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高邑县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

高邑县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知函数 f(x)=ax3﹣3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞)   2. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2) )

座号_____

姓名__________

分数__________

? 1 ? 4 ,若数列 ? ? 的前 n 项和为 5,则 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ?

n ?(
A. 35 A.6

) B. 36 B.9 C.36 D.72 = ﹣( C. 120 D. 121 )

3. 等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a2a6=(

4. 如图,△ABC 所在平面上的点 Pn(n∈N*)均满足△PnAB 与△PnAC 的面积比为 3; 1, 2xn+1) ( ) (其中,{xn}是首项为 1 的正项数列),则 x5 等于

A.65    

B.63

C.33

D.31

5. 487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7),则 A.4320 B.﹣4320 C.20 A.15 B.30 C.31 D.﹣20

展开式中 x﹣3 的系数为(



6. 已知等差数列{an}中,a6+a8=16,a4=1,则 a10 的值是( D.64 ) 7. 设 x∈R,则 x>2 的一个必要不充分条件是( A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 8. 数列{an}满足 an+2=2an+1﹣an,且 a2014,a2016 是函数 f(x)= a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( A.2 B.3 C.4 D.5 )



+6x﹣1 的极值点,则 log2(

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9. 直线 A.

的倾斜角是( B.

) C. D. )

10.数列 1, , , , , , , , , ,…的前 100 项的和等于( A. B. C. ) D.

11.下列说法正确的是(

A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形; B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体; C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥; D.通过圆台侧面上的一点,有无数条母线.
12.如果随机变量 ξ~N (﹣1,σ2),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则 P(ξ≥1)等于( A.0.1   B.0.2 C.0.3 D.0.4 )

二、填空题
13.椭圆 的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△PQF2 的周长为      .

  14.定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x),且 f(x)在[﹣1,0]上是增函数,下面五个 关于 f(x)的命题中: ①f(x)是周期函数; ②f(x) 的图象关于 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上为减函数; ⑤f(2)=f(0). 正确命题的个数是  .   15.设全集 U=R,集合 M={x|2a﹣1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},若 N?M,则实数 a 的取值范围是  . 16. 的展开式中 的系数为 (用数字作答).

17.在等差数列 {an } 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前项和为 S n ,当且仅当 n ? 8 时 S n 取得最大值,则 d 的取值范 围为__________.

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18.已知 S n 是数列 { ___________.

n n } 的前 n 项和,若不等式 | ? ? 1 | ? S n ? n ?1 对一切 n ? N ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 n ?1 2 2

【命题意图】 本题考查数列求和与不等式恒成立问题, 意在考查等价转化能力、 逻辑推理能力、 运算求解能力.

三、解答题
19.已知函数 f(x)=cos(ωx+ ; (1)求 f(x)的对称轴方程和单调递增区间; (2)求 f(x)的最大值、最小值,并指出 f(x)取得最大值、最小值时所对应的 x 的集合. ) ,(ω>0,0<φ<π) ,其中 x∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为

20.已知函数 f(x)=

(a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为 0 和 3.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)的极大值为 ,求函数 f(x)在区间[0,5]上的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 . 2

? ? ?? (1)当 x ? ? ? , ? 时,求函数 y ? f ? x ? 的值域; 3? ? 6

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? ?x ? ? ? 2? ? ? ? ? ,若函数 g ? x ? 在区间 ? ? , ? 上是增函数,求 ? 的最大值. (2)已知 ? ? 0 ,函数 g ? x ? ? f ? 6? ? 2 12 ? ? 3

22.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? 3an ? 3 ,( n ? N ? ). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?

4n ? 1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求 Tn . an

【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前 n 项和.重点突出对运算及化归能 力的考查,属于中档难度.

23.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】设 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? 1 ? x (1)证明 (2) 若曲线 证明: m ?
3

在 0, a ? 1 上仅有一个零点; 在点 处的切线与 轴平行,且在点 处的切线与直线 平行,(O 是坐标原点) ,

?

?

?

2

?e

x

?a.

a?

