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贵德县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

贵德县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. P 是双曲线 =1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则△ PF1F2 ) C.c ) D.a+b﹣c

姓名__________

分数__________

的内切圆圆心的横坐标为( A.a B.b

2. 设 m 是实数,若函数 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则下列关于函数 f (x)的性质叙述正确的是( C.m=±1 D.最小值为﹣3 A.只有减区间没有增区间 B.是 f(x)的增区间

3. (2014 新课标 I)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

4. 方程(x2﹣4)2+(y2﹣4)2=0 表示的图形是( A.两个点 B.四个点 C.两条直线 D.四条直线



5. 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 =(m,n),向量 =(1,﹣2),则 ⊥ 的概率 是( )

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A.

B.

C.

D.

6. 设 α、β 是两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,命题 p:若平面 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m;命题 q:l∥α,m⊥l,m?β,则 β⊥α,则下列命题为真命题的是( A.p 或 q B.p 且 q C.¬p 或 q
2

) D.p 且¬q )

7. 已知等比数列{an}的公比为正数,且 a4?a8=2a5 ,a2=1,则 a1=( A. B.2 C. D.

8. 袋中装有红、 黄、 蓝三种颜色的球各 2 个, 无放回的从中任取 3 个球, 则恰有两个球同色的概率为 ( A. B. C. D.



9. 已知集合 A ? {?1 ? i, ( A.{?1}

1? i 2 3 1 1 ) , i , ? i } (其中为虚数单位), B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ? B ? ( 1? i 2 2
B.{1} C.{?1, )



2 } 2

D. {

2 } 2

10.线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( A.AB?α B.AB?α D.以上都不对 C.由线段 AB 的长短而定 11.已知 x>0,y>0, A.(﹣∞, ]

+ =1,不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立,则 m 的取值范围( ] C.(﹣∞, ] D.(﹣∞, ]



B.(﹣∞,

12. 圆心在直线 2x+y=0 上, 且经过点 (-1, -1) 与 (2, 2) 的圆, 与 x 轴交于 M, N 两点, 则|MN|= ( A.4 2 C.2 2 B.4 5 D.2 5



二、填空题
13.抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦,使它恰好被 P 点平分,则该弦所在的直线方程为 14.分别在区间 [0,1] 、 [1, e] 上任意选取一个实数 a、 b ,则随机事件“ a ? ln b ”的概率为_________. 15.△ABC 中, ,BC=3, ,则∠C= . .

16.如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温 的范围是.已知样本中平均气温不大于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数 为 .

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17.若“x<a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 凸多面体的体积是 .



18.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩下的

三、解答题
19.(14 分)已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值; 3 分 (2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ? [3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 5分 (3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0,e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立, 求 m 的取值范围. 6 分
1 1 恒成立,求 a 的最小值; ? g ( x2 ) g ( x1 )

x ,其中 m,a 均为实数. e x ?1

20.某校为了解 2015 届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据 整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右前 3 个小组的频率之比为 1:2:4,其中第二小 组的频数为 11. (Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数; (Ⅱ)若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选 3 人, 设 X 表示体重超过 60kg 的学生人数,求 X 的数学期望与方差.

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21.已知点(1, )是函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)﹣c, 数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn﹣1= 项和为 Tn, (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
2 (2)若对任意正整数 n,当 m∈[﹣1,1]时,不等式 t ﹣2mt+ >Tn 恒成立,求实数 t 的取值范围

+

(n≥2).记数列{

}前 n

(3)是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出 m,n 的值,若不存 在,说明理由.

22.已知(

+ )n 展开式中的所有二项式系数和为 512,

(1)求展开式中的常数项;

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(2)求展开式中所有项的系数之和.

23.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, E , F , G, H 分别是 AB, AC, PC, BC 的中点,且

PA ? PB, AC ? BC .

(1)证明: AB ? PC ; (2)证明:平面 PAB ? 平面 FGH .

24.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度),以 ?160,180? , ?180, 200? , ? 200, 220? ,

?220, 240? , ?240, 260? , ?260, 280? , ?280,300? 分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数.

