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2012《数与代数》综合练习及答案


《数与代数》综合练习
(满分:150 分;时间:120 分钟)

一、选择题(每小题 3 分,共 21 分)
1.下列实数中,是无理数的是( A. 9
2

) C. 1 ) D. a ≤2 )
4

B. ?

3

D. ?

1 3

2.若 ? a ? 2 ? ? a ? 2 ,则 a 的取值为( A. a <2 B. a >2 C. a ≥2

3.下列各式中,与 2 是同类二次根式的是( A. 8 4.不等式
1 ? 3x 2

B. 6

C. 9

D. )

? ( x ? 2 ) <0 的解集是(

A. x > 1

B. x > ? 1

C. x < 1 ) B.

D. x < ? 1

5.下列各式中,一定成立的是( A.
?b ? a a ?b ? ?1

x? y 2 xy ? x
2
2

? y
2

2

?

1 x? y
2

C. ? a ? b ? ? a ? b
2 2

2

D. a ? 2 ab ? b ? ?b ? a ?

6.若反比例函数的图象经过点( ? 2 , ? 3 ) ,则函数的图象在( A.第一、二象限 C.第二、三象限 B.第一、三象限 D.第二、四象限

)

7.已知点 A 的坐标为 ( a, b ) , O 为坐标原点,连结 O A ,将线段 O A 绕点 O 按顺时针方 向旋转 90°得 O A1 ,则点 A1 的坐标为( A. ( ? a, b )
? B. ( a, b )


? D. ( b, a )

C. ( ? b, a )

二、填空题(每题 4 分,共 40 分)
8.3 的相反数是________ . 9.计算: a ? a ? _________ .
2 3

1

10.分解因式: 2 x ? x ? _____
2

. . .

11.若抛物线 y=2x2 向下平移 1 个单位,则所得抛物线是

12.如果正比例函数的图象经过点 (1, ) ,那么这个正比例函数的解析式为 2 13.方程
5 x ? 7 x? 2

的根是____________.

14. 太 阳 的 半 径 大 约 是 696000000 米 , 这 个 数 据 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 _____________米. 15.函数 y ?
1 x?3

中自变量 x 的取值范围是
2

. .
4 3 x ? m 与x 轴

16.若 x =1 是一元二次方程 ax

? x ? 2 ? 0 的一个根,则 a =

17.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线 l : y ? ?

l

y

交于点 A ( 3 , 0 ) ,问:(1) m 的值是___________;(2) y 轴关于直线 l 对称的直线 的函数关系式是:___________________. O A x

三、解答题(共 89 分)
18. 分)计算: ? 2 ? ( 2012 ? 1) ? (9
2 0

1 3

? ?1



19. 分)化简: (9

1? a

3 ? ? ???1? a ? ? a ?2 ? a ?1?



20. 分)计算: 48 ? (9

27 ? 9

4 3

.

2

21. 分)先化简,再求值: x ? x ? 2 ? ? ? x ? 1 ? ,其中 x ? 3 . (9
2

22. 分)解方程组 ? (9

?x ? 5y ? 1 ? 3 x ? 2 y ? 20

.

23. 分)公司承包了一座路桥工程,进入施工场地后筑路桥的长度 y(m)与时间 x(天) (9 之间的函数关系如图所示. ?(1)求 0≤x≤4 的时间段内,y 随 x 变化的函数关系式; ?(2)所筑路桥的长度为 65 m,预计需要多少天完成?

24. 分)已知反比例函数 y ? (9 (1)求 m 的值;

2m x

(m 为常数)的图象经过点 A(1,6) . y
2m x

(2)如图,过点 A 作直线 AC 与函数 y ?

的图象交于点 B,

A

与 x 轴交于点 C,且 AB=2BC,连结 BO,求△BOC 的面积. B O C x

3

25.(13 分)我市某水产品养殖户对近几年市场行情和水产品销售进行分析,发现某种水产 品的每千克售价 y 1 (元)与销售月份 x (月)满足关系式 y 1 ? ?
3 8 x ? 36 ,而其每千克成

本 y 2 (元)与销售月份 x (月)满足的函数关系如图所 y2(元) 示. (注:利润=售价-成本) (1)确定 b、 c 的值; (2)求出该种水产品每千克的利润 y (元)与销售月份
x (月)之间的函数关系式;
y2 ? 1 8 x ? bx ? c
2

25 24 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x(月)

(3)六月之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最 大?最大利润是多少元?

26.(13 分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A 的坐标为 A(4,0),且
sin ? ACB ? 3 5

,动点 M、N 分别从点 O、B 同时出发,均以 1 单位/s 的速度运动(点 M 沿 OA

向终点 A 运动,点 N 沿 BC 向终点 C 运动) ,过点 N 作 NP∥AB 交 AC 于点 P,连结 MP,设运动 的时间为 t ( 0 ? t ? 4 ). (1)直接写出 OA 的长度; (2)试求 NP 的长(用含有 t 的代数式表示); (3)在两点的运动过程中,求△MPA 的面积S与 t 的函数关系式, 并求出 s ?
3 2

时,t 的值.

4

《数与代数》综合练习参考答案 一、1、B; 二、8、-3; 2、C;
5

3、A;

4、A;

5、D;
2

6、B;

7、D ;

9、 a ; 10、 x ? 2 x ? 1 ? ; 14、 6 . 96 × 10 ;
7 24 x? 4.
8

11、 y ? 2 x ? 1 ; 15、 x ? ? 3 ;

12、 y ? 2 x

13、 x ? ? 5

16、 1 ;

17、(1)4;(2) y ? ?