2 ?1 e

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24.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x). (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围.  

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高邑县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)=ax3﹣3x2+1, ∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1; ①当 a=0 时,f(x)=﹣3x2+1 有两个零点,不成立; ②当 a>0 时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上有零点,故不成立; ③当 a<0 时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(0,+∞)上有且只有一个零点; 故 f(x)=ax3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上没有零点; 而当 x= 时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上取得最小值; 故 f( )= 故 a<﹣2; 综上所述, 实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2); 故选:D.   2. 【答案】C 【解析】解析:本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前 n 项和.由 an ?1 ? an ?
2 2

﹣3?

+1>0;

得 an ?1 ? an ? 4 ,∴ an 是等差数列,公差为 4 ,首项为 4 ,∴ an ? 4 ? 4( n ? 1) ? 4n ,由 an ? 0 得
2

? ?

4 an ?1 ? an

2

an ? 2 n .

? 1 ? 1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) ,∴数列 ? ? 的前 n 项和为 an ?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2 ? an ?1 ? an ? 1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) ? 5 ,∴ n ? 120 ,选 C. 2 2 2 2

3. 【答案】D 【解析】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3(1+q2+q4)=21,解得 q2=2. 则 a2a6=9×q6=72. 故选:D.   4. 【答案】 D

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【解析】解:由 得 设 +(2xn+1)

= = ,

﹣(2xn+1) ,



以线段 PnA、PnD 作出图形如图,

则 ∴ ,∴ ,





,∴ ,





即 xn+1=2xn+1,∴xn+1+1=2(xn+1), 则{xn+1}构成以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴x5+1=2?24=32, 则 x5=31. 故选:D. 【点评】本题考查了平面向量的三角形法则,考查了数学转化思想方法,训练了利用构造法构造等比数列,考 查了计算能力,属难题.   5. 【答案】B 解析:解:487=(49﹣1)7= ∵487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7), ∴a=6, ﹣ +…+ ﹣1,

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展开式的通项为 Tr+1=



令 6﹣3r=﹣3,可得 r=3, ∴ 故选:B.. 6. 【答案】A 【解析】解:∵等差数列{an}, ∴a6+a8=a4+a10,即 16=1+a10, ∴a10=15, 故选:A.   7. 【答案】A 【解析】解:当 x>2 时,x>1 成立,即 x>1 是 x>2 的必要不充分条件是, x<1 是 x>2 的既不充分也不必要条件, x>3 是 x>2 的充分条件, x<3 是 x>2 的既不充分也不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.   8. 【答案】C 【解析】解:函数 f(x)= ∵a2014,a2016 是函数 f(x)= +6x﹣1,可得 f′(x)=x2﹣8x+6, +6x﹣1 的极值点, 展开式中 x﹣3 的系数为 =﹣4320,

∴a2014,a2016 是方程 x2﹣8x+6=0 的两实数根,则 a2014+a2016=8. 数列{an}中,满足 an+2=2an+1﹣an, 可知{an}为等差数列, ∴a2014+a2016=a2000+a2030,即 a2000+a2012+a2018+a2030=16, 从而 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4. 故选:C. 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键.   9. 【答案】A 【解析】解:设倾斜角为 α, ∵直线 的斜率为 ,

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∴tanα=



∵0°<α<180°, ∴α=30° 故选 A. 【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系,属于基础题,应当掌握.   10.【答案】A 【解析】解:

=1× 故选 A.   11.【答案】C 【解析】

考 点:几何体的结构特征. 12.【答案】A 【解析】解:如果随机变量 ξ~N(﹣1,σ2),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4, ∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) = ∴ ∴P(ξ≥1)= .

【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服 从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位.  

二、填空题
13.【答案】 20 .

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【解析】解:∵a=5,由椭圆第一定义可知△PQF2 的周长=4a. ∴△PQF2 的周长=20., 故答案为 20. 【点评】作出草图,结合图形求解事半功倍.   14.【答案】 3 个 .

