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人教版高中数学选修1-1教案:3.3.2函数的极值与导数

§3.3.2 函数的极值与导数 项目 内容 修 改 课题 (共 2 课时) 与 创 新 1.理解极大值、极小值的概念; 教学 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 目标 3.掌握求可导函数的极值的步骤. 教学 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 重、 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 难点 教学 多媒体课件 准备 一、导入新课: 观察图 3.3-8,我们发现,t ? a 时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么, 函数 h(t ) 在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的 符号有什么变化规律? 放大 t ? a 附近函数 h(t ) 的图像,如图 3.3-9.可以看出 h?(a ) ;在 t ? a ,当 教学过 程 t ? a 时,函数 h(t ) 单调递增, h?(t ) ? 0 ;当 t ? a 时,函数 h(t ) 单调递减, h?(t ) ? 0 ; 这就说明, 在 t ? a 附近, 函数值先增 ( t ? a ,h?(t ) ? 0 ) 后减 (t ? a, h?(t ) ? 0 ) .这样,当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时,h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) 连 续变化,于是有 h?(a) ? 0 . 对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢? 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的 极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小 值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二、讲授新课: 1 . 问 题 : 图 3.3-1 ( 1 ) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随 时间 t 变化的函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区 别? 通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点, 离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加, 即 h(t ) 是增函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . (2) 从最高点到入水, 运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少, 即 h(t ) 是减函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图 3.3-3,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递 增;在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系 ' 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单 ' 调递增;如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. ' 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常 函数. 3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ' ? f ' ( x) ; (3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 三.典例分析 例 1. (课本例 4)求 f ? x ? ? 解: 因为 f ? x ? ? 1 3 x ? 4 x ? 4 的极值 3 1 3 x ? 4 x ? 4 ,所以 3 f ' ? x ? ? x2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 。 f ' ? x ? ? 0, x ? 2, x ? ?2 下面分两种情况讨论: (1)当 f ' ? x ? >0,即 x ? 2 ,或 x ? ?2 时; (2)当 f ' ? x ? <0,即 ?2 ? x ? 2 时. 当 x 变化时, f ' ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表: x y? y ? ??,2? + ↗ -2 0 极大值 (-2,2) - 2 0 极小值 ? ? 2, ??? + 28 3 ↘ 4 3 ↗ 因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 f ( ?2) ? 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 f (2) ? ? 函数 f ? x ? ? 28 ; 3 4 。 3 1 3 x ? 4 x ? 4 的图像如图所示。 3 y 1 f(x)= x3-4x+4 3 2 -2 O x 例 2 求 y=(x2-1)3+1 的极值 解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2 令 y′=0 解得 x1=-1,x2=0,x3=1 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表 x y? y ? ??, ?1? - ↘ -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 ?1, ??? 0 无极值 - ↘ 0 极小值 0 + ↗ 0 无极值 + ↗ ∴当 x=0 时,y 有极小值且 y 极小值=0 y f?x? = ?x2-1?3+1 -1 O 1 x 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的

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