三、18、原式= ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? 0 . 19、原式=
1? a a ? 2 ? ( ? 1 ? a )( a ? 1) ? 3 a ?1
9?2 3 3 ?

?

? ( a ? 1) a ? 2

?

? ( a ? 2 )( a ? 2 ) a ?1

? a ? 2.

20、原式= 4 3 ? 3 2 ?

3 .

21、解:原式= x ? 2 x ? x ? 2 x ? 1 .
2 2

=4x ?1 . 当 x ? 3 时,原式= 3 ? 4 ? 1 ? 11 . 22、解:由①得 x ? 5 y ? 1 代入②,得
3 ( 5 y ? 1) ? 2 y ? 20 ,解得 y ? 1

把 y ? 1 代入①,得 x ? 5 ? 1 ? 1 ? 6
?x ? 6 ?y ? 1

∴这个方程组的解是 ?



23、解: (1)当 0 ? x ? 4 时,设所求的函数关系式为 y ? kx ∴ 20 ? 4 k 即k ? 5

∴所求的函数关系式为 y ? 5 x ( 0 ? x ? 4 ) . (2)当 x >4 时,设 y 与 x 的函数关系式为 y ? kx ? b
? 20 ? 4 k ? b ∴ ? ? 30 ? 12 k ? b
5 ? ?k ? 4 ? ? y ? 15 ?

解得

∴ y ?

5 4

x ? 15

(x >4 )

因为路桥长 65 米,前 4 天完成 20 米,余下 65-20=45 米 当 y ? 45 时, 45 ?
5 4 x ? 15

解得 x =24 (天) .

∴完成 65 米长的路桥需

24 ? 4 ? 28

5

24.(1)∵反比例函数 y ?

2m x

过(1,6)

∴ 6 ? 2m 解得 m ? 3 . (2)过点 B 作 BD ? OC 交 OC 于 D ,过点 A 作 AE ? OC 交 OC 于 E ∴△ CBD ∽△ CAE ∵ AB ? 2 BC ∴ BD ? 6 ?
BD AE
AB ? BC ? AC

?

BC AC
AE ? 6

BC 3 BC

? 2

∵y ?

6 x

过B 点 ∴ 2 ?

6 x

,x ? 3

点 B 的坐标为(3,2) 设 AB 所在的直线为 y ? kx ? b 过 A (1,6) B (3,2) 、
?6 ? k ? b ? ?2 ? 3k ? b ?k ? ?2 ?b ? 8

解得 ?

∴ y ? ?2 x ? 8

与 x 轴的交点(4,0) S△BOC=
1 2 ? OC ? BD ? 4 .

25. 解: (1)由题意:
1 ? 2 2 5 ? ? 3 ? 3b ? c ? ? 8 ? ? 24 ? 1 ? 4 2 ? 4b ? c ? 8 ?

7 ? b ? ?1 ? ? 8 解得 ? ?c ? 29 1 ? ? 2

(2) y ? y 1 ? y 2
? ? 1 5 ? 1 2 ?1 x ? 3 6? ? x ? x 2 9 ? ? 8 8 2 ? 8 ? 3

? ?

1 8

x ?
2

3 2

x?6 x?6

1 1 2



2

(3) y ? ?
? ?

1 8 1 8

x ?
2 2

3 2

( x ? 12 x ? 36) ? 4 ?1 1

1 2

?6

1 2

1 2 ? ? ( x ?6 ) 8

∵a ? ?

1 8

? 0,

6

∴抛物线开口向下. 在对称轴 x ? 6 左侧 y 随 x 的增大而增大. 由题意 x < 6 ,所以在 5 月份出售这种水产品每千克的利润最大. 最大利润 ? ?
1 8 ( 5 ? 6 ) ? 11 ? 10
2

7 8

(元) .

26.解: (1)OA=4 (2)在矩形 OABC 中,BC=OA=4,∠B=90° 在 Rt△ABC 中,sin∠ACB= 设 AB=3x,AC=5x
(5 x )
2

3 5

? (3 x ) ? 4
2

2

即x ? 1
2

解得 x 1 ? 1, x 2 ? ? 1 (不符合题意,舍去) ∴AB=3 ∴tan∠ACB=
AB BC ? 3 4

又∵NP∥AB ∴∠CNP=90° ∴在 Rt△CNP 中,CN=4-t, ∴NP= CN ? tan ? PCN =
12 ? 3 t 4

(3)延长 NP 交 OA 于点 D,则四边形 ABND 是矩形 ∴DN⊥OA,DN=AB=3 又∵MA=OA-OM=4-t,PD=DN-NP= 3 ? ∴S△PMA=
1 2 MA ? PD = 1 2 ( 4 ? t)(3 12 ? 3 t 4 )= 3 8 3 8 t
2

12 - 3t 4

(4t ? t )
2

∴△MPA 的面积 S 与 t 的函数关系式为: S ? ? ∴当 s ? 解得 t=2 答:当 S ?
3 2 3 2

?

3 2

t

时,有

3 2

? ?

3 8

t

2

?

3 2

t ,即 t

2

? 4t ? 4 ? 0

时,t=2 .

7


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