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哈三中2012-2013学年度上学期期中高二数学(理)试卷


哈三中 2012-2013 学年度上学期 高二学年第一模块数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,且过点 (1,1) ,则 l 的方程为 A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0
2

B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

2.设抛物线的方程为 y ? 4x ,则其准线方程为 A. x ? ?

1 16

B. x ? ?1

C. y ? ?

1 16

D. y ? ?1

3.圆心在 y 轴上,半径为 1 ,且过点 (1,2) 的圆的方程为 A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

4. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 的焦距为 7 ,一条渐近线方程为 y ? 6 x , m2 n2

则此双曲线的方程为 A. x ?
2
2

y2 ?1 6
2

B.

x2 y2 ? ?1 4 24
2

C. 6 x ? y ? 1

D. 4 x ?

2 2 y ?1 3

?2 x ? y ? 4 ? 5.设实数 x , y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? y ?x ? 2 y ? 2 ?
A. 有最小值 ? 5 ,最大值 0 C. 有最大值 0,无最小值 B. 有最小值 0,无最大值 D. 既无最小值,也无最大值

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6.已知圆 C : x ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,点 A(?2,0) 及点 B(4, a) ,从 A 点观察 B 点,
2 2

要使视线不被圆 C 挡住,则实数 a 的取值范围是 A. (??,?1) ? (1,??) C. (??,? B. (??,?2) ? (2,??) D. (??,?3 2 ) ? (3 2 ,??)

4 4 3 ) ? ( 3,??) 3 3

7. 一圆形纸片的圆心为 O ,点 Q 是圆内异于 O 的一点,点 A 在圆周上.把纸片折叠 使点 A 与点 Q 重合,然后抹平纸片,折痕 CD 与 OA 交于 P 点,当点 A 运动时, 点 P 的轨迹是 A. 圆 C. 双曲线 B. 椭圆 D. 抛物线

8.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在椭圆上, a2 b2

AF1 ? F1 F2 ? 0 , ?F1 AF2 ? 45 ? ,则椭圆的离心率 e 等于
A.

3 3

B. 2 ? 1

C. 3 ? 1

D.

5 ?1 2

x2 2 9.设圆 C 的圆心为双曲线 2 ? y ? 1(a ? 0) 的左焦点,且与此双曲线的渐近线相切, a
若圆 C 被直线 l : x ? y ? 2 ? 0 截得的弦长等于 2 ,则 a 等于 A. 1
2

B. 6

C. 2 2

D. 4

10.过抛物线 y ? 8 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点, O 为坐标原点, 若 BF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为 A. 6 2 B. 4 3 C. 4 2
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D. 2 3

11.如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和公共的左焦点 F ,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ 的中心,设椭圆Ⅰ与Ⅱ的离心率分别为 e1 和 e 2 ,则 A. e1 ? e2 C. e1 ? e2 B. e1 ? e2 D. e1 和 e 2 大小关系不确定

x2 y2 12. 过椭圆 切点为 A, B , A, B 的 过 ? ? 1 上一点 P 作圆 x 2 ? y 2 ? 2 的两条切线, 16 4
直线与两坐标轴的交点为 M , N ,则 ?MON 的面积的最小值为 A.

3 2

B.

2 3

C.

1 2

D. 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角为 .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点的弦,且两端点 A 、 B 的横坐标之和为 ? 7 , 14. AB 是过椭圆 49 13
则 AB =_______.
2 15. 过点 P(3,0) 的直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则 OA ? OB ?



16.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ① A 、 B 为两个定点, k 为非零常数, PA ? PB ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB , P 是 AB 中点,则动点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线

x2 y2 x2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. ? ? 1 与椭圆 35 25 9


其中正确命题的序号为

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三、解答题(共 70 分) 17.(10 分)已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 ,直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 .
2

(1)若 l1 ? l 2 ,求 a 的值; (2)若 l1 // l 2 ,求 a 的值.

18.(12 分)已知点 O?0,0? 和点 B?3,0? ,动点 P 到 O, B 的距离之比为 2 :1 . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)求 ?POB 面积最大值.

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19.(12 分)已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 l : y ? 3( x ? 1) 与椭圆 相交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点 M 到原点的距离为 1,且 AB ? 2 . (1)求点 M 坐标; (2)求椭圆方程.

20.(12 分)已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的左支交于不同两点 A 、 B , ..
2 2

若另有一条直线 l 经过 P(?2,0) 及线段 AB 的中点 Q . (1)求 k 的取值范围; (2)求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

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21.(12 分)已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,其准线与 x 轴交于点 M ,过 M 作斜率
2

为 k 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,弦 AB 的中点为 P , AB 的垂直平分线与 x

0 轴交于点 E ( x 0,) .
(1)求 k 的取值范围; (2)求证: x0 ? 3 ; (3) ?PEF 能否成为以 EF 为底的等腰三角形?若能,求此 k 的值; 若不能,说明理由.

x2 y2 3 1 22. (12 分)已知椭圆 ? ? 1 及点 M (? ,? ) ,过点 M 作直线 l 交椭圆 12 4 2 2
于 P, Q 两点. (1)若 M 是弦 PQ 的中点,求直线 PQ 的方程; (2)求证:以线段 PQ 为直径的圆恒过椭圆上一定点 A ,并求出定点 A 的坐标.

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