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【数学】江苏省泰州市姜堰区2013-2014学年高二上学期期中考试

2013~2014 学年度第一学期期中考试 高二数学试题 (考试时间:120 分钟 总分 160 分) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题 线上. ) 1.直线 3x ? y ?1 ? 0 的斜率是 ▲ . ▲ . ▲ . . 2. 经过点 B(3, 0) ,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为: 3.以 A(2, ?1) 为圆心,半径为 2 的圆的标准方程为 ▲ 4.方程 x2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是: 5.抛物线 y 2 ? ?16 x 的准线方程为 ▲ . 6.已知双曲线的实轴长为 16,虚轴长为 12,则双曲线的离心率为 7.在立体几何中,下列结论一定正确的是: ▲ ▲ . (请填所有正确结论的序号) ①一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱; ②用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然是棱锥,另一个我们称之为棱台; ③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆锥; ④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆台. 8.用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥,截得圆台的上、下底面半径之比是 1 : 4,截 去的小圆锥的母线长是 3 cm,则圆台的母线长 ▲ cm. ▲ . 9.与圆 x 2 ? y 2 ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程为 10. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形, 则椭圆的离心率为 ▲ . 11 . 已知圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 , 过点 ? 2,3? 的直线 l 与 圆相交于 A, B 两 点, 且 2 2 ?ACB ? 90 ,则直线 l 的方程是 ▲ . 12.在等腰直角三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, 点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从 点 P 出发,经 BC, CA 发射后又回到点 P (如图 1 ).若光线 QR 经过 ?ABC 的重心(三角形三条中线的交点),则 AP = ▲ . 1 13.在直角坐标系中,已知 A? ?1,0? , B ?1,0 ? ,点 M 满足 取值范围为 14.函数 y ? ▲ . MA ? 2 ,则直线 AM 的斜率的 MB 4 ? ( x ? 3) 2 (1 ? x ? 5) 的图象上至少有三个点到原点的距离成等比数列,则 公比 q 的最大值是 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 已知直线 l1 : 2x ? y ? 2 ? 0 和 l2 : 3x ? y ? 1 ? 0 (Ⅰ)求过直线 l1 和 l2 的交点且与直线 l3 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行得直线方程; (Ⅱ)若直线 l4 : 3x ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 l1 和 l2 的分别交于点 A、B ,求线段 AB 的长 16. (本题满分 14 分) 已知圆心 C(1, 2),且经过点? 0,1? (Ⅰ)写出圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 P(2, ?1) 作圆 C 的切线,求切线的方程及切线的长. 17. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C : 3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 (0, 4) ,且离心率为 . 2 5 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求过点 (3, 0) 且斜率为 4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 2 18. (本题满分 16 分) 已知抛物线 C 顶点在坐标原点,准线方程为 x ? ?1 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程. (Ⅱ)若直线经过抛物线 C 的焦点,与抛物线交于 A, B 两点,且线段 AB 中点的横坐标为 2, 求直线 AB 的方程. 19. (本题满分 16 分) 已知 ?ABC 三个顶点的坐标分别为 A? ?2,0? , B ?1,0? , C ?0,4? (Ⅰ)若直线 y ? 2 x ? b 平分 ?ABC 面积,求实数 b 的值; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? b ? k ? 0? 平分 ?ABC 的面积,求实数 b 的取值范围. 5 C 4 3 2 1 A 2 B 1 2 4 6 8 10 20. (本题满分 16 分) 2 已知圆 C1 : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 2 2 3 (Ⅰ)若直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C1 相交于 A,B 两点.求弦 AB 的长; (Ⅱ)若圆 C2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 求圆 C2 的方程. (Ⅲ)求证:不论实数 ? 取何实数时,直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 与圆 C1 恒交于两点,并 求出交点弦长最短时直线 l1 的方程。 4 2013~2014 学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案 一、填空题: 1. 3 2. x ? 2 y ? 3 ? 0 3. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 4. m ? 1 2 5. x ? 4 6. 5 4 7. ①④ 8.9 9. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 20 10. 10 10 11. x ? 2或15x ? 8 y ? 6 ? 0 二、解答题 15.解: (Ⅰ)由 ? 12. 4 3 13. ??1,1? 14. 5 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,解得交点坐标为 ?1, ?4? -------------

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