fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2008--2009高中数学第一轮复习学案---(14)数列(等差数列与等比数列)

第 01 讲 数列的概念和简单表示法
广东高考考试大纲说明的具体要求:
① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式); ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.

(一)基础知识回顾:
1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的______. 数列的第一项 a 1 也称为_______项, a n 是数列的第 n 项,也叫数列的_______项。 如果数列 {a n } 的第 n 项 a n 与项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示,即 a n ? f (n) ,那么这 个式子就叫做这个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。 数列 {a n } 中, Sn ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,叫做数列 {a n } 的_____________. 2.数列的分类:项数有限的数列称为_________数列,项数无限的数列称为_________数列。 递增数列:对于任意的 n ? 1 , n ? N ,都有 a n ?1 ? a n ; 递减数列:对于任意的 n ? 1 , n ? N ,都有 a n ?1 ? a n ; 常数列:对于任意的 n ? 1 , n ? N ,都有 a n ?1 ? a n 。 3.重要关系式:对于任意数列 {a n } ,都有 a n 与 Sn 的关系式 a n ? ? 4.常见数列:分别写出以下几个数列的一个通项公式: (1) 1,2,3,4,5,… a n =_______; (2) 1,3,5,7,9,… (4)1,2,4,8,16,… a n =___________; (3) 1,4,9,16,25,… a n =______; a n =_______;

(n ? 1) ?_____, 成立。 , (n ? 2) ?__________

(5)1,-1,1,-1,… a n =___________;

(二)例题分析:
例 1.写出下列数列的一个通项公式: (1)0,

3 8 5 24 , ? , , ? … 5 3 11 7

(2)1, 3, 6, 10, 15…

例 2.(2008 北京理)已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N* 满足 a p?q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 , 那么 a10 等于( A. ?165 ) B. ?33 C. ?30 D. ?21

例 3.(2004 北京理、文)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同 一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列{an}是等和数列,且 a1=2, 公和为 5, 那么 a18 的值为 , 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 。

例 4. (2008 重庆文、理)设各项均为正数的数列{an}满足 a1 ? 2, an ? a (Ⅰ)若 a2 ?

3 2 n ?1 n ? 2

a

(n ? N*) .

1 , 求 a3,a4,并猜想 a2008 的值(不需证明); 4

(三)基础训练:

1.若数列的前四项为 1,0,1,0,则下列表达式不能作为该数列的通项公式的是( A. a n ?



1 ? (?1) 2

n ?1

B. a n ? sin

2

n? 2

C. a n ? sin

n? 2

D. a n ?

1 ? cosn ? 2


2.(2007 福建理) 数列{ }的前 n 项和为 ,若 a n ? A.1 B.

1 ,则 S5 等于( n (n ? 1)

1 6

C.

5 6

D.

1 30

(思考 Sn=?)

3.(2005 湖南文)已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ? a n ? 3 (n ? N * ) ,则 a 20 =( 3a n ? 1 A.0 B. ? 3 C. 3 D.
3 2
2



4.(2007广东文)已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n,则其通项an= 则k= ____ 5.(2008 安徽文)在数列 {an } 在中, an ? 4n ? 其中 a , b 为常数,则 ab ?

;若它的第k项满足5<ak<8,

5 , a1 ? a2 ? 2

an ? an2 ? bn , n ? N * ,

6.(2004 江苏).设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= 值是______________.

a1 (3 n ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数 2

(四)巩固练习:
1.若数列{an}由 a1=2,an+1=an+2n(n ? 1 )确定,则 a100 的值为( (A)9902 (B)9900 (C)9904 (D)9906 )

2.(2007 江西理) 已知数列{an}对于任意 p,q ∈N*,有 ap+aq=ap+q,若 a1=

1 ,则 a36=________. 9

3.(2007 北京理) 若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,则此数列的通项公式 为_________;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第_____ _____项.

4. (2005 天津理)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) 则 S100 =_________.

5.(2006 江苏)对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 {

an } 的前 n 项和的公式是_____________ n ?1

6..已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ? 2 ?

