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广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习 函数与导数(学生版)

高二理科数学 汕头统考复习――函数与导数
基础过关题 一、 函数

1:函数的概念、表示法、定义域、值域、最值; 2:函数的单调性、奇偶性、周期性; 3:幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质(尤其是单调性) 、图象和应用; 4、函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) = 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法.

3x 2 + lg(3x + 1) 的定义域为( 练习题 1、函数 f ( x) = 1- x 1 1 1 1 B. (- ,1) C. ( - , ) A. (- , +?) 3 3 3 3
2

) D. (-?, - ) )

1 3

2、设函数 y = lg( x - 5 x) 的定义域为 M , y = lg( x - 5) + lg x 的定义域为 N ,则( A. M ? N = R 3、已知函数 f ( x) = í A.32 B. M = N C. M ? N ) D. M ? N

ì2 x ( x < 4), ,那么 f (5) 的值为( ? f ( x - 1) ( x ? 4)
C.8 D.64

B.16
2

4、二次函数 y = x + ax + 4 在 (-?,1] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. (-?, -2] 5、设 y1 = 3
0.9



B. [2, +?)
0.48

C. (-?, 2] ) C. y1 > y2 > y3

D. (-?,1]

, y2 = 9

, y3 = ( )

A. y3 > y1 > y2

1 -1.5 ,则( 3 B. y2 > y1 > y3
2

D. y3 > y2 > y1 )

6、在下列图象中,二次函数 y = ax + bx 与指数函数 y = ( ) 的图象只可能是(
x

b a

y
1 -1

y

1

y
1 1

1

o A.

x

o B.

x

-1

o C.

x

o D.

1

x

7、若函数 f ( x) = log a x (0 < a < 1) 在区间 [a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于( A.



1 4

B.

2 2

C.

2 4

D. 1

2

8、已知函数 f (x)为偶函数,当 x∈[0,+∞]时,f (x)=x-1,则 f (x-1)<0 的解集为

?1? 9、 (07 山东卷)设函数 y = x 与 y = ? ÷ è2?
3

x-2

的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是( D. (3, 4)
第1页



A. (0, 1)

B. (1, 2)

C. (2, 3)

二、导数; 1 常见函数的导数公式: ① C ' = 0 ;② ( x n ) ' = nx n -1 ;③ (sin x) ' = cos x ;④ (cos x) ' = - sin x ;
⑤ (a ) = a ln a ;⑥ (e ) = e ;⑦ (log a x ) =
x ' x x ' x '

1 1 ' ;⑧ (ln x) = 。 x ln a x
u v u ?v - uv ? ; v2

2、导数的四则运算法则: (u ± v ) ? = u ? ± v ?; (uv ) ? = u ?v + uv ?; ( ) ? =

? ? (理科)复合函数的导数: y ? 3、 x = yu × u x ;
4、导数的应用:①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点 的切线?②利用导数判断函数单调性:ⅰ f ?( x) > 0 ? f ( x) 是增函数; ⅱ f ?( x) < 0 ? f ( x) 为减函数;ⅲ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ求导数 f ?( x) ;ⅱ求方程 f ?( x) = 0 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求极值;ⅱ求区间端点值(如果有) ;ⅲ得最值。 三、 (理科)定积分 1、定积分的性质:① ② ③

ò
b a b

b

a

kf ( x)dx = k ò f ( x)dx ( k 常数) ;
a b b a a

b

ò

[ f 1 ( x) ± f 2 ( x)]dx = ò f 1( x)dx ± ò f 2 ( x)dx ; f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx (其中 a < c < b) 。
a c c b

ò

a

2、微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式) : 3、定积分的应用:①求曲边梯形的面积: ②求变速直线运动的路程: S =

ò

b

a

f ( x)dx = F ( x) |b a = F (b) - F ( a )
b

ò

b

a

v(t )dt ;③求变力做功: W = ò F ( x)dx 。
a

练习题
1、已知曲线 y = x + 1 ,则在点 P (1, 2) 处的切线方程为
3

。 .

2、函数 y=3x -2lnx 的单调增区间为

2

,单调减区间为

3.函数 y = f ( x ) 的图象过原 点且它的导函数 y = f ?( x) ... 的图象是如图所示的一条直线, 不经过( ) (A)第一象限;

y

y = f ( x ) 的图象
0

y = f '( x)
x

(B)第二象限; (C)第三象限; (D)第四象限.
/

4、已知函数 y = 1 + ln x ,则 y |x = e = __________ 5、.

ò

1

-1

1 - x 2 dx = (

)A. 2p

B. p
第2页

C.

p 2

D.

p 4

6.下列定积分值最大的是(
1 1 0 0


2 1

(A) ò xdx ; (B) ò e x dx ; (C) ò 1dx ;
.[解]

(D) ò
2

2

1

1 dx . x
2 1

ò

1

0

xdx =

1 2 x 2

1 0

=

1 1 x x ; ò e dx = e 0 2

1 0

= e -1 > 1 ;

ò 1dx = x
1

=1;

ò

2

1

1 2 dx = ln x 1 = ln 2 < 1 . x

典型例题
例 1. 设函数 f ( x ) = ax 3 +

3 (2a - 1) x 2 - 6 x (a ? R ) 2

(1)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x)在点(-1, f (-1)) 处的切线方程; (2)当 a =

1 时,求 f ( x ) 的极大值和极小值; 3

★(3)若函数 f ( x ) 在区间 ( -?,-3) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

练习题 1(07 东莞二模)已知函数 f ( x) = ax + cx + d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x = 1 时 f ( x) 取得极
3

值- 2。 (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x 2 ? (-1,1) ,不等式 | f ( x1 ) - f ( x 2 ) |< 4 恒成立。

第3页

练习题 2 设函数 f ( x ) ? ln x ? px ? 1 (1)若当 x = 2 时, f ( x) 取得极值,求

p 的值,并求 f ( x) 的单调区间;

(2)若对任意的 x > 0 ,恒有 f ( x) ? 0 ,求

p 的取值范围.

第4页


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