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高二数学导数复习

一 图象问题

1.曲线 y= 1 x3 ? x 在点(1, 4 )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )

3

3

(A) 1 9

(B) 2 9

(C) 1 3

(D) 2 3

2.函数 y ? f (x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f , (x) 的图像可能是( )

3.设 f '(x) 是函数 f (x) 的导数, y ? f '(x) 的图像如图所示, y

则 y ? f (x) 的图像最有可能的是( ).

1 0

y ? f '(x) 2x

y

y

1

12

0

2x 0

x

A

B

y
2 01
C

y

x

2

01

x

D

4.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x)

在开区间 (a, b) 内有极小值点( )

y

y ? f ?(x)

A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

a

O

b x

二 导函数几何意义问题

1.曲线 f (x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4x - 1,则 p0 点的坐标为( )

A (1, 0)

B (2,8)

C (1,0) 和 (?1, ?4)

D (2,8) 和 (?1, ?4)

2、垂直于 2x-6y+1=0,且与曲线 y= x3+3 x2 –5 相切的直线的方程______



3、 设 y ? ax2 在点(1, a )处的切线与 2x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ______

4. 函数 y ? xex 在点 x ? 0 处的切线方程是 5.曲线 y ? x3 ? 4x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________.

-1-

三 导函数概念及其应用 1. 已知函数 f(x)=ax2+c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为( )

A.1

B. 2

C.-1

D. 0

2. 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末
的瞬时速度是( )

A 7 米/秒

B 6 米/秒

C 5 米/秒

D 8 米/秒

3. 函数 y = x3 + x 的递增区间是( )

A (0,??)

B (??,1) C (??,??)

D (1,??)

4.函数 y ? 1? 3x ? x3 有 (
A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-1,极大值 3

) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2

5.若函数 f(x)在区间(a ,b)内函数的导数为正,且 f(b)≤0,则函数 f(x)在(a, b)内

有( )

A. f(x) 〉0

B.f(x)〈 0

C.f(x) = 0

D.无法确定

6.函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 1是减函数的区间为( ) A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D.(0,2)

7. 函数 f (x) ? x3 ? 3ax2 ? 2bx 在 x ? 1处有极小值 -1 , 则点 (a, b) 为(

)

A. (1 , 1) 32

B. (? 1 , 1) 32

C. (? 1 ,? 1) 32

D. (1 ,? 1) 32

12.已知函数 f (x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是

.

14.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列

? ? ?

an n?

1

? ? ?

的前

n

项和的公式是

.

三、解答题:(本大题共 6 小题.共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(12 分)求垂直于直线 2x ? 6y ?1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程

-2-

16.(12 分)如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?
17.(14 分)已知 f (x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ?1 处的切线方程是 y ? x ? 2 ,请解答下列问题: (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间。 18.(14 分)已知函数 f (x) ? ax3 ? 3 (a ? 2)x2 ? 6x ? 3
2 (1)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 极小值; (2)试讨论曲线 y ? f (x) 与 x 轴公共点的个数。
19.(14 分)已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 2 与 x ?1 时都取得极值 3
(1)求 a, b 的值与函数 f (x) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f (x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围 20. ( 1 分 ) 已 知 x ?1 是 函 数 f (x) ? mx3 ? 3(m ?1)x2 ? nx ?1 的 一 个 极 值 点 , 其 中 m,n ? R,m ? 0 , (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f (x) 的单调区间;
? ? (3)当 x ? ?1,1 时,函数 y ? f (x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值范
围.
-3-

参考答案
15.解:设切点为 P(a,b) ,函数 y ? x3 ? 3x2 ? 5 的导数为 y' ? 3x2 ? 6x

切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1,代入到 y ? x3 ? 3x2 ? 5

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3(x ?1),3x ? y ? 6 ? 0

16.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2x ,宽为 5 ? 2x

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x)x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x

V ' ? 12x2 ? 52x ? 40,令V ' ? 0,得x ? 1,或x ? 10 , x ? 10 (舍去)

3

3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值,

?V最大值 ? 18

17.解:(1) f (x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ?1,

f ' (x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f '(1) ? 4a ? 2b ? 1,

切点为 (1, ?1) ,则 f (x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (1, ?1)

得 a ? b ? c ? ?1,得a ? 5 ,b ? ? 9

2

2

f (x) ? 5 x4 ? 9 x2 ?1 22

(2) f ' (x) ? 10x3 ? 9x ? 0, ? 3 10 ? x ? 0,或x ? 3 10

10

10

单调递增区间为 (? 3 10 , 0), (3 10 , ??)