1 (n ? N * ) ,写出它的前五项,并猜想 {an } 的通项公式。 an

第 02 讲等差数列

广东高考考试大纲说明的具体要求:
① 理解等差数列的概念; ② 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 ③了解等差数列与一次函数的关系 (一)基础知识回顾: 1. 定义:如果一个数列从__________项起,每一项与它的________的差等于________________, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数称为等差数列的_________,用字母_________来表示。 等差数列常见表示的表现形式有: a n ?1 ? a n ? d; 2.等差数列的通项公式: a n ? _________________; 3.等差中项:若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫作 a 与 b 的等差中项,A=_____________, 4.等差数列的前 n 项和公式: Sn =___________=________________.(推导方法:倒序相加法) 5.等差数列的性质: (1) 在等差数列{ a n }中, a n ? a m ? _____________ (2) 在等差数列{ a n }中,若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q (3) 数列{ a n }是等差数列 ? a n ? kn ? b (k,b 是常数) ( n ? N? ) ; (4) 数列{ a n }是等差数列 ? Sn ? An 2 ? Bn (A,B 是常数) ( n ? N? ) ; (5) 若{ a n }为等差数列,则 a k , a k ?m , a k ? 2m ,?仍为等差数列;且公差为_______. (6) 若{ a n }为等差数列,则 Sn , S2n - Sn , S3n - S2n ,? 仍为等差数列;且公差为_______. (二)例题分析: 例 1.(2006 重庆理)在等差数列{an}中,若 a4+a6=12,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S9 的值为( (A)48 (B)54 (C)60 (D)66 )

a n ?1 ? a n ? d; a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ; 2an ?1 ? a a ? a n ?2

例 2.(2008 北京文)已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和等于( (A)30 (B)45 (C)90 (D)186

)

例 3.(2007 福建理)等差数列{ }的前 n 项和为 , (1)求数列{ }的通项 与前 n 项和为 ;





例 4.(2006 上海春招)已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;

a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列( d ? 0 ). (1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)略

(三)基础训练:

1.(2008 全国Ⅰ卷理)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( )

A.138

B.135

C.95

D.23

2. (2007 辽宁文、 理) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 S3 ? 9 ,S6 ? 36 , 则 a7 ?a8 ?a9 ? ( ) A.63 B.45 C.36 D.27

3.(2006 广东)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( ) A.5 B.4 C. 3 D. 2 4.(2004 全国Ⅳ卷文、理)等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列 前 20 项和等于( ) A.160 B.180 C.200 D.220

5. (2007 江西文) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S12=21, 则 a2+a5+a8+a11= ____ .
6.(2004 全国Ⅲ卷文)设数列 {an } 是公差不为零的等差数列,Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且
2 S3 ? 9S 2 , S 4 ? 4S 2 ,求数列 {an } 的通项公式.

(四)巩固练习: A.12

1.(2008 天津文) 若等差数列 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( B.13 C.14 D.15



2.(2006 全国Ⅰ卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( A. 8 B. 7 C. 6 D. 5



3. (2003 春招北京文)在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 ,那么 a3 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.7 ) 4.(2007 海南、 宁夏理)已知 ?an ? 是等差数列,a10 ? 10 , 其前 10 项和 S10 ? 70 , 则其公差 d ?( A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3
)

5.(1996 全国文、理)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 6.(2007 重庆理)已知各项均为正数的数列{ an }的前 n 项和满足 S n ? 1 ,且

6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N * (1)求{ an }的通项公式;

第 03 讲
广东高考考试大纲说明的具体要求:

等比数列

① 理解等比数列的概念; ② 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 ③ 了解等比数列与指数函数的关系

(一)基础知识回顾:
1.定义:如果一个数列从_______项起,每一项与它的________的比都等于_____________,那么这 个数列就叫做等比数列,这个常数称为等比数列的________,用字母_____来表示。 常见表示形式:

a n ?1 ? a n ? q;

a n ?1 ? q; an

a n ?1 a ? n ; an a n ?1

a n ?1 ? a a ? a n ? 2

2

2.通项公式: a n ? _________________; 3.等比中项:若 a, G, b 成等比数列,则 G 叫作 a 与 b 的等比中项,G=_____________, 4.等比数列的前 n 项和公式: Sn =______________=________________.(q≠1) 5.等比数列的性质: (1)在等比数列{ a n }中, a n ? a m ? ________ (2)在等比数列{ a n }中,若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q (3)若{ a n }为等比数列,则 a k , a k ?m , a k ?2m ,?? 仍为等比数列;且公比为_______. (4)若{ a n }为等比数列,则 Sn , S2n - Sn , S3n - S2n ,? 仍为等比数列;且公比为_______.

