,故选 B. 2

考点:1、向量的坐标运算;2、向量平行的性质.

【解析】解:定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=|x﹣a2|﹣a2= 图象如图,

∵f(x)为 R 上的 1 高调函数,当 x<0 时,函数的最大值为 a2,要满足 f(x+l)≥f(x), 1 大于等于区间长度 3a2﹣(﹣a2), ∴1≥3a2﹣(﹣a2), ∴﹣ ≤a≤

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故选 B

【点评】考查学生的阅读能力,应用知识分析解决问题的能力,考查数形结合的能力,用图解决问题的能力, 属中档题.   9. 【答案】A 【解析】解: 可得 z=1﹣i. 故选:A.   10.【答案】C 【解析】画出可行域如图所示, A(1,3) ,要使目标函数 z ? y ? mx 取得最大值时有唯一的最优解 (1,3) ,则需 直线 l 过点 A 时截距最大,即 z 最大,此时 kl ? 1 即可. =i,则 =i(1﹣i)=1+i,

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11.【答案】B 【解析】解:由双曲线的一条渐近线方程为 y=x, 可设双曲线的方程为 x2﹣y2=λ(λ≠0), 代入点 P(2, λ=4﹣2=2, 可得双曲线的方程为 x2﹣y2=2, 即为 ﹣ =1. ),可得

故选:B.   12.【答案】B 【解析】解:根据题意,分析可得阴影部分所示的集合为 M∩N, 又由 M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3, 即 M={x|﹣1≤x≤3}, 在此范围内的奇数有 1 和 3. 所以集合 M∩N={1,3}共有 2 个元素, 故选 B.  

二、填空题
13.【答案】   .

【解析】解:∵ ∴

=1﹣bi,∴a=(1+i)(1﹣bi)=1+b+(1﹣b)i,

,解得 b=1,a=2. . .

∴|a﹣bi|=|2﹣i|= 故答案为:

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.   14.【答案】(﹣∞,2) 【解析】 试题分析:由 x

? 2时e

f′ ? x?

f′ x ? 1 ? f ?( x) ? 0 , x ? 2时e ? ? ? 1 ? f ?( x) ? 0 ,所以 y ?

f ( x) 的

增区间是(﹣∞,2) 考点:函数单调区间 15.【答案】 ?2

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16.【答案】-3e 【解析】f′(x)= 减, 当 x>-m 时,f′(x)>0,f(x)单调递增.若-m≤1,即 m≥-1 时,f(x)min=f(1)=-m≤1,不可能 等于 4; 若 1<-m≤e, 即-e≤m<-1 时, f(x) = ln(-m) +1, 令 ln(-m) +1=4, 得 m=-e3? (- min=f(-m) e,- 1) ; 若-m>e,即 m<-e 时,f(x)min=f(e)=1- m =-3e. 17.【答案】 a ? ? 【解析】

1 m x?m + = ,令 f′(x)=0,则 x=-m,且当 x<-m 时,f′(x)<0,f(x)单调递 x x2 x2

m m ,令 1- =4,得 m=-3e,符合题意.综上所述, e e

7 ,b ? 3 2

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考 点:一元二次不等式的解法;集合的运算. 【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题,其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和 集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用,试题有一定的难度,属于中档试题,着重考查了学 生分析问题和解答问题的能力,同时考查了转化与化归思想的应用,其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 18.【答案】2 【解析】 试 题 分 析 : 第 一 组 数 据 平 均 数 为 x,? ( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? ( x4 ? x) ? ( x5 ? x) ? 2 ,
2 2 2 2 2

(ax1 ? ax) 2 ? (ax2 ? ax) 2 ? (ax3 ? ax) 2 ? (ax4 ? ax) 2 ? (ax5 ? ax) 2 ? 8,? a 2 ? 4,? a ? 2 .
考点:方差;标准差.

三、解答题
19.【答案】证明见解析. 【解析】

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考点:直线与平面平行的判定与证明. 20.【答案】 【解析】解:(1)∵椭圆 P 是椭圆 C 上任意一点,且椭圆的离心率为 ∴ = ,解得 .… , , 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0),

∴椭圆 C 的方程为

(2)①当 l1,l2 的斜率存在时,设 l1:y=kx+m,l2:y=kx+n(m≠n)

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, △=0,m2=1+2k2,同理 n2=1+2k2m2=n2,m=﹣n, 设存在 ,

又 m2=1+2k2,则|k2(2﹣t2)+1|=1+k2,k2(1﹣t2)=0 或 k2(t2﹣3)=2(不恒成立,舍去) ∴t2﹣1=0,t=±1,点 B(±1,0), ②当 l1,l2 的斜率不存在时, 点 B(±1,0)到 l1,l2 的距离之积为 1. 综上,存在 B(1,0)或(﹣1,0).…   21.【答案】(1) {x | ?3 ? x ? 1 或 x ? 3} ;(2). 【 解 析 】

试 题解析:(1)由题意不等式 f ( x) ? g ( x) 可化为 | x ? 2 | ? x ?| x ? 1 | , 当 x ? ?1 时, ? ( x ? 2) ? x ? ?( x ? 1) ,解得 x ? ?3 ,即 ? 3 ? x ? ?1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, ? ( x ? 2) ? x ? x ? 1 ,解得 x ? 1 ,即 ? 1 ? x ? 1 ; 当 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? x ? 1 ,解得 x ? 3 ,即 x ? 3 (4 分) (5 分) 综上所述,不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为 {x | ?3 ? x ? 1 或 x ? 3} .

