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大城县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

大城县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.

B.

C.

D.

  2. 与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是(

) ,﹣3,﹣2 )

A.( ,1,1) B.(﹣1,﹣3,2) C.(﹣ , ,﹣1) D.(

3. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线 l 的倾斜角),以原点 O 为极点, x 轴 ? ? y ? 3 ? t sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ?

?

3

) ,直线 l 与圆 C 的两个交点为 A, B ,当
2? 3

| AB | 最小时, ? 的值为(
A. ? ?



?
4

B. ? ?

?
3

C. ? ?

3? 4

D. ? ?

4. 在“唱响内江”选拔赛中,甲、乙两位歌手的 5 次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别 、 ,则下列判断正确的是( )

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A. C.  

< >

,乙比甲成绩稳定 ,甲比乙成绩稳定

B. D.

< > =(

,甲比乙成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定 )

5. 若复数 z=2﹣i ( i 为虚数单位),则 A.4+2i B.20+10i C.4﹣2i D.

  6. 已知三个数 a ? 1 , a ? 1 , a ? 5 成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 {an } 的前三 项,则能使不等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? A.9

1 1 1 ? ? ? ? 成立的自然数的最大值为( a1 a2 an
C.7 ,则循环体的判断框内①处应填(

) D.5 )

B.8

7. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是

A.11? B.12? C.13? D.14?   8. 某公园有 P,Q,R 三只小船,P 船最多可乘 3 人,Q 船最多可乘 2 人,R 船只能乘 1 人,现有 3 个大人 和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为( A.36 种 B.18 种 C.27 种 D.24 种 )

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9. 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e
?x

) C. y ? ln x ,则有( ) D.A∩B=φ D. y ? x

B. y ? x

3

10.已知集合 A={y|y=x2+2x﹣3}, A.A?B ( ) B.B?A C.A=B

11.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为

A.

B.

C.

D. ,设物体第 n 秒内的位移为 an,则

12.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为 数列{an}是( ) B.公差为﹣a 的等差数列 D.公比为 的等比数列

A.公差为 a 的等差数列 C.公比为 a 的等比数列  

二、填空题
13.若在圆 C:x2+(y﹣a)2=4 上有且仅有两个点到原点 O 距离为 1,则实数 a 的取值范围是      .   14.已知直线 l 过点 P(﹣2,﹣2),且与以 A(﹣1,1),B(3,0)为端点的线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的 取值范围是      . 15.1785 与 840 的最大约数为  . 16.设 m 是实数,若 x∈R 时,不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,则 m 的取值范围是      .   17.已知直线 l 的参数方程是 (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程是 ρ=8cosθ+6sinθ,则曲线 C 上到

直线 l 的距离为 4 的点个数有      个.   18.在复平面内,复数 与 对应的点关于虚轴对称,且

,则

____.

三、解答题
19.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,已知

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A ? (cos B ? 3 sin B) cos C ? 1 . 2 (I)求角 C 的值; 2 cos 2
(II)若 b = 2 ,且 ?ABC 的面积取值范围为 [

3 , 3] ,求 c 的取值范围. 2

【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,意在考查基本运算能力.

20.证明:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= (0<x≤1),求 x∈[﹣5,﹣4]时,函数 f(x)的解析式. 是奇函数.

18.已知函数 f(x)=

21.(本小题满分 12 分) 一个盒子里装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大小相同的小球,第一次从盒子里随机抽取 2 个小球,记下球的 编号,并将小球放回盒子,第二次再从盒子里随机抽取 2 个小球,记下球的编号. (Ⅰ)求第一次或第二次取到 3 号球的概率; (Ⅱ)设 ? 为两次取球时取到相同编号的小球的个数,求 ? 的分布列与数学期望.

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22.某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下: X 7 8 9 0~6 P 0 0.2 0.3 0.3

10 0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ. (I)求该运动员两次都命中 7 环的概率; (Ⅱ)求 ξ 的数学期望 Eξ.  

23.【南京市 2018 届高三数学上学期期初学情调研】已知函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R. (Ⅰ)曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线的斜率为 3,求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意 x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a>1,设函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值分别为 M(a)、m(a), 记 h(a)=M(a)-m(a),求 h(a)的最小值.

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24.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,现将△ACD 沿对角线 AC 折起至△ACP 位置,并使平面 PAC⊥平面 ABC.

(Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,若∠ABC=60°,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求四面体 PABC 体积的最大值.  

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大城县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:根据函数与导数的关系:可知,当 f′(x)≥0 时,函数 f(x)单调递增;当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减 结合函数 y=f(x)的图象可知,当 x<0 时,函数 f(x)单调递减,则 f′(x)<0,排除选项 A,C 当 x>0 时,函数 f(x)先单调递增,则 f′(x)≥0,排除选项 B 故选 D 【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象,属于基础试题   2. 【答案】C 【解析】解:对于 C 中的向量:(﹣ , ,﹣1)=﹣ (1,﹣3,2)=﹣ 因此与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是 故选:C. 【点评】本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题.   3. 【答案】A 【解析】解析 : 本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系.在直角坐标系中,圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 ,直线 l 的普通方程为 y ? 3 ? tan ? ( x ? 1) ,直线 l 过定点 M (1, 3) ,∵
2 2

, .

| MC |? 2 ,∴点 M 在圆 C 的内部.当 | AB | 最小时,直线 l ? 直线 MC , kMC ? ?1 ,∴直线 l 的斜率为 1 ,∴

??

?
4

,选 A.

4. 【答案】A 【解析】解:由茎叶图可知 = (75+86+88+88+93)= 故选:A 【点评】本题主要考查茎叶图的应用,根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键.   5. 【答案】A 【解析】解:∵z=2﹣i, = (77+76+88+90+94)= =86,则 < , ,

乙的成绩主要集中在 88 附近,乙比甲成绩稳定,

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∴ = ∴ =10?

= =4+2i,

=

=



故选:A. 【点评】本题考查复数的运算,注意解题方法的积累,属于基础题.   6. 【答案】C 【解析】 试题分析:因为三个数 a ? 1, a ? 1, a ? 5 等比数列,所以 ? a ? 1? ? ? a ? 1?? a ? 5 ? ,? a ? 3 ,倒数重新排列后恰
2

好为递增的等比数列 {an } 的前三项,为 ,

?1? 1 1 1 1 , ,公比为,数列 ? ? 是以为首项, 为公比的等比数列,则 8 4 2 2 ? an ?

1 ? ? 1 1 ? 2n ? 8 ?1 ? n ? ? 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 等价为 8 不等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? ,整理,得 1 1? 2 a1 a2 an 1? 2 n 7 2 ? 2 ,?1 ? n ? 7, ? n ? N ? ,故选 C. 1
考点:1、等比数列的性质;2、等比数列前项和公式. 7. 【答案】C 【解析】解:由已知可得该程序的功能是计算并输出 S= 若输出的结果是 , + + +…+ = 的值,

则最后一次执行累加的 k 值为 12, 则退出循环时的 k 值为 13, 故退出循环的条件应为:k≥13?, 故选:C 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的 考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考 试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.   8. 【答案】 C   【解析】 排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题;分类讨论.

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【分析】根据题意,分 4 种情况讨论,①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,分别求出每种情况下的乘船方法,进而由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:分 4 种情况讨论, ①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33=6 种情况, ②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33×A22=12 种 情况, ③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,有 C32×2=6 种情况, ④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,有 C31=3 种情况, 则共有 6+12+6+3=27 种乘船方法, 故选 C. 【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用,关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、 组合公式. 9. 【答案】B 【解析】 试题分析 : 对于 A, y ? e 为增函数, y ? ? x 为减函数, 故 y ? e 为减函数, 对于 B, y ' ? 3 x ? 0 , 故y?x
x 2 ?x 3

为增函数,对于 C,函数定义域为 x ? 0 ,不为 R ,对于 D,函数 y ? x 为偶函数,在 ? ??, 0 ? 上单调递减, 在 ? 0, ? ? 上单调递增,故选 B. 考点:1、函数的定义域;2、函数的单调性. 10.【答案】B 【解析】解:∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4, ∴y≥﹣4. 则 A={y|y≥﹣4}. ∵x>0, ∴x+ ≥2 ∴B={y|y≥2}, ∴B?A. 故选:B. 【点评】本题考查子集与真子集,求解本题,关键是将两个集合进行化简,由子集的定义得出两个集合之间的 关系,再对比选项得出正确选项.   11.【答案】C =2(当 x= ,即 x=1 时取“=”),

