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沭阳县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

沭阳县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1.将 y=cos (2x+φ ) 的图象沿 x 轴向右平移 A. B.﹣ C.﹣ D. ) C. 3 或 2 3 的定义域为( B.{x|1<x≤4,且 x≠2} ) C.{x|1≤x≤4,且 x≠2} D.{x|x≥4} D.2 个单位后, 得到一个奇函数的图象, 则 φ 的一个可能值为 ( )

姓名__________

分数__________

2. 在 ?ABC 中, b ? 3 , c ? 3 , B ? 30 ,则等于( A. 3 3. 函数 A.{x|1<x≤4} 4. P 是双曲线 B. 12 3

=1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则△ PF1F2 ) C.c D.a+b﹣c

的内切圆圆心的横坐标为( A.a 在直线方程为( A. x ? y ? 6 ? 0 A.锐角三角形 A.12 B.10
2

B.b ) B. x ? y ? 6 ? 0
2 2

5. 若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 分别在直线: x ? y ? 11 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 上移动,则 AB 中点 M 所 C. x ? y ? 6 ? 0 C.等腰三角形 D. x ? y ? 6 ? 0 ) D.等腰三角形或直角三角形 )

6. 在 ?ABC 中, tan A sin B ? tan B sin A ,那么 ?ABC 一定是( B.直角三角形
2

7. 若直线 y=kx﹣k 交抛物线 y =4x 于 A,B 两点,且线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3,则|AB|=( C.8 D.6
x

8. 函数 y ? (a ? 4a ? 4)a 是指数函数,则的值是( A.4 B.1 或 3 C.3 D.1

) )

9. 在数列{an}中,a1=3,an+1an+2=2an+1+2an(n∈N+),则该数列的前 2015 项的和是( A.7049 B.7052 C.14098 D.14101 ) C.(0,4) D.(0,2)

10.抛物线 y= x2 的焦点坐标为( A.(0, ) B.( ,0)

11.某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示,这种框图通常称为( A.程序流程图 B.工序流程图 C.知识结构图 D.组织结构图



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12.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 =(m,n),向量 =(1,﹣2),则 ⊥ 的概率 是( A. ) B. C. D.

二、填空题
13.设 x ? R ,记不超过 x 的最大整数为 [ x ] ,令 ?x? ? x ? [ x] .现有下列四个命题: ①对任意的 x ,都有 x ? 1 ? [ x] ? x 恒成立; ②若 x ? (1,3) ,则方程 sin
2

?x? ? cos2[ x] ? 1 的实数解为 6 ? ? ;
3 1 x ? 1的 3

2 ③若 an ? ? ? ( n ? N ? ),则数列 ?an ? 的前 3n 项之和为 n ? n ; 2 2 3 ? ?

?n?

2 2 ④当 0 ? x ? 100 时,函数 f ( x) ? sin [ x] ? sin ?x? ?1 的零点个数为 m ,函数 g ( x ) ? [ x ] ? ? x? ?

零点个数为 n ,则 m ? n ? 100 . 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的编号) 【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳,同时又是新定义题,应熟悉理解新定义,将问 题转化为已知去解决,属于中档题。 14.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=( )t﹣a(a 为常数),

如图所示,据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开 始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

15.抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,经过其准线与 y 轴的交点 Q 的直线与抛物线切于点 P ,则 ?FPQ
2

外接圆的标准方程为_________. 16.下列四个命题申是真命题的是 (填所有真命题的序号) ①“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条件; ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等; ③在侧棱长为 2,底面边长为 3 的正三棱锥中,侧棱与底面成 30°的角;

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④动圆 P 过定点 A(﹣2,0),且在定圆 B:(x﹣2)2+y2=36 的内部与其相内切,则动圆圆心 P 的轨迹为一 个椭圆. 17.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 cm3.

18.已知函数 f(x)=x3﹣ax2+3x 在 x∈[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围



三、解答题
19.已知数列{an}的首项为 1,前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)求 Sn 与数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= (n∈N ),求使不等式 b1+b2+…+bn>
*

=

+1(n≥2).

成立的最小正整数 n.

20.已知函数 f(x)=lg(x2﹣5x+6)和 (1)求集合 A,B; (2)求集合 A∪B,A∩B.