【解析】解:∵定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数 f(x),∴f(x)=f(﹣x); ∵f(x+1)=﹣f(x),∴f(x+1)=﹣f(x),∴f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),f(﹣x+1)=﹣f(x) 即 f(x+2)=f(x),f(﹣x+1)=f(x+1),周期为 2,对称轴为 x=1 所以①②⑤正确, 故答案为:3 个   15.【答案】 [ ,1] . 【解析】解:∵全集 U=R,集合 M={x|2a﹣1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},N?M, ∴2a﹣1≤1 且 4a≥2,解得 2≥a≥ ,故实数 a 的取值范围是[ ,1],

故答案为[ ,1].   16.【答案】20 【解析】【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】通项公式为: 所以系数为: 故答案为: 17.【答案】 ? 1 ? d ? ? 【解析】 试题分析:当且仅当 n ? 8 时,等差数列 {a n } 的前项和 S n 取得最大值,则 a8 ? 0, a9 ? 0 ,即 7 ? 7 d ? 0 , 令 12-3r=3,r=3.

7 8

7 7 7 ? 8d ? 0 ,解得: ? 1 ? d ? ? .故本题正确答案为 ? 1 ? d ? ? . 8 8
考点:数列与不等式综合. 18.【答案】 ?3 ? ? ? 1

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1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? nA n ?1 , S n ? 1? ? 2 ? 2 ? … 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n?2 n?2 ?(n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ,两式相减,得 S n ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n ,所以 S n ? 4 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ? 4 ? n ?1 对一切 n ? N? 恒成立,得 | ? ? 1 于是由不等式 | ? ? 1 | ? 2 ,解得 ?3 ? ? ? 1 . 2
【解析】由 S n ? 1 ? 2 ?

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)=cos(ωx+ ∴ω=2,f(x)=cos(2x+ 令 2x+ =kπ,求得 x= ). ﹣ ,可得对称轴方程为 x= ≤x≤kπ﹣ , ﹣ ,k∈Z. )的图象的两对称轴之间的距离为 = ,

令 2kπ﹣π≤2x+

≤2kπ,求得 kπ﹣

可得函数的增区间为,k∈Z. (2)当 2x+ 当 2x+ =2kπ,即 x=kπ﹣ =2kπ+π,即 x=kπ+ ,k∈Z 时,f(x)取得最大值为 1. ,k∈Z 时,f(x)取得最小值为﹣1. ,k∈Z}; ,k∈Z}.

∴f(x)取最大值时相应的 x 集合为{x|x=kπ﹣ f(x)取最小值时相应的 x 集合为{x|x=kπ+   20.【答案】 【解析】解:f′(x)= 令 g(x)=﹣ax2+(2a﹣b)x+b﹣c

函数 y=f′(x)的零点即 g(x)=﹣ax2+(2a﹣b)x+b﹣c 的零点 即:﹣ax2+(2a﹣b)x+b﹣c=0 的两根为 0,3 则 解得:b=c=﹣a,

令 f′(x)>0 得 0<x<3 所以函数的 f(x)的单调递增区间为(0,3), (2)由(1)得:

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函数在区间(0,3)单调递增,在(3,+∞)单调递减, ∴ ∴a=2, ∴ ; , ,

∴函数 f(x)在区间[0,4]上的最小值为﹣2.   ?3 ? 21.【答案】(1) ? ,3? ;(2). 2 ? ? 【解析】
1 ?? ?? ? ?3 ? ? 试题分析:( 1 )化简 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 ,结合取值范围可得 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ? 值域为 ? ,3? ; 6? 2 6? ? ? ?2 ? ?? ? ? 2?? ? ?? ? ? ? ?x ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2 和 ? x ? ? ? ? ? , ? ? ,由 g ? x ? 在 ? ? , ?上 (2)易得 g ? x ? ? f ? 2 12 3 3 3 3 6 3 6? ? ? ? ? ? ? ? 3

