湖北省黄冈中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

湖北省黄冈中学 2014 年高一秋季期中考试数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． 已知集合 A ? ?x ? N | x ? 6? ，则下列关系式错误的是（ A． 0 ? A
1

） D． 6 ? A

B． 1.5 ? A

C． ? 1 ? A ） C． ? 0,1?

2． 函数 y ? ?1 ? x ? 2 ? log 3 x 的定义域为（ A． ? ??,1? B． ? 0,1?

D． 0,1 ）

? ?

3． 设集合 U ? R ，集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 ，则 ? U A 等于（
2

?

?

A． x | x ? 0或x ? 2 C． ?x | 0 ? x ? 2?

?

?

B． x | x ? 0或x ? 2 D． ?x | 0 ? x ? 2? ）

?

?

?1 ? x 2 , x ? 1 ? 1 ? ? 4． 设函数 f ( x) ? ? 2 ，则 f ? ? 的值为（ ? ? f (2) ? ? x ? x ? 2, x ? 1
A．

15 16
lg( x ?1)

B． ?

27 16
）

C．

8 9

D． 18

5． 与函数 y ? 10 A． y ? x ? 1

相等的函数是（ B． y ?| x ? 1| ）

? x ?1 ? C． y ? ? ? ? x ?1 ?

2

x2 ?1 D． y ? x ?1

6． 已知 0 ? a ? b ? 1 ，则（ A． 3 ? 3
b a

B． loga 3 ? logb 3

C． (lg a) ? (lg b)
2
2

2

D． ( ) ? ( )
a

1 e

1 e

b

7． 已知 f ( x ) 是偶函数，g ( x) 是奇函数， 且 f ( x) ? g ( x) ? 2x ? 2x ? 1 ， 则 f (? 1 ) ?（ A． 3 B． ? 3 ） C． 2 D． ? 2

）

8． 函数 y ? ln(1 ? x) 的图像大致为（

9． 已知 f : x ? x 2 是集合 A 到集合 B ? ?0,1,4? 的一个映射，则集合 A 中的元素个数最多 有（ A．3 个 ） B．4 个 C．5 个 D．6 个 ）

2 10． 设a ? 0且a ?1 ， 函数 f ( x) ? log a ax ? x 在 ?3, 4? 上是增函数， 则 a 的取值范围 （

A．

1 1 ? a ? 或a ?1 6 4 1 1 ? a ? 或a ?1 8 6

B．

1 1 ? a ? 或a ?1 8 4 1 或a ?1 4

C．

D． 0 ? a ?

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请将答案填在答题卡对应题号的位 置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．已知幂函数 f ( x) ? x? 的图像过点 ? 4, 2 ? ，则 ? ? _____________________． 12．计算 27
? 1 3

? lg 0.01 ? ln e ? 3log3 2 ? _____________________．

13．已知集合 A ? ? a, a 2 , 4 , B ? ?? a 3 ,
3

?

?

? ? ? ?

a b? ? , 2 ? 且 A ? B ，则 a ? b ? _____________． a ? ?
y y=f(x)

14．设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?5,5? ，若当

x ??0,5? 时， f ( x) 的图像如右图所示，则不
等式 f ( x) ? 0 的解集是_____________________． 0 2 5 x

y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， 15． 设 a 为常数且 a ? 0 ， 当 x ? 0 时，f ( x) ? x ?
2

a2 ?2， x

若 f ( x) ? a ?1 对一切 x ? 0 都成立，则 a 的取值范围为_____________________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 12 分）记关于 x 的不等式 的解集为 T ． （1）若 a ? 1 ，求 S T 和 S T ； （2）若 S ? T ，求 a 的取值范围．

x?a ? 0 ? a ? 0 ? 的解集为 S ，不等式 x ?1 ? 1 x

17． （本小题满分 12 分） 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a, b ? R) ， 若 f1 ) ( ? 1? 且函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称． （1）求 a , b 的值； （2）若函数 f ( x ) 在 ? k , k ? 1? ? k ? 1? 上的最大值为 8，求实数 k 的值．

18． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ? 1) ? lg

x ． 2? x

（1）求函数 f ( x ) 的解析式，并判断 f ( x ) 的奇偶性； （2）解关于 x 的不等式： f ( x) ? lg ?3x ?1? ．

19． （本小题满分 12 分）某上市股票在 30 天内每股的交易价 格 P （元）与时间 t （天）组成有序数对 ? t , P ? ，点 ? t , P ? 落在图中的两条线段上； 该股票在 30 天内的日交易量 Q （万股）与时间 t （天）的部分数据如下表所示 第t 天 4 36 10 30 16 24 22 18

P
6 5

2

O

10

20

30

t

Q （万股）

（1）根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格 P （元）与时间 t （天）所满足的函 数关系式； （2）根据表中数据，写出日交易量 Q （万股）与时间 t （天）的一次函数关系式； （3）用 y （万元）表示该股票日交易额，写出 y 关于 t 的函数关系式，并求在这 30 天内 第几天日交易额最大，最大值为多少？

20． （本小题满分 13 分）已知指数函数 y ? g ? x ? 满足： g ( ?3) ?