(二)例题分析:
? 例 1.(2007 湖南文)在等比数列 ?an ? n ? N 中,若 a1 ? 1, a4 ?

?

?

1 ,则该数列的前 10 项和为( ) 8

A. 2 ?

1 28

B. 2 ?

1 29

C. 2 ?

1 210

D. 2 ?

1 211

例 2.(2008 浙江理)已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ?

1 , 则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 = ( ) 4 32 32 ?n ?n ?n ?n (A)16( 1 ? 4 ) (B)16( 1 ? 2 ) (C) ( 1 ? 4 ) (D) (1 ? 2 ) 3 3
(1)求最小的自然数 n,使 an≥2007;

例 3.(2007 江西文) 设{an}为等比数列,a1=1,a2=3. (2)求和:T2n=

1 2 3 2n . ? ? ??? a1 a2 a3 a2n

(三)基础训练:
1. (2008 浙江文)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=

1 ,则公比 q=( 4



(A) ?

1 2

(B)-2

(C)2

(D)

1 2
) D.243

2.(2008 全国Ⅰ卷文)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 B.81 C.128

3、 (2006 湖北文)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ( ) A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

4.(2007 全国Ⅰ文、 理)等比数列{an}的前 n 项和 Sn, 已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为______. 5. (2002 全国新课程文) 在等比数列 ?an ?中, 已知 a6 ? a4 ? 24, a3 a5 ? 64, 求 ?an ?前 8 项的和 S8
王新敞
奎屯 新疆

(四)巩固练习:
1.(1991 全国理)已知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于 ( (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 )

2.(2007 陕西理)各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 S10=2,S30=14,则 S40 等于( (A)80 (B)30 (C)26 (D)16 3.(2008 广东理)记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? A.16 B. 24 C. 36
4 7



1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? ( 2

)

D. 48
10

? 23n?10 (n ? N ) ,则 f (n) 等于( 2 n 2 n ?1 2 n ?3 2 n?4 (A) (8 ? 1) (B) (8 ? 1) (C) (8 ? 1) (D) (8 ? 1) 7 7 7 7 n 5.(2008 四川文) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 ,
4.(2006 北京理)设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? (Ⅰ)求 a1 , a4 (Ⅱ)证明: {an?1 ? 2an }是等比数列;



(Ⅲ)求 ?an ? 的通项公式

1. (2008 全国Ⅱ卷文) 等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项 的和 S 20 .

第 04 讲

等差数列与等比数列的简单综合问题选讲

2. (2007 山东文)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式. (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T n. , 2, ,

3. (2008 江西文) 等差数列 {an } 的各项均为正数,a1 ? 3 , 前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 1 , 且 b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 . (1)求 an 与 bn ; (2)求和:

1 1 ? ? S1 S2

?

1 . Sn

4.(2006 浙江文)若 S n 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 S1 , S2 , S4 的公比。 (Ⅱ)若 S2 ? 4 ,求 ?an ? 的通项公式.

5.(2007 全国Ⅰ文)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn. ? bn ?

6. (2005 湖北文) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2, 且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . {bn } 为等比数列, (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn. bn

第 01 讲
(一)基础知识回顾:

数列的概念(参考答案)
2.有穷, 无穷。 (4)2n-1 (5) (-1)n+1

1.次序, 项, 首, 通; 通项公式; 前 n 项和。 3. a n ? ?

(n ? 1) ?S1 , ?S n ? S n -1 , (n ? 2)

4.(1)n

(2) 2n-1

(3) n2

(二)例题分析:
例 1.(1)

a n ? (?1) n

n2 ?1 , 2n ? 1

(2) a n ?

n (n ? 1) . 2

例 2. C.

? 5n ,n为偶数 ? ?2 例 3. 3, S n ? ? ; ? 5n ? 1 , n为奇数 ? 2 ?
例 4.解: (I)因 a1=2,a2=2-2,又.,所以 a3 ? 2 ? 2
0 1

? ?
2

3 ?2 ? 2

? 2 , a4 ? 2
4
3

?2

? 24
( ?2 ) 2007

? ?
.

?