10

10

18.解:(1) f ' (x) ? 3ax2 ? 3(a ? 2)x ? 6 ? 3a(x ? 2)(x ?1), f (x) 极小值为 f (1) ? ? a

a

2

(2)①若 a ? 0 ,则 f (x) ? ?3(x ?1)2 ,? f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;

②若 a ? 0, ? f (x) 极大值为 f (1) ? ? a ? 0 , 2
? f (x) 的图像与 x 轴有三个交点;

f (x) 的极小值为 f ( 2) ? 0 , a

③若 0 ? a ? 2 , f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;

④若 a ? 2 ,则 f ' (x) ? 6(x ?1)2 ? 0 ,? f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;

-4-

⑤若 a ? 2 ,由(1)知 f (x) 的极大值为 f ( 2) ? ?4( 1 ? 3)2 ? 3 ? 0 ,? f (x) 的图像与 x 轴

a

a4 4

只有一个交点;

综上知,若 a ? 0, f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0, f (x) 的图像与 x 轴有三个交

点。

19.解:(1) f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' (x) ? 3x2 ? 2ax ? b

由 f ' (? 2) ? 12 ? 4 a ? b ? 0 , f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? 1 ,b ? ?2

3 93

2

f ' (x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)(x ?1) ,函数 f (x) 的单调区间如下表:

x f '(x)

(??, ? 2) 3
?

?2 3

(? 2 ,1) 3

1

0

?

0

(1, ??) ?

f (x) ?

极大值 ?

极小值 ?

所以函数 f (x) 的递增区间是 (??, ? 2) 与 (1, ??) ,递减区间是 (? 2 ,1) ;

3

3

(2) f (x) ? x3 ? 1 x2 ? 2x ? c, x ?[?1, 2] ,当 x ? ? 2 时, f (? 2) ? 22 ? c

2

3

3 27

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f (x) ? c2, x ?[?1, 2]

恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1,或c ? 2

20.解(1) f ?(x) ? 3mx2 ? 6(m ?1)x ? n 因为 x ?1 是函数 f (x) 的一个极值点,

所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ?1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6

(2)由(1)知,

f

?(x)

?

3mx2

? 6(m

? 1) x

? 3m

?

6

= 3m(x

?1)

? ??

x

? ???1?

2 m

?? ????

当 m ? 0 时,有1 ? 1? 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f ?(x) 的变化如下表: m

x

? ??

??,1 ?

2 m

? ??

1? 2 m

???1

?

2 m

,1???

1

f ?(x)

?0

0

?0

0

f (x)

单调递减

极小值

单调递增

极大值

故有上表知,当 m

?

0 时,

f

(x)



? ??

??,1

?

2 m

? ??

单调递减,

?1, ???
?0
单调递减

-5-

在 (1? 2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m
(3)由已知得 f ?(x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ?1)x ? 2 ? 0

又 m ? 0 所以 x2 ? 2 (m ?1)x ? 2 ? 0 即 x2 ? 2 (m ?1)x ? 2 ? 0, x ???1,1? ①

m

m

m

m

设 g(x) ? x2 ? 2(1? 1 )x ? 2 ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, mm

所以

?g(?1) ? ??g(1) ? 0

0

?

??1 ? ? ???1

2? ?0

2 m

?

2 m

?

0 解之得

?4 ?m又m?0 3
所以 ? 4 ? m ? 0 3



m

的取值范围为

? ??

?

4 3

,

0

? ??

-6-


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