1 ，定义域为 R 的函数 8

f ( x) ?

c ? g ( x) 是奇函数． 1 ? g ( x)

（1）求函数 g ( x) 与 f ( x ) 的解析式； （2）判断函数 f ( x ) 的单调性并证明之； （3）若关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 x ?? ?1,1? 上有解，求实数 m 的取值范围．

21． （本小题满分 14 分）已知 f ( x ) 对任意的实数 m, n 都有： f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ， 且当 x ? 0 时，有 f ( x) ? 1 ． （1）求 f (0) ； （2）求证： f ( x ) 在 R 上为增函数； （3） 若 f (6) ? 7 ， 且关于 x 的不等式 f (ax ? 2) ? f ( x ? x ) ? 3 对任意的 x ?? ?1, ??? 恒
2

成立，求实数 a 的取值范围．

黄冈中学 2014 年高一秋季期中考试数学试题 参考答案（附评分细则）
一、选择题： DBDAC 二、填空题： 11. BACCA

1 2

12. ?

1 6

13. 3

14. ? ?2,0?

? 2,5?

15. ? ?1,0?

一、选择题 1.解析： A ? ?0,1, 2,3, 4,5? ，故选 D 2.解析： 1 ? x ? 0 且 x ? 0 ，解得 0 ? x ? 1 ，故选 B 3.解析： A ? x | x ? 2或x ? 0 ，则 ? U A ? ?x | 0 ? x ? 2? ，故选 D

?

?

? 1 ? 4.解析： f (2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ， f ? ?? ? f (2) ?
2

?1? ? 1 ? 15 f ? ? ? 1 ? ? ? ? ，故选 A ?4? ? 4 ? 16

2

5.解析： y ? 10lg( x?1) ? x ? 1( x ? 1) ，故选 C 6.解析：利用指数函数、对数函数的单调性可以判断 C 正确，ABD 都错，故选 C 7.解析：令 x ? 1 ，得 f (1) ? g (1) ? 1，令 x ? ?1 ，得 f (?1) ? g (?1) ? 5 两式相加得： f (1) ? f (?1) ? g (1) ? g (?1) ? 6 ，即 2 f (?1) ? 6 ， f (?1) ? 3 8.解析：函数的定义域为 ? ??,1? 且在定义域上单调递减，故选 C 9.解析：令 x ? 0,1, 4 ，解得： x ? 0, ?1, ?2 ，故选 C
2
2 10.解析：令 u ( x) ? ax ? x ，则 y ? log a u ，所以 u ( x) 的图像如图所示

当 a ? 1 时，由复合函数的单调性可知，区间 ?3, 4? 落在 ? 0,

? ?

1? 2a ? ?

或?

1 1 ?1 ? 或 ? 3 ，故有 a ? 1 , ?? ? 上，所以 4 ? 2a a ?a ?

当 0 ? a ? 1 时，由复合函数的单调性可知， ?3, 4? ? ? 所以

? 1 1? , ? ? 2a a ?

1 1 1 1 1 1 ? 3 且 ? 4 解得 ? a ? ，综上所述 a ? 1 或 ? a ? ，故选 A 2a 6 4 6 4 a
?

二、填空题 11.解析： 4 ? 2 ，解得 ? ? 12.解析：原式=

1 2

1 1 1 ?2? ?2 ? ? 3 2 6

13.解析：由集合元素的互异性可知： ?a ? a 且 a ? 0 ，所以 a ? 0
b 所以 A ? ??a, a,4? ， B ? ? a,1, 2b ，故 a ? 1 且 4 ? 2

?

?

所以 a ? 1, b ? 2 ，故 a ? b ? 3 14.解析：由奇函数的图像关于原点对称可知 f ( x) ? 0 的解集为 ? ?2,0?

? 2,5?