的定义域分别是集合 A、B,

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21.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB+bcos2A= (Ⅰ)求 ;
2 2 (Ⅱ)若 c =b +

a.

a2,求 B.

22.为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞 赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计, 得到如下的频率分布表,请你根据频率分布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估计在参加的 800 名学生 中大约有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中,有一项指标计算的程序框图如图所示,则该程序的功能是什么?求输出的 S 的值. 序号 (i) 1 2 3 4 合计 分组 (分数) 组中值 频数 (人数) ① 20 ③ ④ 50 频率 (Fi) 0.10 ② 0.20 ⑤ 1 (Gi) [60,70) 65 [70,80) 75 [80,90) 85 [90,100) 95

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23.已知复数 z 的共轭复数是 ,且复数 z 满足:|z﹣1|=1,z≠0,且 z 在复平面上对应的点在直线 y=x 上. 求 z 及 z 的值.

24.衡阳市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名后按年龄分组:第 1 组 [20, 25) ,第 2 组 [25,30) ,第 3 组 [30,35) ,第 4 组 [35, 40) ,第

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5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,则应从第 3,4,5 组 各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

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沭阳县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:将 y=cos(2x+φ )的图象沿 x 轴向右平移 )的图象, ∴φ ﹣ 故选:D. 2. 【答案】C 【解析】 =kπ + ,即 φ =kπ + ,k∈Z,则 φ 的一个可能值为 , 个单位后,得到一个奇函数 y=cos=cos(2x+φ ﹣

考 点:余弦定理. 3. 【答案】B

【解析】解:要使函数有意义,只须







解得 1<x≤4 且 x≠2, ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x≤4 且 x≠2}. 故选 B 4. 【答案】A 【解析】解:如图设切点分别为 M,N,Q, 则△PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 Q 横坐标相同. 由双曲线的定义,PF1﹣PF2=2a. 由圆的切线性质 PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a, ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c, ∴F2Q=c﹣a,OQ=a,Q 横坐标为 a.

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故选 A.

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质,强调了双曲线的定义. 5. 【答案】 D 【解析】

考 点:直线方程 6. 【答案】D 【解析】 试题分析:在 ?ABC 中, tan A sin B ? tan B sin A ,化简得
2 2

sin A sin B sin 2 B ? sin 2 A ,解得 cos A cos B

sin B sin A n i2 A s n i? 2 ? ? sin A cos A ? sin B cos B , 即s cos A cos B A? B ?

B, 所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B , 即A? B或

?

2

,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故选 D.

考点:三角形形状的判定. 【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定,其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角 三角函数基本关系的运用, 其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键, 着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中得出 sin 2 A ? sin 2 B ,从而得到 A ? B 或 A ? B ? 题的一个难点,属于中档试题. 7. 【答案】C

?
2

是试

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2 【解析】解:直线 y=kx﹣k 恒过(1,0),恰好是抛物线 y =4x 的焦点坐标,

设 A(x1,y1) B(x2,y2)
2 抛物 y =4x 的线准线 x=﹣1,线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3,x1+x2=6,

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8, 故选:C. 【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义,主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定 义将到焦点的距离转化为到准线的距离. 8. 【答案】C 【解析】

考点:指数函数的概念. 9. 【答案】B
+ 【解析】解:∵an+1an+2=2an+1+2an(n∈N ),∴(an+1﹣2)(an﹣2)=2,当 n≥2 时,(an﹣2)(an﹣1﹣2)=2,



,可得 an+1=an﹣1,

因此数列{an}是周期为 2 的周期数列. a1=3,∴3a2+2=2a2+2×3,解得 a2=4, ∴S2015=1007(3+4)+3=7052. 【点评】本题考查了数列的周期性,考查了计算能力,属于中档题. 10.【答案】D 【解析】解:把抛物线 y= x2 方程化为标准形式为 x2=8y, ∴焦点坐标为(0,2). 故选:D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键. 11.【答案】D 【解析】解:用来描述系统结构的图示是结构图, 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示.
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故选 D. 【点评】本题考查结构图和流程图的概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 12.【答案】A 【解析】解:因为抛掷一枚骰子有 6 种结果,设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为(m,n),有 36 种可能, 而使 ⊥ 的 m,n 满足 m=2n,这样的点数有(2,1),(4,2),(6,3)共有 3 种可能; 由古典概型公式可得 ⊥ 的概率是: 故选:A. 【点评】本题考查古典概型,考查用列举法得到满足条件的事件数,是一个基础题. ;