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1111]

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贵德县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:如图设切点分别为 M,N,Q, 则△PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 Q 横坐标相同. 由双曲线的定义,PF1﹣PF2=2a. 由圆的切线性质 PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a, ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c, ∴F2Q=c﹣a,OQ=a,Q 横坐标为 a. 故选 A.

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质,强调了双曲线的定义. 2. 【答案】B 【解析】解:若 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数, 则 f(0)=|m|﹣1=0,则 m=1 或 m=﹣1, 当 m=1 时,f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0,此时为偶函数,不满足条件, 当 m=﹣1 时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,此时为奇函数,满足条件, 作出函数 f(x)的图象如图: 则函数在上为增函数,最小值为﹣2, 故正确的是 B, 故选:B

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【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,根据条件求出 m 的值是解决本题的关键.注意使用数形结合进 行求解. 3. 【答案】 C 【解析】解:在直角三角形 OMP 中,OP=1,∠POM=x,则 OM=|cosx|, ∴点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x)=OM|sinx| =|cosx||sinx|= |sin2x|, 其周期为 T= 故选 C. 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的 运用. 4. 【答案】B
2 2 2 2 【解析】解:方程(x ﹣4) +(y ﹣4) =0

,最大值为 ,最小值为 0,

则 x ﹣4=0 并且 y ﹣4=0, 即 解得: , , , , ,

2

2

得到 4 个点. 故选:B. 【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件,方程的应用,考查计算能力. 5. 【答案】A

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【解析】解:因为抛掷一枚骰子有 6 种结果,设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为(m,n),有 36 种可能, 而使 ⊥ 的 m,n 满足 m=2n,这样的点数有(2,1),(4,2),(6,3)共有 3 种可能; 由古典概型公式可得 ⊥ 的概率是: 故选:A. 【点评】本题考查古典概型,考查用列举法得到满足条件的事件数,是一个基础题. 6. 【答案】 C 【解析】解:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 命题 p:平面 AC 为平面 α,平面 A1C1 为平面 β,直线 A1D1,和直线 AB 分别是直线 m,l, 显然满足 α∥β,l?α,m?β,而 m 与 l 异面,故命题 p 不正确;﹣p 正确; 命题 q:平面 AC 为平面 α,平面 A1C1 为平面 β, 直线 A1D1,和直线 AB 分别是直线 m,l, 显然满足 l∥α,m⊥l,m?β,而 α∥β,故命题 q 不正确;﹣q 正确; 故选 C. ;

【点评】此题是个基础题.考查面面平行的判定和性质定理,要说明一个命题不正确,只需举一个反例即可, 否则给出证明;考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力. 7. 【答案】D 【解析】解:设等比数列{an}的公比为 q,则 q>0,
2 2 2 ∵a4?a8=2a5 ,∴a6 =2a5 , 2 ∴q =2,∴q=

, = .

∵a2=1,∴a1= 故选:D 8. 【答案】B

3 【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,共有 C6 =20 种,

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1 1 其中恰有两个球同色 C3 C4 =12 种,

故恰有两个球同色的概率为 P= 故选:B.

= ,

【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基 础题. 9. 【答案】D 【解析】

考点:1.复数的相关概念;2.集合的运算 10.【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: 直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A. 【点评】 本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一, 主要根据定义进行判断, 考查了空间想象能力. 公 理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上. 11.【答案】D 【解析】解:x>0,y>0, 所以(x+y)( + )=10+ 当且仅当 + =1,不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立, ≥10 =16, ;

时等号成立,所以 2m﹣1≤16,解得 m ];

故 m 的取值范围是(﹣ 故选 D. 12.【答案】

【解析】选 D.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).

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2a+b=0 ? ? 由题意得?(-1-a) +(-1-b) =r , ? ?(2-a) +(2-b) =r
2 2 2 2 2 2

解之得 a=-1,b=2,r=3, ∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=9, 令 y=0 得,x=-1± 5, ∴|MN|=|(-1+ 5)-(-1- 5)|=2 5,选 D.