15.解析：当 x ? 0 时， f ( x) ? 0 ，则 0 ? a 2 ? 1 ，解得 ?1 ? a ? 1 ，所以 ?1 ? a ? 0 当 x ? 0 时，? x ? 0 ， f (? x) ? ? x ? 由对勾函数的图像可知，当 x ?

a2 a2 ? 2 ，则 f (x) ?? f (?x) ? x ? ? 2 ?x x

a 2 ? a ? ?a 时，有 f ( x)min ? ?2a ? 2

所以 ?2a ? 2 ? a 2 ?1 ，即 a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ，解得 ?3 ? a ? 1 ，又 a ? 0 所以 ?3 ? a ? 0 ，综上所述： ?1 ? a ? 0 三、解答题 16.解： （1） T ? ? 0,2? 当 a ? 1 时， S ? ? 0,1? 1分 2分 4 分， S

S T ? ? 0,2?

T ? ? 0,1?

6分 8分

（2）因为 a ? 0 ，所以 S ? x | x ? x ? a ? ? 0 ? ?x | 0 ? x ? a? 则 ? 0, a ? ? ? 0, 2? ，所以 a ? 2 又 a ? 0 ，所以 0 ? a ? 2 12 分 10 分

?

?

17.解： （1）由题意可得： f (1) ? a ? b ? ?1 且 ? 解得： a ? 1, b ? ?2
2 （2） f ( x) ? x ? 2 x ? ? x ? 1? ? 1 2

b ?1 2a
6分

4分

因为 k ? 1 ，所以 f ( x ) 在 ? k , k ? 1? 上单调递增 所以 f ( x) max ? f (k ? 1) ? ? k ? 1? ? 2( k ? 1) ? 8
2

7分 9分

解得： k ? ?3 又 k ? 1 ，所以 k ? 3 18.解： （1）令 t ? x ? 1 ，则 x ? t ? 1

11 分 12 分

所以 f (t ) ? lg

t ?1 t ?1 ? lg 2 ? ? t ? 1? 1? t
x ?1 (?1 ? x ? 1) 1? x

2分

所以 f ( x) ? lg

3分

注：若没写定义域或定义域错误扣一分 因为 f ( x ) 的定义域关于原点对称

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? 且 f (? x) ? lg ? lg ? ? ? ? lg ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
所以 f ( x ) 是奇函数 （2） lg 6分 7分

?1

x ?1 x ?1 ? lg(3x ? 1) ? ? 3x ? 1 ? 0 1? x 1? x 1 由 3x ? 1 ? 0 得 x ? ? 3

x ? 1 ? ? 3x ? 1? (1 ? x) x ?1 x ?1 ? 3x ? 1 ， ? ? 3x ? 1? ? 0 ， ?0 1? x 1? x 1? x
即

3x 2 ? x 3x 2 ? x ?0， ?0 1? x x ?1

9分

即

x ? 3x ? 1? ? 0 ? x ? x ? 1?? 3x ? 1? ? 0 且 x ? 1 x ?1
1 ? x ?1 3
11 分

10 分

解得： x ? 0 或

又 x ? ? ，所以原不等式的解集为 ? ? ,0? 3 3 注：区间端点错一个扣一分 19. （1）当 0 ? t ? 20 时，设 P ? at ? b

1

? 1 ?

? ?

?1 ? ? ? 3 ,1? ?

12 分

?b ? 2 ?b ? 2 1 ? ?? 由图像可知此图像过点 ? 0, 2 ? 和 (20,6) ，故 ? 1 , ?P ? t ? 2 5 ?6 ? 20a ? 2 ? a ? 5 ?

同理可求当 20 ? t ? 30 时，? P ? ?

1 t ?8 10
4分

?1 t ? 2, 0 ? t ? 20, t ? N ? ?5 ?P ? ? ?? 1 t ? 8, 20 ? t ? 30, t ? N ? ? 10

注：少写一个或写错一个扣 2 分，区间写错或没写 t ? N 扣 1 分 （2）设 Q ? ct ? d ，把所给表中任意两组数据代入可求得 c ? ?1, d ? 40 ， ?Q ? ?t ? 40, 0 ? t ? 30, t ? N 6分 （3）首先日交易额 y （万元）=日交易量 Q （万股） ? 每股交易价格 P （元）

? 1 ? (t ? 15)2 ? 125 0 ? t ? 20, t ? N ? ? 5 ?y ? ? ? 1 ? t ? 60 ?2 ? 40 20 ? t ? 30, t ? N ? ?10
当 0 ? t ? 20 时，当 t ? 15 时， ymax ? 125 万元 当 20 ? t ? 30 时， y 随 t 的增大而减小 20.解： （1）设 g ( x) ? a x ，则 g ( ?3) ? a 解得： a ? 2 ，所以 g ( x) ? 2x 所以 f ( x) ?
?3

8分

9分 10 分 12 分

故在 30 天中的第 15 天，日交易额最大为 125 万元.