二、填空题
13.【答案】①③ 【解析】对于①,由高斯函数的定义,显然 x ? 1 ? [ x] ? x ,①是真命题;对于②,由 sin
2

?x? ? cos2[ x] ? 1 得,

sin2 ?x? ? 1 ? cos2[ x] ,即 sin2 ?x? ? sin2[ x] . 当 1 ? x ? 2 时, 0 ? x ? 1 ? 1, 0 ? sin( x ? 1) ? sin1 ,此 时
方程无解; 当 2 ? x ? 3 时,0 ? x ? 2 ? 1 ,0 ? sin( x ? 2) ? sin1, sin2 ?x? ? sin2[ x] 化为 sin 2 ( x ? 1) ? sin 2 1 , 此时 sin
2

?x? ? sin2[ x] 化为 sin( x ? 2) ? sin 2 ,所以 x ? 2 ? 2 或 x ? 2 ? 2 ? ? ,即 x ? 4 或 x ? ? ,所以原方
?n?

程无解.故②是假命题;对于③,∵ an ? ? ? ( n ? N ? ),∴ a1 ? ? ? ? 0 , a2 ? ? ? ? 0 , a3 ? ? ? ? 1 , ?3? ?3? ?3? ?3?

?1 ?

?2?

?3?

1 ?4? ? 3n ? 1? ? 3n ? ? [n ? ] ? n ? 1 , a3n ? ? ? ? [n] ? n ,所以数列 ?an ? 的前 3n 项之和 a4 ? ? ? ? 1 ,…, a3n?1 ? ? ? 3 ? 3 ? ?3? ?3? 3 2 1 n ? n , 故 ③ 是 真 命 题 ; 对 于 ④ , 由 为 3[1 ? 2 ? ? (n ? 1)] ? n ? 2 2

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14.【答案】0.6 【解析】解:当 t>0.1 时,可得 1=( ∴0.1﹣a=0 a=0.1 由题意可得 y≤0.25= , )0.1﹣a

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即(

)t﹣0.1≤ ,

即 t﹣0.1≥ 解得 t≥0.6, 由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. 故答案为:0.6 【点评】本题考查函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力.易错点:只单纯解不等式,而忽略题意, 得到其他错误答案.
2 2 15.【答案】 ? x ? 1? ? y ? 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 2 2

【解析】 试题分析:由题意知 F ? 0,1? ,设 P ? x0 ,

? ?

1 1 1 1 2? x0 ? ,由 y ' ? x ,则切线方程为 y ? x0 2 ? x0 ? x ? x0 ? ,代入 2 4 2 4 ?
2

? , 1 ? ,可得 PF ? FQ ,则 ?FPQ 外接圆以 PQ 为直径,则 ? x ? 1? ? 0, ?1? 得 x0 ? ?2 ,则 P ? 2,1 ,? ?2 2 2 2 2 2 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 .故本题答案填 ? x ? 1? ? y ? 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 .1
考点:1.圆的标准方程;2.抛物线的标准方程与几何性质. 16.【答案】 ①③④ 【解析】解:①“p∧q 为真”,则 p,q 同时为真命题,则“p∨q 为真”,

? y2 ? 2

当 p 真 q 假时,满足 p∨q 为真,但 p∧q 为假,则“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条件正确,故①正确; ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补;故②错误, ③设正三棱锥为 P﹣ABC,顶点 P 在底面的射影为 O,则 O 为△ABC 的中心,∠PCO 为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为 3,∴CO= ∵侧棱长为 2,∴ 在直角△POC 中,tan∠PCO= ∴侧棱与底面所成角的正切值为 ,即侧棱与底面所成角为 30°,故③正确,

④如图,设动圆 P 和定圆 B 内切于 M,则动圆的圆心 P 到两点,即定点 A(﹣2,0)和定圆的圆心 B(2,0) 的距离之和恰好等于定圆半径, 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6>4=|AB|. ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆, 故动圆圆心 P 的轨迹为一个椭圆,故④正确, 故答案为:①③④

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17.【答案】 6

【解析】解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= 故答案为:6. 18.【答案】 (﹣∞,3] . =6.