(2)由不等式 f ( x) ? 2 x ? 2 g ( x) ? m 可得 | x ? 2 |?| x ? 1 | ? m , 分离参数 m ,得 m ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | ,∴ m ? (| x ? 2 | ? | x ? 1 |) max ∵ | x ? 2 | ? | x ? 1 |?| x ? 2 ? ( x ? 1) |? 3 ,∴ m ? 3 ,故实数 m 的最小值是. 考点:绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.1 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)一周课外阅读时间在[0,2)的学生人数为 0.010×2×100=2 人,
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(10 分)

一周课外阅读时间在[2,4)的学生人数为 0.015×2×100=3 人, 记一周课外阅读时间在[0,2)的学生为 A,B,一周课外阅读时间在[2,4)的学生为 C,D,E,从 5 人中选 取 2 人,得到基本事件有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共有 10 个基本事件, 记“任选 2 人中,恰有 1 人一周课外阅读时间在[2,4)”为事件 M, 其中事件 M 包含 AC,AD,AE,BD,BC,BE,共有 6 个基本事件, 所以 P(M)= = ,

即恰有 1 人一周课外阅读时间在[2,4)的概率为 . (Ⅱ)以该校 80%的学生都达到的一周课外阅读时间为 t0,即一周课外阅读时间未达到 t0 的学生占 20%, 由(Ⅰ)知课外阅读时间落在[0,2)的频率为 P1=0.02, 课外阅读时间落在[2,4)的频率为 P2=0.03, 课外阅读时间落在[4,6)的频率为 P3=0.05, 课外阅读时间落在[6,8)的频率为 P1=0.2, 因为 P1+P2+P3<0.2,且 P1+P2+P3+P4>0.2, 故 t0∈[6,8), 所以 P1+P2+P3+0.1×(t0﹣6)=0.2, 解得 t0=7, 所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为 7 小时. 【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件,古典概型概以及频率分布直方图等基本知识,考 查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力,属于中档题.   23.【答案】 【解析】解:∵



=

= ∵a>b>0,∴ 故 ,所以上式大于 1, 成立,

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同理可证   24.【答案】(1) x ? y ? 1 ? 0 ;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】试题分析:(1)当 a ? 2 时,求出导数易得 f ' ?1? ? 1 ,即 k ? 1 ,利用点斜式可得其切线方程;(2)

ax ? 1 1 ,分为 a ? 0 和 a ? 0 两种情形判断其单调性;(3)当 0 ? a ? 时,根据(2)可 2 x 2 a ? a? ? a? 2 ? 上单调递减,故 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ?1 ? ? ? 得函数 f ? x ? 在 ?1, ,化简可得所证结论. ? x? ? x? x?a
求得可得 f ' ? x ? ? 试题解析:(1)当 a ? 2 时,

1 1 2 1 2 1 ? 1 , f ?1? ? 2ln1 ? ? 1 ? 0 , f ' ? x ? ? ? 2 , f ' ?1? ? ? 2 ? 1 ,所以函数 f ? x ? 在点 x 1 x x 1 1 0 ? 处的切线方程为 y ? 0 ? 1? ? x ? 1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 . ?1, f ? x ? ? 2lnx ? 1 a 1 ax ? 1 ? ?? , f '? x? ? ? 2 ? 2 . ? 1 ,定义域为 ? 0, x x x x ? ? ? 上单调递减; ①当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,故函数 f ? x ? 在 ? 0,
(2) f ? x ? ? alnx ? ②当 a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? x

1 a 1 a

? 1? ? 0, ? ? a?

?1 ? ? ?? ? , ?a ?

f '? x? f ? x?

?


0
极小值

?


? ? ? 上单调递减;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 综上所述,当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,
?1 ? ? ? ? 上单调递增. ? , ?a ? 1 1 ? 1? ? 1? (3)当 0 ? a ? 时,由(2)可知,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,显然, ? 2 ,故 ?1, 2 ? ? ? 0, ? , 2 a ? a? ? a? a a ?1 ? 2? 上 单 调 递 减 , 对 任 意 x ? ? , 所 以 函 数 f ? x ? 在 ?1, +? ? , 都 有 0 ? ? 1 , 所 以 1 ? 1 ? ? 2 . 所 以 x x ?2 ? 1 a 1 ? a? ? a? ? a? ? a? ? 1 ? 0 ,所以 aln ?1 ? ? ? ,即 ln ? 1 ? ? ? ,所以 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ?1 ? ? ? ? x ? 1? a ? x? ? x? x?a ? x? x?a x

? ?

1? a?

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? x ? a ? ln ? ?1 ?
?

a? ? a? ? ? 1 ,即 ln ?1 ? ? x? ? x?

x?a

? a? ? 1 ,所以 ?1 ? ? ? x?

x?a

?e.

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