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2015年3月第二次十三校联考数学理科


高三学科测试数学(理科)试卷
一.填空题 1. 幂函数 y ? x 2. 函数 y ?
m2 ? 2 m ?3

(m ? N ) 在区间 (0, ??) 上是减函数,则 m ?




log 1 x 的定义域为
2

3. 在△ ABC 中, BC ? 8 , AC ? 5 ,且三角形面积 S ? 12 ,则 cos 2C ?



4. i 为虚数单位,若关于 x 的方程 x 2 ? (2 ? i) x ? 1 ? mi ? 0( m ? R ) 有一实根为 n ,则

m?



5. 若椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,且此椭圆的焦距为 4,则实数 a ? 10 ? a a ? 2



6. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°,半径为 3 的扇形,则这个圆锥的表面积 是 ; ;

7. 若关于 x 的方程 lg( x 2 ? ax ) ? 1 在 x ? [1,5] 上有解,则实数 a 的取值范围是

8. 《孙子算经》卷下第二十六题:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 七数之剩二,问物几何? ;

9. 在极坐标系中,某直线的极坐标方程为 ? sin(? ? 离是 ;

? 2 )? ,则极点 O 到这条直线的距 4 2

10. 设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,令取到白球的个数为 ? ,且 ? 的数学 期望值 E? ?

6 ,则口袋中白球的个数为 7



11. 如图, 一个确定的凸五边形 ABCDE ,令 x ? AB ? AC , y ? AB ? AD ,z ? AB ? AE , 则 x, y, z 的大小顺序是 ;

??? ? ????

??? ? ????

??? ? ??? ?

12. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , D ? [0, 4? ] ,它的对应法则 f : x ? sin x ,现已知 f ( x ) 的值域是 {0, ?

1 ,1} ,则这样的函数有 2

个;

13. 若多项式 (1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x 3 ? … ? 2000 x1999 ? 2001x 2000 ) ? (1 ? 2 x ? 3 x 2 ? 4 x 3 ? …

?2000 x1999 ? 2001x 2000 ) ? a0 x 4000 ? a1 x 3999 ? a2 x 3998 ? a3 x 3997 ? … ? a3999 x ? a4000 ,
则 a1 ? a3 ? a5 ? … ? a2011 ? a2013 ? a2015 的值是 ;

14. 在平面直角坐标系中有两点 A( ?1,3 3) 、 B (1, 3) ,以原点为圆心, r (r ? 0) 为半径 作一个圆,与射线 y ? ? 3x ( x ? 0) 交于 M ,与 x 轴正半轴交于 N ,则当 r 变化时,

| AM | ? | BN | 的最小值为



二.选择题 15. 若非空集合 A 中的元素具有命题 ? 的性质, 集合 B 中的元素具有命题 ? 的性质, 若A?

B ,则命题 ? 是命题 ? 的(
A. 充分不必要条件 C. 充要条件



B. 必要不充分条件 D. 不充分不必要条件

16. 用反证法证明命题: “已知 a, b ? N* ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a, b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为( A. a, b 都能被 5 整除 C. a, b 不都能被 5 整除
2 2



B. a, b 都不能被 5 整除 D. a 不能被 5 整除
2 2

17. 实数 x, y 满足 x ? 2 xy ? y ? 4 x y ? 4 ,则 x ? y 的最大值是( A.



2

B.

3

C.

5

D. 2 2

18. 直线 m ? 平面 ? ,垂足是 O ,正四面体 ABCD 的棱长是 4,点 C 在平面 ? 上运动,点

B 在直线 m 上运动,则点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是(
A. [



4 2 ?5 4 2 ?5 , ] 2 2 3? 2 2 3? 2 2 , ] 2 2

B. [2 2 ? 2, 2 2 ? 2]

C. [

D. [3 2 ? 2,3 2 ? 2]

三.解答题 19. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面边长是 2 ,点 P, Q, R 分别在棱 AA1 , BB1 , BC 上, Q 是 BB1 中点,且 PQ ∥ AB , C1Q ? QR ; (1)求证: C1Q ? PR ; (2)若 C1Q ? 3 ,求四面体 C1PQR 的体积;

20. 已知数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且16bn?1 ? bn ( n ? N* ) ,设数列 { bn } 的前 n 项和是 Tn ; (1)比较 Tn?12 与 Tn ? Tn ? 2 的大小; ( 2 ) 若 数 列 {an } 的 前 n 项 和 S n ? 2n ? 2n ? 2 , 数 列 {cn } 满 足 cn ? an ? log d bn
2

(d ? 0, d ? 1) ,求 d 的取值范围,使得数列 {cn } 是递增数列;

21. 某 种 波 的 传 播 是 由 曲 线 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0) 来 实 现 的 , 我 们 把 解 析 式

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 称为“波” ,把振幅都是 A 的波称为“ A 类波” ,把两个波的解析式
相加称为波的叠加; (1)已知“1 类波”中的两个波: f1 ( x) ? sin( x ? ?1 ) 与 f 2 ( x) ? sin( x ? ?2 ) 叠加后仍是“1 类波” ,求 ?1 ? ?2 的值; (2)在“ A 类波”中有一个波是 f1 ( x) ? A sin x ,从“ A 类波”中再找出两个不同的波(每 两个波的初相 ? 都不同)使得这三个不同的波叠加后是“平波” ,即叠加后是 y ? 0 ,并请 说明理由; (3)在 n( n ? N , n ? 2) 个“ A 类波”的情况下,对(2)进行推广,使得(2)是推广至 一般情况下的一个特例,只写出推广的结论,不必证明;
*

22. 设函数 f ( x) ? ax ? (2b ? 1) x ? a ? 2 , a, b ? R ; (1)若 a ? 0 ,当 x ? [ ,1] 上恒有 f ( x) ? 0 ,求 b 的取值范围; (2)若 a ? 0 且 b ? ?1 ,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两点,使函数 y ? f ( x ) 的 图像永远不经过这两点; (3)若 a ? 0 ,函数 y ? f ( x ) 在区间 [3, 4] 上至少有一个零点,求 a 2 ? b 2 的最小值;

2

1 2

23. 设有二元关系 f ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? a ( x ? y ) ? 1 ,已知曲线 C : f ( x, y ) ? 0 ; (1)若 a ? 2 时,正方形 ABCD 的四个顶点均在曲线 C 上,求正方形 ABCD 的面积; ( 2) 设曲线 C 与 x 轴的交点是 M , N , 抛物线 E : y ?

1 2 x ? 1 与 y 轴的交点是 G , 直线 MG 2

与曲线 E 交于 P ,直线 NG 与曲线 E 交于 Q ,求证直线 PQ 过定点,并求该定点坐标; (3)设曲线 C 与 x 轴的交点是 M (u, 0) 、 N (v, 0) ,可知动点 R(u, v ) 在某确定的曲线 ? 上 运动, 曲线 ? 与上述曲线 C 在 a ? 0 时共有 4 个交点, 其坐标分别是 A( x1 , x2 ) 、B ( x3 , x4 ) 、

C ( x5 , x6 ) 、 D ( x7 , x8 ) ,集合 X ? {x1 , x2 , …, x8 } 的所有非空子集设为 Yi (i ? 1, 2,…, 255) ,
将 Yi 中的所有元素相加 (若 Yi 只有一个元素, 则和是其自身) 得到 255 个数 y1 , y2 , …, y255 , 求所有正整数 n 的值,使得 y1n ? y2 n ? … ? y255 n 是一个与变数 a 及变数 xi 均无关的常数;


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