? ? 2?? ? ?? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ,k ? Z ? 是增函数 ? ? ? 3 6 3? ? 2 2 ? 3 ? ? ? 2?? ? 5 ? ? ? ? ? 2k? ? ? 1 5 ? 3 ?? ? ? 3k 3 2 ? ? ? ? k ? , k ? Z ? k ? 0 ? ? ? 1 ? ? 的最大值为. 4 ? ? ?? ? ? 12 12 ? ? ? ? ? 2k? ?? ? 1 ? 12k ? 3 2 ? 6

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考 点:三角函数的图象与性质. 22.【答案】 【解析】(1)当 n ? 1 时, 2 S1 ? 3a1 ? 3 ? 2a1 ? a1 ? 3 ;………………1 分 当 n ? 2 时, 2 S n ? 3an ? 3,2 S n ?1 ? 3an ?1 ? 3 , ∴当 n ? 2 时, 2 S n ? 2 S n ?1 ? 3( an ? an ?1 ) ? 2an ,整理得 an ? 3an ?1 .………………3 分 ∴数列 {an } 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列. ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 .………………5 分
n

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(﹣?, ? ?) 23.【答案】(1) ( 在 上有且只有一个零点(2)证明见解析 f x)
【解析】试题分析:

(1) f ? ? x ? ? e

x

? f ? x ? ? 1 ? x2

?

?x ?e

2
x

? 2 x ? 1 ? e x ? x ? 1? ,? f ? ? x ? ? 0 ,
2

?

试题解析:

? a 在 ? ??, ?? ? 上为增函数.

? a ? 1 ,? f ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 ,

第 14 页,共 16 页

又f

?

a ? 1 ? ae

?

a ?1

?a ? a e

?

a ?1

?1 ,

? a ? 1 ? 0,? e

a ?1

? 1 ,即 f

?

a ?1 ? 0 ,

?

?

由零点存在性定理可知, f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上为增函数,且 f ? 0 ? ? f

? f ? x ? 在 0, a ? 1 上仅有一个零点。
(2) f ? ? x ? ? e
x

?

?

?

a ?1 ? 0 ,

?

? x ? 1?

2

,设点 P ? x0 , y0 ? ,则 f ? ? x0 ? ? e

? y ? f ? x ? 在点 P 处的切线与 x 轴平行,? f ? ? x0 ? ? e x0

? x0 ? 1? , 2 ? x0 ? 1? ? 0 ,? x0 ? ?1 ,
x0 2

2 2 ? ? ? P ? ?1, ? a ? ,? kOP ? a ? , e e ? ? ? 点 M 处切线与直线 OP 平行,
? 点 M 处切线的斜率 k ? f ? ? m ? ? e m ? m ? 1? ? a ?
2

2 , e

又题目需证明 m ?

3
3

a?

2 2 3 ? 1 ,即 ? m ? 1? ? a ? , e e
m 2

? m ? 1? ,即 m ? 1 ? em 。 m m 令 g ? m ? ? e ? ? m ? 1? ,则 g ? ? m ? ? e ? 1 , 易知,当 m ? ? ??, 0 ? 时, g ? ? m ? ? 0 ,单调递减, 当 m ? ? 0, ?? ? 时, g ? ? m ? ? 0 ,单调递增, ? g ? m ?min ? g ? 0 ? ? 0 ,即 g ? m ? ? e m ? ? m ? 1? ? 0 ,
? m ? 1 ? em ,

则只需证明 ? m ? 1? ? e

?m ? 3 a ?

2 ? 1 ,得证。 e

24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1﹣x)的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)= ﹣a= ,

若 a≤0,则 f′(x)>0,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 若 a>0,则当 x∈(0, )时,f′(x)>0,当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0,所以 f(x)在(0, )上单调 递增,在( ,+∞)上单调递减,

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(Ⅱ),由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当 a>0 时,f(x)在 x= 取得最大值,最 大值为 f( )=﹣lna+a﹣1, ∵f( )>2a﹣2, ∴lna+a﹣1<0, 令 g(a)=lna+a﹣1, ∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0, ∴当 0<a<1 时,g(a)<0, 当 a>1 时,g(a)>0, ∴a 的取值范围为(0,1). 【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系,以及参数的取值范围,属于中档题.  

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