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学霸高一物理复习计划表02月25日



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证明路径显得格外简捷、漂亮.
证法三  (构造方程)
设a,b为方程x2-mx+n=0的两根.则

因为a>0,b>0,所以m>0,n>0且Δ=m2-4n≥0.①
因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n],所以


所以a+b≤2.
由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n,即n≤1.所以 ab≤1.
说明:认真观察不等式的结构,从中发现与已学知识的内在联系,就能较顺利地找到解决问题的切入点.
证法四  (恰当的配凑)
因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),
于是有6≥3ab(a+b),从而
8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,
所以a+b≤2.(以下略)




即a+b≤2.(以下略)
证法六  (反证法)
假设a+b>2,则
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab).
因为a3+b3=2,所以2>2(4-3ab),因此ab>1.        ①
另一方面,2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab>2ab,
所以ab<1.                 ②
于是①与②矛盾,故a+b≤2.(以下略)
说明:此题用了六种不同的方法证明,这几种证法都是证明不等式的常用方法.

例9.设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x,y=-x,均不相

分析:因为x∈R,故|f(x)|的最小值若存在,则最小值由顶点确定,故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0).
证明:由题意知,a≠0.设f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根,故
Δ1=(b+1)2-4ac<0,
Δ2=(b-1)2-4ac<0.
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即2b2+2-8ac<0,即
b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.



说明:从上述几个例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设条件,合理采取二次函数的不同形式,那么我们就找到了一种有效的证明途径.

例10.(2002理)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
解:设2001年末的汽车保有量为,以后每年末的汽车保有量依次为,每年新增汽车万辆。
由题意得


例11.已知奇函数
知函数

分析:这是一道比较综合的问题,考查很多函数知识,通过恰当换元,使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。


要使
10 当

30当
综上:

例12.如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽是多少?
(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽,才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小?
(半个椭圆的面积公式为s=柱体体积为:底面积乘以高,,本题结果均精确到0.1米)
分析:本题为2003年上海高考题,考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。
解:1)建立如图所示直角坐标系,则P(11,4.5)
椭圆方程为:
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得
故隧道拱宽约为33.3米
2)由椭圆方程

故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.

例13.已知n∈N,n>1.求证
分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题,但不一定选用数学归纳法,观其"形",它具有较好规律,因此不妨采用构造数列的方法进行解.







说明:因为数列是特殊的函数,所以可以因问题的数学结构,利用函数的思想解决.

例14.已知函数



分析:本例主要复习函数、不等式的基础知识,绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式,利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明(1)再利用二项展开式及基本不等式的证明(2)。
证明:(1)
当且仅当时,上式取等号。




(2)时,结论显然成立
当时,




例15.(2001年全国理)己知
(1)
(2)
证明:(1)
同理

(2)由二项式定理有

因此

四、强化训练
1.已知非负实数,满足且,则的最大值是( )
A. B. C. D.
2.已知命题p:函数的值域为R,命题q:函数
是减函数。若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1或a≥2
3. 解关于的不等式>0
4.求a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是:
(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3){2};(4)[-1,+∞).
5. 解关于的不等式
6.(2002北京文)数列由下列条件确定:
(1)证明:对于,
(2)证明:对于.
7.设P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1,若t在区间[-2,2]上变动时,P恒为正值,试求x的变化范围.
8.已知数列中,
b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。
Ⅰ)求数列
Ⅱ)设的前n项和为Bn, 试比较。
Ⅲ)设Tn=
五、参考答案
1.解:画出图象,由线性规划知识可得,选D
2.解:命题p为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数的判别式,从而;命题q为真时,。
若p或q为

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