二、填空题
13.【答案】 3x﹣y﹣11=0 . 【解析】解:设过点 P(4,1)的直线与抛物线的交点 为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 即有 y1 =6x1,y2 =6x2,

相减可得,(y1﹣y2)(y1+y2)=6(x1﹣x2), 即有 kAB= = = =3,

则直线方程为 y﹣1=3(x﹣4), 即为 3x﹣y﹣11=0. 将直线 y=3x﹣11 代入抛物线的方程,可得 9x2﹣72x+121=0,判别式为 722﹣4×9×121>0, 故所求直线为 3x﹣y﹣11=0. 故答案为:3x﹣y﹣11=0. 14.【答案】

e ?1 e
a a

【解析】解析: 由 a ? ln b 得 b ? e ,如图所有实数对 ( a, b) 表示的区域的面积为 e ,满足条件“ b ? e ”的 实数对 ( a, b) 表示的区域为图中阴影部分,其面积为

? e da ? e |
a 0

1

a 1 0

? e ? 1,∴随机事件“ a ? ln b ”的概率为

e ?1 . e
15.【答案】 【解析】解:由 根据正弦定理 = ,a=BC=3,c= 得: ,

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sinC=

=



又 C 为三角形的内角,且 c<a, ∴0<∠C< 则∠C= . ,

故答案为: 【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌 握正弦定理是解本题的关键,同时注意判断 C 的范围. 16.【答案】 9 . 【解析】解:平均气温低于 22.5℃的频率,即最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22, 所以总城市数为 11÷0.22=50, 平均气温不低于 25.5℃的频率即为最右面矩形面积为 0.18×1=0.18, 所以平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 50×0.18=9. 故答案为:9 17.【答案】 a≤﹣1 . 【解析】解:由 x ﹣2x﹣3≥0 得 x≥3 或 x≤﹣1,
2 若“x<a”是“x ﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件, 2

则 a≤﹣1, 故答案为:a≤﹣1. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键.

18.【答案】



【解析】解:在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥, 8 个三棱锥的体积为: 剩下的凸多面体的体积是 1﹣ = . 故答案为: . = .

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【点评】本题考查几何体的体积的求法,转化思想的应用,考查空间想象能力计算能力.

三、解答题
19.【答案】解:(1) g ?( x) ? 列表如下: x
g ?( x)

e(1 ? x) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x = 1. ex

(?∞,1) ? ↗

1 0 极大值

(1,?∞) ? ↘ (1) = 1,∴y = g ( x) 的极 为 1, 无极小值. 3

∵ 分

g

g(x)

大值 (2)当 m ? 1, a ? 0 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1 , x ? (0, ??) . ∵ f ?( x) ?
x?a ? 0 在 [3, 4] 恒成立,∴ f ( x) 在 [3, 4] 上为增函数. x

设 h( x ) ?

1 ex e x ?1 ( x ? 1) ? ,∵ h?( x) ? > 0 g ( x) ex x2

在 [3, 4] 恒成立, ∴ h( x) 在 [3, 4] 上为增函数. 于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) , 即 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x1 ) . 设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?
1 1 等价 ? g ( x2 ) g ( x1 )

1 ex 设 u( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? a ln x ? 1 ? ? ,则 u(x)在 [3, 4] 为减函数. e x x a 1 e ( x ? 1) e x ?1 x ?1 ∴ u?( x) ? 1 ? ? ? 在( 3 , 4 )上恒成立. ∴ 恒成立. ≤ 0 a ≥ x ? e ? x e x2 x e x ?1 ex?1 ( x ? 1) 1 1 3 设 v( x) ? x ? e x ?1 ? ,∵ v?( x) ? 1 ? ex?1 ? = 1 ? e x ?1 [( ? )2 ? ] ,x?[3,4], 2 x 2 4 x x 1 1 3 3 ∴ e x ?1 [( ? )2 ? ] ? e2 ? 1 ,∴ v?( x) < 0, v ( x ) 为减函数. x 2 4 4 2 ∴ v ( x ) 在[3,4]上的最大值为 v(3) = 3 ? e 2 . 3 2 2 2 2 ∴a≥3 ? e ,∴ a 的最小值为 3 ? e . 8分 3 3 (3)由(1)知 g ( x) 在 (0,e] 上的值域为 (0,1] .
∵ f ( x) ? mx ? 2ln x ? m , x ? (0, ??) , 当 m ? 0 时, f ( x) ? ?2ln x 在 (0,e] 为减函数,不合题意. 2 m( x ? ) m 当 m ? 0 时, f ?( x) ? ,由题意知 f ( x) 在 (0,e] 不单调, x

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2 2 ? e ,即 m ? .① m e 2 2 此时 f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( ,e) 上递增, m m

所以 0 ?