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【解析】解 : 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向,从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧 , 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.   12.【答案】A 【解析】解:∵ ∴an=S(n)﹣s(n﹣1)= = ∴an﹣an﹣1= ∴数列{an}是以 a 为公差的等差数列 故选 A 【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式,等差数列的定义的应用,属于数列知识的简单 应用   =a ,

二、填空题
13.【答案】 ﹣3<a<﹣1 或 1<a<3 . 【解析】解:根据题意知:圆 x2+(y﹣a)2=4 和以原点为圆心,1 为半径的圆 x2+y2=1 相交,两圆圆心距 d=|a|, ∴2﹣1<|a|<2+1, ∴﹣3<a<﹣1 或 1<a<3. 故答案为:﹣3<a<﹣1 或 1<a<3. 【点评】本题体现了转化的数学思想,解题的关键在于将问题转化为:圆 x2+(y﹣a)2=4 和以原点为圆心,1 为半径的圆 x2+y2=1 相交,属中档题.   14.【答案】 [ ,3] . 【解析】解:直线 AP 的斜率 K= 直线 BP 的斜率 K′= = =3,

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由图象可知,则直线 l 的斜率的取值范围是[ ,3], 故答案为:[ ,3],

【点评】本题给出经过定点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点,求 l 的斜率取值范围.着重考查了直线的斜率与 倾斜角及其应用的知识,属于中档题.   15.【答案】 105 .

【解析】解:1785=840×2+105,840=105×8+0. ∴840 与 1785 的最大公约数是 105. 故答案为 105   16.【答案】 [0,2] . 【解析】解:∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|(x﹣m)﹣(x﹣1)|=|m﹣1|, 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,可得|m﹣1|≤1,∴﹣1≤m﹣1≤1, 求得 0≤m≤2, 故答案为:[0,2]. 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想 ,属于基础题.   17.【答案】 2 

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【解析】解:由

,消去 t 得:2x﹣y+5=0,

由 ρ=8cosθ+6sinθ,得 ρ2=8ρcosθ+6ρsinθ,即 x2+y2=8x+6y, 化为标准式得(x﹣4)2+(y﹣3)2=25,即 C 是以(4,3)为圆心,5 为半径的圆. 又圆心到直线 l 的距离是 故曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 的点有 2 个, 故答案为:2. 【点评】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标方程化直角坐标方程,考查了点到直线的距离公式的 应用,是基础题.   18.【答案】-2 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 ,

三、解答题
19.【答案】

A ? (cos B ? 3 sin B) cos C ? 1 , 2 ∴ cos A ? cos B cos C ? 3 sin B cos C ? 0 ,
【解析】(I)∵ 2 cos 2 ∴ ? cos( B ? C ) ? cos B cos C ? 3 sin B cos C ? 0 , ∴ ? cos B cos C ? sin B sin C ? cos B cos C ? 3 sin B cos C ? 0 , ∴ sin B sin C ? 3 sin B cos C ? 0 ,因为 sin B > 0 ,所以 tan C ? 3 又∵ C 是三角形的内角,∴ C ?

?
3

.

20.【答案】 【解析】(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1﹣x),即有 f(﹣x)=f(x+2).

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又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(﹣x)=﹣f(x).故 f(x+2)=﹣f(x). 从而 f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x).即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解:由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.x∈[﹣1,0)时,﹣x∈(0,1], .故 x∈[﹣1,0]时, . 从而,x∈[﹣5,﹣4]时,函数 f(x)的解析式为 数对函数式进行整理,本题是一个中档题目.   21.【答案】 【解析】 解 : (Ⅰ) 事件 “第一次或第二次取到 3 号球的概率” 的对立事件为 “二次取球都没有取到 3 号球” , ∴ 所求概率为 P ? 1 ?
2 2 C4 C4 16 ? ? (6 分) 2 2 C5 C5 25 1 1 2 C32 3 C2 ? C3 C2 3 1 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ,(9 分) 2 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

.x∈[﹣5,﹣4]时,x+4∈[﹣1,0], .

【点评】本题考查函数奇偶性的性质,函数解析式的求解常用的方法,本题解题的关键是根据函数是一个奇函

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2, P (? ? 0) ? 故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10
(10 分)

∴ E? ? 0 ?

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? (12 分) 10 5 10 5

22.【答案】 【解析】解:(1)设 A=“该运动员两次都命中 7 环”, 则 P(A)=0.2×0.2=0.04. (2)依题意 ξ 在可能取值为:7、8、9、10 且 P(ξ=7)=0.04, P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21, P(ξ=9)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39, P(ξ=10)=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36, ∴ξ 的分布列为: ξ 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 ξ 的期望为 Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07.