?

1 8
1分

c ? 2x c ?1 ? 0 ，所以 c ? 1 ，令 f (0) ? 0 得 x 2 1? 2
1 ? 2x 为奇函数，符合题意 1 ? 2x

3分

经检验，当 c ? 1 时， f ( x) ?

4分

所以 f ( x) ?

1 ? 2x 1 ? 2x
5分

（2） f ( x ) 在 R 上单调递减

证明如下：任取 x1 , x2 ? R ，且 x1 ? x2 ，则

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 ?1 ? 2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2

?1 ? 2 ?
?
因为 2 1 ? 0, 2
x x2

x1

? 2 x2

??1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? ?2 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ?
x1 x2 x2 x1 x1 x2 x1 ? x2 x2 x1 x1 ? x2 x1 x2

2(2 x2 ? 2 x1 ) 2 ? 2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) ? ?1 ? 2x1 ??1 ? 2 x2 ? ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ?

7分

? 0 ，所以 ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ? ? 0
x2 ? x1

而 x1 ? x2 ，所以 x2 ? x1 ? 0 ， 2

? 1 ， 2 x2 ? x1 ? 1 ? 0

8分

2 ? 2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) 所以 ? 0 ，即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?1 ? 2x1 ??1 ? 2 x2 ?
所以 f ( x ) 在 R 上单调递减 9分

（3）由（2）知 f ( x ) 在 ??1,1? 上单调递减，所以 f ? ?1? ? f ( x) ? f (1) 即 f ( x ) 在 ??1,1? 上的值域为 ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

11 分

要使得关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 x ?? ?1,1? 上有解，则 实数 m 的取值范围为 ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

13 分

21.（1）解：令 m ? n ? 0 ，则 f ? 0? ? 2 f ? 0? ?1，解得 f ? 0? ? 1 （2）证明：设 x1 , x2 是 R 上任意两个实数，且 x1 ? x2 ，则 令 m ? x2 ? x1 , n ? x1 ，则 f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?1 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ?1 由 x1 ? x2 得 x2 ? x1 ? 0 ，所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ，即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( x ) 在 R 上为增函数 （3）由已知条件有： 7分

3分

5分

f (ax ? 2) ? f ( x ? x 2 ) ? f ? ax ? 2 ? x ? x 2 ? ? 1
2 故原不等式可化为： f ax ? 2 ? x ? x ? 1 ? 3 2 即f ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? 2 ? ??2

?

?

而当 n ? N 时， f (n) ? f (n ? 1) ? f (1) ? 1 ? f (n ? 2) ? 2 f (1) ? 2

?

? f (n ? 3) ? 3 f (1) ? 3 ? ?????? ? nf (1) ? (n ? 1)
所以 f (6) ? 6 f (1) ? 5 ，所以 f (1) ? 2
2 故不等式可化为 f ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? 2 ? ? ? f (1)

9分

由（2）可知 f ( x ) 在 R 上为增函数，所以 ? x ? ? a ? 1? x ? 2 ? 1
2

即 x ? ? a ? 1? x ? 3 ? 0 在 x ?? ?1, ??? 上恒成立
2

10 分

令 g ( x) ? x ? ? a ? 1? x ? 3 ，即 g ( x)min ? 0 成立即可
2

（i）当

a ?1 ? ?1 即 a ? ?3 时， g ( x) 在 x ?? ?1, ??? 上单调递增 2

则 g ( x)min ? g (?1) ? 1 ? (a ? 1) ? 3 ? 0 解得 a ? ?5 ，所以 ?5 ? a ? ?3 11 分 (ii)当

a ?1 ? ?1 即 a ? ? 3 时 2

有 g ( x)min ? g (

a ?1 ? a ?1 ? a ?1 )?? ?3? 0 ? ? (a ? 1) 2 2 ? 2 ?

2

解得 ?2 3 ?1 ? a ? 2 3 ?1 而 ?3 ? ?2 3 ? 1 ，所以 ?3 ? a ? 2 3 ?1 综上所述：实数 a 的取值范围是 (?5, 2 3 ? 1) 13 分 14 分

注： （i）(ii)两种情况少考虑一种或计算错一种扣两分，最后综上所述错误扣一分