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2013-2014学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(3)(函数2)

2013-2014 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(三) (函数(2) )
命题人: 学校: 审题人: 学校: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. y ? x ? 1 A. f ( x) ? x B. y ? ? x2 B. f ( x) ? x ? x C. y ?

2.下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是

1 x

D. y ? x | x |

C. f ( x) ? x ??

D. f ( x ) ? ? x

3.函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 的图像关于直线 x ? 1 对称的充要条件是 A. m ? ? 2 B. m ? 2 C. m ? ? 1 D. m ? 1 4.函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是 A. 0 B. 1 C. 2 5.已知 x ? ln ? , y ? log 5 2 , z ? e ,则 A. x ? y ? z B. z ? x ? y C. z ? y ? x
x 6.函数 y ? a ?

D. 3 D. y ? z ? x

1 ? 2

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

A B C D 7.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 1 A. y ? x3 ? 3x ? 3? x B. y ? ? C. y ? log3 x D. y ? 3x x 1 2 8.设函数 f ( x) ? , g ( x) ? ? x ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有两个不同 x 的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 A. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 9.函数 y ? B. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

1 ? x2 是 | x ? 4 | ? | x ? 3|
B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数

A. 奇函数

高三数学(三)第 1 页 共 6 页

? f ( x ) ( f ( x) ? k ) , 10.函数 y ? f ( x) 的定义域为实数集 R,对于给定的正数 k ,定义函数 f k ( x) ? ? ( f ( x) ? k ) ?k 给出函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 ,若对于任意的 x ? (??, ??) ,恒有 f k ( x) ? f ( x) ,则
A. k 的最大值为 2 C. k 的最小值为 2 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 11.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为 . . 1 2 3 4 B. k 的最大值为 1 D. k 的最小值为 1 5 6 7 8 9 10

12.若函数 f ? x ? 的反函数 f ?1 ? x ? ? 1 ? x2 ? x ? 0? ,则 f ? 2 ? ?

13.已知函数 f ( x) ? e| x?a| ( a 为常数) 。若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,则 a 的取值范 围是 。 . 14.已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范

围是_________ 15. 设函数 f ( x) ? x ?

1 ,对任意 x ? [1, ??) f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立, 则实数 m 的取值范 x

围是________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 16.二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)解不等式 f ( x) ? 2 x ? 5 .

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17.若函数 f ( x) ?

a ? 2x ? 1 ? a 为奇函数. 2x ? 1

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的定义域.

18.设 f ( x) ? a x ? ln x (a ? 0) (2)求 f ( x) 在 ??, ?? 上的最小值

(1)若 f ( x) 在 ??, ?? ? 上递增,求 a 的取值范围;

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19.如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线 20

上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超 过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

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20.已知函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| , g ( x) ? x | x ? a | ?2 ? 2ln 2, a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值; (2)对任意 x1 ?[1, ??) ,总存在惟一的 ...x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 求 a 的取值范 围

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ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 ex (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间;
21.已知函数 f ( x) ? (3)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

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2013-2014 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(三)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 11. 0, 6 ? 12. ?1 13. (??,1] 14. 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 15. m ? ?1 ? 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.解: (1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x. ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. (2)由 x2-x+1>2x+5,即 x2-3x-4>0,解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式解集为{x|x>4 或 x<-1}. a· 2x-1-a 1 17.解:∵函数 y= ,∴y=a- x . 2x-1 2 -1 (1)由奇函数的定义,可得 f(-x)+f(x)=0, 1-2x 1 1 即 a- -x +a- x =0,∴2a+ =0, 2 -1 2 -1 1-2x 1 ∴a=- . 2 1 1 (2)∵y=- - x ,∴2x-1≠0,即 x≠0. 2 2 -1 1 1 ∴函数 y=- - x 的定义域为{x|x≠0}. 2 2 -1

?

a x ?2 2x a x ?2 在 x ? [1, ??] 时 f ?( x) ? ? 0 恒成立 2x 2 恒成立 ? a ? 2 。 ? 在 x ? [1, ??] 时 a ? x
18.解: (1) f ?( x) ?

a x ?2 x ?[ 1 , 4 ] 2x (a)当 a ? 2 时,在 x ? [1, ∴ f min ( x) ? f (1) ? a ; ? ?4] 上 f ?( x) ? 0 (b)当 0 ? a ? 1 时,在 x ? [1, ∴ f min ( x) ? f (4) ? 2a ? 2ln 2 ; ? ?4] 上 f ?( x) ? 0 4 4 ? ? 2 ] 上 f ?( x) ? 0 ,在 x ? [ 2 ?,?4] 上 f ?( x) ? 0 , (c)当 1 ? a ? 2 时,在 x ? [1, a a 4 此时 f min ( x) ? f ( 2 ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2 ln a 。 a
(2)由 f ?( x) ?
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?2a ? 2 ln 2????????????????? ? a ? 1 ? 综上所述: f min ( x ) ? ? 2 ? 2 ln 2 ? 2 ln a??????? ? a ? 2 ?a??????????????????????????????? ? a ?
19.解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 20k 20 20 ∴ x= = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k ∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 20.解: (1)当 a ? 1 , x ? [1, e] 时 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 , f ?( x) ? 2 x ? 所以 f ( x ) 在 [1, e] 递增,所以 f ( x)max ? f (e) ? e 2

1 ? f ?(1) ? 1 , x

? 6 ? 2a ? 2ln 2 ? 1 ? a , (2)①当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 单调递增,由 g (2)
5 2 ? ln 2 ? a ? 2 3 3 a 3a a a ? 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? ? ln , ②当 1 ? ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 先减后增,由 g (2) 2 2 2 2 a a a a 得 ? ln ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,设 h(t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2(t ? ) , h?(t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) , 2 2 2 2 所 以 h(t ) 单 调 递 增 且 h( 2 )? 0, 所 以 h(t ) ? 0 恒 成 立 得 2?a?4 y a a a 2 ③当 2 ? ? e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增,在 [ , a ] 递减, 2 2 2 a 3a a a ? ln , 在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? a a x 2 2 2 2 2 a 2 3a a a ? ? ln ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 得 4 2 2 2 2 设 m(t ) ? t ? 3t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2 , 2 则 m?(t ) ? 2t ? 2 ? ln t ? 0(t ? (2, e ) ,所以 m(t ) 递增,且 m(2) ? 0 , 所以 m(t ) ? 0 恒成立,无解.

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2 ④当 a ? 2e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增,在 [ , a ] 递减,在 [ a, ??) 递增,

a 2

a 2

a a2 ? e2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 无解. 所以由 g ( ) ? e 得 2 4 5 2 综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ? ln 2, 4) 3 3
1 ? ln x ? k 1? k 21.解:(1) f ?( x) ? x ,由已知, f ?(1) ? ? 0 ,∴ k ? 1 . ex e 1 ? ln x ? 1 (2) 由(1)知, f ?( x) ? x . ex 1 1 1 设 k ( x) ? ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x 由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 .

综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (3)由(2)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 , 故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立.
1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex 设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) ,

当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 .

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