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【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 相互独立事件概率乘法公式的合理运用.   23.【答案】(1)a=

1 1 8 (2)(-∞,-1- ].(3) 2 e 27

【解析】 f(x)+f(-x)=-6(a+1)x2≥12lnx 对任意 x∈(0,+∞)恒成立, 所以-(a+1)≥ 令 g(x)=

(2)

2 ?1 ? 2lnx ? 2lnx ,x>0,则 g?(x)= . 2 x3 x 令 g?(x)=0,解得 x= e .
当 x∈(0, e )时,g?(x)>0,所以 g(x)在(0, e )上单调递增; 当 x∈( e ,+∞)时,g?(x)<0,所以 g(x)在( e ,+∞)上单调递减. 所以 g(x)max=g( e )= 所以-(a+1)≥

2lnx . x2

1 , e

1 1 ,即 a≤-1- , e e 1 所以 a 的取值范围为(-∞,-1- ]. e
(3)因为 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax, 所以 f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),f(1)=3a-1,f(2)=4. 令 f ′(x)=0,则 x=1 或 a. f(1)=3a-1,f(2)=4.

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②当

5 <a<2 时, 3

当 x∈(1,a)时,f ?(x)<0,所以 f(x)在(1,a)上单调递减; 当 x∈(a,2)时,f ?(x)>0,所以 f(x)在(a,2)上单调递增. 又因为 f(1)>f(2),所以 M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(a)=-a3+3a2, 所以 h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-(-a3+3a2)=a3-3a2+3a-1. 因为 h? (a)=3a2-6a+3=3(a-1)2≥0. 所以 h(a)在( 所以当 a∈(

5 ,2)上单调递增, 3

5 5 8 ,2)时,h(a)>h( )= . 3 3 27

③当 a≥2 时, 当 x∈(1,2)时,f ?(x)<0,所以 f(x)在(1,2)上单调递减, 所以 M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(2)=4, 所以 h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-4=3a-5, 所以 h(a)在[2,+∞)上的最小值为 h(2)=1. 综上,h(a)的最小值为

8 . 27

点睛:已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法:(1)利用导数结合参数讨论函数最值取法,根据最值

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列等量关系,确定参数值或取值范围;(2)利用最值转化为不等式恒成立问题,结合变量分离转化为不含参 数的函数,利用导数求新函数最值得参数值或取值范围. 24.【答案】 【解析】解 : (Ⅰ)证明 : 取 AC 中点 O,连接 PO,BO,由于四边形 ABCD 为菱形,∴PA=PC,BA=BC,∴ PO⊥AC,BO⊥AC,又 PO∩BO=O, ∴AC⊥平面 POB,又 PB?平面 POB,∴AC⊥PB. (Ⅱ)∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PO?平面 PAC, PO⊥AC,∴PO⊥面 ABC,∴OB,OC,OP 两两垂直, 故以 O 为原点, 以 的边长为 2, ∴ , 设平面 PBC 的法向量 ∴ ∴ (Ⅲ)法一: 设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π),∴ 又 PO⊥平面 ABC,∴ ( ∴ , ∴ ,当且仅当 . ,即 时取等号, ), , = , ,取 x=1,则 ,直线 AB 与平面 PBC 成角为 θ, ,于是 , . , y, z 轴正方向建立空间直角坐标系, ∵∠ABC=60°, 方向分别为 x, 菱形 ABCD

,∴直线 AB 与平面 PBC 成角的正弦值为

∴四面体 PABC 体积的最大值为

法二:设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π), ∴ ∴ 设 ,则 ,且 0<t<1, , ,又 PO⊥平面 ABC, = ( ),

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∴ ∴当 ∴当

, 时,V'PABC>0,当 时,VPABC 取得最大值 时,V'PABC<0, ,∴四面体 PABC 体积的最大值为 ,(0<x<2) .

法三:设 PO=x,则 BO=x, 又 PO⊥平面 ABC, ∴ ∵ 当且仅当 x2=8﹣2x2,即

, , 时取等号,∴四面体 PABC 体积的最大值为 .

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,直线与平面所成角的求法,几何体的体积 的最值的求法,考查转化思想以及空间思维能力的培养.  

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