=



2 【解析】解:f′(x)=3x ﹣2ax+3,

∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,
2 即 3x ﹣2ax+3≥0 在[1,+∞)上恒成立.

则必有 ≤1 且 f′(1)=﹣2a+6≥0, ∴a≤3; 实数 a 的取值范围是(﹣∞,3].

三、解答题

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19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为 所以 则 =1+(n﹣1)1=n,… = +1(n≥2),

是首项为 1,公差为 1 的等差数列,…

2 从而 Sn=n .…

当 n=1 时,a1=S1=1,
2 2 当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1.

因为 a1=1 也符合上式, 所以 an=2n﹣1.… (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn= 所以 b1+b2+…+bn= = 由 = ,… = = ,…

,解得 n>12.…

所以使不等式成立的最小正整数为 13.… 【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想 20.【答案】 【解析】解:(1)由 x2﹣5x+6>0,即(x﹣2)(x﹣3)>0, 解得:x>3 或 x<2,即 A={x|x>3 或 x<2}, 由 g(x)= ,得到 ﹣1≥0,

当 x>0 时,整理得:4﹣x≥0,即 x≤4; 当 x<0 时,整理得:4﹣x≤0,无解, 综上,不等式的解集为 0<x≤4,即 B={x|0<x≤4}; (2)∵A={x|x>3 或 x<2},B={x|0<x≤4}, ∴A∪B=R,A∩B={x|0<x<2 或 3<x≤4}. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 21.【答案】
2 2 【解析】解:(Ⅰ)由正弦定理得,sin AsinB+sinBcos A=

sinA,

即 sinB(sin A+cos A)=

2

2

sinA

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∴sinB=

sinA,

= a2,得 cosB=
2 )a ,

2 2 (Ⅱ)由余弦定理和 C =b + 2 2 2 由(Ⅰ)知 b =2a ,故 c =(2+

2 可得 cos B= ,又 cosB>0,故 cosB=

所以 B=45° 【点评】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问 题进行了互化. 22.【答案】 【解析】解:(1)由分布表可得频数为 50,故①的数值为 50×0.1=5, ②中的值为 =0.40,③中的值为 50×0.2=10, =0.30;

④中的值为 50﹣(5+20+10)=15,⑤中的值为 (2)不低于 85 的概率 P= ×0.20+0.30=0.40,

∴获奖的人数大约为 800×0.40=320; (3)该程序的功能是求平均数, S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82, ∴800 名学生的平均分为 82 分 23.【答案】 【解析】解:∵z 在复平面上对应的点在直线 y=x 上且 z≠0, ∴设 z=a+ai,(a≠0), ∵|z﹣1|=1, ∴|a﹣1+ai|=1, 即
2 则 2a ﹣2a+1=1, 2

=1,

即 a ﹣a=0,解得 a=0(舍)或 a=1, 即 z=1+i, =1﹣i, 则 z =(1+i)(1﹣i)=2. 【点评】本题主要考查复数的基本运算,利用复数的几何意义利用待定系数法是解决本题的关键.

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24.【答案】(1) 3, 2,1 ;(2) 【解析】111]

7 . 10

试题分析:(1)根据分层抽样方法按比例抽取即可;(2)列举出从名志愿者中抽取名志愿者有 10 种情况, 其中第组的名志愿者 B1 , B2 至少有一名志愿者被抽中的有种,进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A 1 , B2 ,则从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者 1, A 2, A 3 ,第 4 组的 2 名志愿者为 B 有 (A 1 , B1 ) , ( A 1, A 2) ,(A 1, A 3) , ( A 1 , B2 ) , ( A 2, B 1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A 3, B 1) , ( A 1 , B2 ) , 2, A 3) ,(A 3 , B2 ) , ( B 共 10 种, 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1 , B2 至少有一名志愿者被抽中的有 ( A1 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A1, B2 ) , ( A2 , B1 ) ,

( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) ,共 7 种,所以第 4 组至少有一名志愿都被抽中的概率为
考点:1、分层抽样的应用;2、古典概型概率公式.

7 . 10

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