3 2

? 2 ?8

由此有 a1 ? 2( ?2) , a2 ? 2( ?2) , a3 ? 2( ?2) , a4 ? 2( ?2) , 从而猜想 an 的通项为 an ? 2 ( ?2)
n ?1

(n ? N*) ,
8 .

所以 a2008= 2 5. -1 4.2600. ,

(三)基础训练:
1. C. 2. C 3. B. 4. 2n ? 10 , 6. ___2___ . 5 .____2 -2_ .
n+1

(四)巩固练习:
1.A. 2. __4___. 3. __2n-11__; 3 _. 6. 解: a 1 ? 2, a 2 ?

3 4 5 6 n ?1 , a 3 ? , a 4 ? , a 5 ? ,?, a n ? 2 3 4 5 n

第 02 讲
(一)基础知识回顾:

等差数列(参考答案)
2. an=a1+(n-1)d; 3.

1.第二,前一项,同一个常数,公差,d ; 4. S n ?

a?b ; 2

n (a 1 ? a n ) n (n ? 1) ? a 1n ? d ; 5.(1)(n-m)d, (5)md, (6)n2d 2 2

(二)例题分析: 例 1. B. 例 2. C. 例 3. 解: (Ⅰ)由已知得 ? ,? d ? 2 , 3 a ? 3 d ? 9 ? 3 2 ? ? 1 故 an ? 2n ?1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) .

? ?a1 ? 2 ? 1,

例 4. [解](1) a10 ? 10. a 20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 , (2) a30 ? a20 ? 10d 2 ? 10 1 ? d ? d 2

?

?

(d ? 0) ,

当 d ? ( ? ?, 0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a30 ?? 7.5, ? ? ? . (三)基础训练: 1.C. 2. B. 3. C. 4. B.

2 ?? 1? 3? a 30 ? 10? ? d ? ? ? ? , 2? 4? ?? ? ?

5. __7__ . n(n ? 1) d 及已知条件得 6.解:设等差数列 {an } 的公差为 d,由 S n ? na1 ? 2 4a1 ? 6d ? 4(2a1 ? d ), (3a1 ? 3d ) 2 ? 9(2a1 ? d ) , ① 4 4 2 由②得 d ? 2a1 ,代入①有 a1 ? a1 , 解得 a1 ? 0或a1 ? . 9 9 4 8 当 a1 ? 0时, d ? 0, 舍去. 因此 a1 ? , d ? . 9 9 4 8 4 故数列 {an } 的通项公式 a n ? ? (n ? 1) ? ? ( 2n ? 1). 9 9 9
(四)巩固练习:



1.B.

2. D.

3.A.

4.D. 5. C.

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 ,由假设 a1 ? S1 ? 1 ,因此 a1 ? 2 , 6 1 1 又由 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) ,得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) ? 0 , 6 6 即 an?1 ? an ? 3 ? 0 或 an?1 ? ?an ,因 an ? 0 ,故 an?1 ? ?an 不成立,舍去.
6.解: (I)解由 a1 ? S1 ? 因此 an?1 ? an ? 3 ,从而 ?an ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列,故 ?an ? 的通项为 an ? 3n ? 1 .

第 03 讲
(一)基础知识回顾:
n

等比数列(参考答案)
2. an=a1q ;
n-1

1.第二,前一项,同一个常数,公比,q ; 4. Sn ?

3. ? ab ;

a 1 (1 ? q ) a 1 ? a n q (n-m) m n ; 5.(1) q , (5) q , (6) q ? 1- q 1- q
例 1. B. 例 2. C
n ?1

(二)例题分析:

?a ? n ?1 例 3.解: (1)由已知条件得 an ? 1 ? 2 ? ? 3 , ? a1 ? 6 7 因为 3 ? 2007 ? 3 ,所以,使 an ≥ 2007 成立的最小自然数 n ? 8 . 1 2 3 4 2n (2)因为 T2 n ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 n ?1 ,…………① 1 3 3 3 3 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n T2 n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ,…………② 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? 2n 2n 4 1 1 1 1 2n 3 ? 2n ? 3 ? 3 ? 3 ? 8n ① ? ② 得: T2 n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2n 1 32 n 3 3 3 3 3 3 4?3 1? 3 2n? 2 3 ? 9 ? 24n 所以 T ? . 2n 2n 16 ? 3 1 (三)基础训练: 1.D. 2. A. 3.A. 4. . 3
5.解: 设数列 ?an ?的公比为 q ,依题意,得 a6 ? a4 ? a1q 3 q 2 ? 1 ? 24,.....( 1)

a3 a5 ? a1 q 3

?