∴ f (e)≥1 ,即 f (e) ? me ? 2 ? m≥1 ,解得 m≥ 由①②,得 m≥

3 .② e ?1

3 . e ?1 2 ∵ 1 ? (0, e] ,∴ f ( )≤ f (1) ? 0 成立. m 2 下证存在 t ? (0, ] ,使得 f (t ) ≥1. m 2 ?m 取 t ? e ,先证 e? m ? ,即证 2em ? m ? 0 .③ m 3 设 w( x) ? 2e x ? x ,则 w?( x) ? 2e x ? 1 ? 0 在 [ , ??) 时恒成立. e ?1 3 3 ∴ w( x) 在 [ , ??) 时为增函数.∴ w( x)≥w( ) ? 0 ,∴③成立. e ?1 e ?1 再证 f (e? m ) ≥1. 3 3 ∵ f (e? m ) ? me? m ? m ? m≥ 时,命题成立. ? 1 ,∴ m≥ e ?1 e ?1 3 综上所述, m 的取值范围为 [ 14 分 , ??) . e ?1 20.【答案】

【解析】(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设该校报考飞行员的总人数为 n,前三个小组的频率为 p1,p2,p3, 则 ,

解得 由于



, ,故 n=55.…

,…

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一个报考学生的体重超过 60 公斤的概率为: p= , ),…

由题意知 X 服从二项分布,即:X~B(3, ∴P(X=k)= ∴EX= = ,DX= =

,k=0,1,2,3, .…

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【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查数据处理能力, 考查化归与转化思想,是中档题. 21.【答案】 【解析】解:(1)因为 f(1)=a= ,所以 f(x)= 所以 ,a2=[f(2)﹣c]﹣[f(1)﹣c]= , ,a3=[f(3)﹣c]﹣[f(2)﹣c]=

因为数列{an}是等比数列,所以 又公比 q= 由题意可得: 又因为 bn>0,所以 所以数列{ 当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1; 所以 bn=2n﹣1. (2)因为数列 所以 = = ; 前 n 项和为 Tn, ; ,所以 ;

,所以 c=1.

= }是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,并且有

, ;

因为当 m∈[﹣1,1]时,不等式
2 设 g(m)=﹣2tm+t ,m∈[﹣1,1],

恒成立,

2 所以只要当 m∈[﹣1,1]时,不等式 t ﹣2mt>0 恒成立即可,

所以只要一次函数 g(m)>0 在 m∈[﹣1,1]上恒成立即可, 所以 解得 t<﹣2 或 t>2, 所以实数 t 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).
2 (3)T1,Tm,Tn 成等比数列,得 Tm =T1Tn



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∴ ∴



结合 1<m<n 知,m=2,n=12 【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识,解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求 和的方法,以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题,然后利用函数的有关知识解决问题.

22.【答案】 【解析】解:(1)对( 解得 n=9; 设 Tr+1 为常数项,则: Tr+1=C9r 由 ﹣r=0,得 r=3, =C9r2r , + )n,所有二项式系数和为 2n=512,

3 3 ∴常数项为:C9 2 =672; 9 9 (2)令 x=1,得(1+2) =3 .

【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题,也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题,是基础 题. 23.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】

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考 点:平面与平面平行的判定;空间中直线与直线的位置关系. 24.【答案】(1) x ? 0.0075 ;(2)众数是 230 ,中位数为 224 . 【解析】 试题分析:(1)利用频率之和为一可求得的值;(2)众数为最高小矩形底边中点的横坐标;中位数左边和 右边的直方图的面积相等可求得中位数.1 试题解析:(1)由直方图的性质可得 (0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025) ? 20 ? 1 , ∴ x ? 0.0075 .

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考点:频率分布直方图;中位数;众数.

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