?

?

?

2

? 64 ,? a1q 3 ? ?8

将a1 q 3 ? ?8代入到(1)式,得q 2 ? 1 ? ?3, q 2 ? ?2, 舍去。 将a1 q 3 ? 8代入到(1)式, 得q 2 ? 1 ? 3, q ? ?2. a1 ?q 8 ? 1? 当q ? 2, a1 ? 1, S 8 ? ? 255, q ?1
当q ? ?2, a1 ? ?1, S 8 ? a1 q 8 ? 1 ? 85. q ?1
2.B. 3.D. 4.D. 得a

?

?

(四)巩固练习:

1. A.

5. 【解】 : (Ⅰ)因为 a1 ? S1 , 2a1 ? S1 ? 2 ,所以 a1 ? 2, S1 ? 2 由 2an ? Sn ? 2n 知 2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1 ,
n ?1

?S ?2
n

n ?1



所以 a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8 , a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S2 ? 24 , a4 ? S3 ? 24 ? 40
n ?1 ? S n ? 2 n ? 2n ?1 ? 2n ? 2n (Ⅱ)由题设和①式知 an ?1 ? 2an ? S n ? 2

n 所以 an ?1 ? 2a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。

?

?

?

? ?

?

(Ⅲ) an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ?

? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1 ? ? n ?1? ? 2n?1

第 04 讲 等差数列与等比数列的简单综合问题选讲(参考答案) 1.解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则
a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d )2 ,
2 整理得 10d ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 . 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 .

当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7 ,于是 S20 ? 20a1 ?
?a1 ? a2 ? a3 ? 7, 2. 解: (1)由已知得 : ? ? (a1 ? 3) ? (a3 ? 4) ? 3a2 . ? ? 2

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . 2

解得 a2 ? 2 .

设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ? 又 S3 ? 7 ,可知

2 ,a3 ? 2q . q

2 ? 2 ? 2q ? 7 , 即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q 1 , ? q ? 2 . ?a1 ? 1 . 解得 q1 ? 2,q2 ? . 由题意得 q ? 1 2 故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 .
(2)由(1)得 a3n?1 ? 23n
3n ?bn ? l n 2 ? n 3 ln 2 又 bn?1 ? bn ? 3ln 2n ?{bn } 是等差数列. n(b1 ? bn ) n(3 ln 2 ? 3n ln 2) 3n(n ? 1) ? ? ln 2 。 ?Tn ? b1 ? b2 ? ? bn ? 2 2 2

3. (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数, an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? qn?1 .

? S b ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 依题意有 ? 3 3 ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64
故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8 (2) Sn ? 3 ? 5 ?
n?1

d ?? ?d ? 2 ? 5 (舍去) 解得 ? ,或? ? 40 ?q ? 8 ? ? ? q? 3

?

6

? (2n ? 1) ? n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ∴ ? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? )? ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)
4.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意,得 S22 ? S1 ? S4 ,所以 (2a1 ? d ) ? a1 (4a1 ? 6d )
2

S2 ?4 S1 (Ⅱ)因为 S2 ? 4, d ? 2a1 , S2 ? 2a1 ? 2a1 ? 4a1 , 所以 a1 ? 1, d ? 2
因为 d ? 0 ,所以 d ? 2a1 ,故公比 q ? 因此 a2 ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1.

4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 5.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13, 解得 d ? 2 , q ? 2 .

所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 .

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2 3 5 2n ? 3 2n ? 1 5 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? n ?2 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2 2
(Ⅱ)

1 n ?1 2n ? 1 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? 2nn? . ?1 1 2 2 1? 2 1?
时, a1 ? S1 ? 2; 6. 解: (1) :当 n ? 1
当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2, 故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 1 设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ? . 4 1 2 n ?1 故 bn ? b1 q ? 2 ? n ?1 , 即{bn }的通项公式为 bn ? n ?1 . 4 4
(II)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
1 两式相减得 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [( 6n ? 5)4 n ? 5]. 3 1 ? Tn ? [( 6n ? 5)4 n ? 5]. 9


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图