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2019版一轮优化探究理数练习:第四章 第三节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、填空题 π π π π π 1.已知函数 f(x)=sin(ωx+3)(ω>0),若 f(6)=f(2),且 f(x)在区间(6,2)上有最大 值,无最小值,则 ω=________. π π π π 1 解析:由题意 f(3)=1,即 ω· 3+3=2+2kπ,k∈Z,所以 ω=2+6k,k∈Z. π 2π 1 又3< ω ,所以 0<ω<6,故 ω=2. 1 答案:2 π π 2.函数 y=sin(2+x)cos(6-x)的最大值为________. π π 解析:y=sin(2+x)cos(6-x) π =cos x· cos(6-x) π π =cos x(cos6· cos x+sin6· sin x) 3 1 3 1 =cos x( 2 cos x+2sin x)= 2 cos2x+2sin x· cos x 3 1+cos 2x 1 3 3 1 =2· 2 +4sin 2x= 4 + 4 cos 2x+4sin 2x 3 11 3 = 4 +2(2sin 2x+ 2 cos 2x) 3 1 π = 4 +2sin(2x+3), 2+ 3 π ∴当 sin(2x+3)=1 时,ymax= 4 . 2+ 3 答案: 4 3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的图象如图所示,则 7π f(12)=________. 3 2π 2π 解析:由图象可知,2T=π,从而 T= ω = 3 ,ω=3, π 3π 得 f(x)=2sin(3x+φ),又由 f(4)=0 可取 φ=- 4 , 3π 7π 7π 3π 于是 f(x)=2sin(3x- 4 ),则 f(12)=2sin( 4 - 4 )=0. 答案:0 π π 4.若将函数 y=2sin(3x+φ)的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点(3,0) 对称,则|φ|的最小值是________. π π 解析:将函数 y=2sin(3x+φ)的图象向右平移4个单位后得到 y=2sin[3(x-4)+φ] 3π π π =2sin(3x- 4 +φ)的图象.因为该函数的图象关于点(3,0)对称,所以 2sin(3×3 3π π π π - 4 +φ)=2sin(4+φ)=0,故有4+φ=kπ(k∈Z),解得 φ=kπ-4(k∈Z).当 k=0 π 时,|φ|取得最小值4. π 答案:4 π 5.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数.若 f(x)≤|f(6)|对 x∈R 恒成立,且 π f(2)>f(π),则 f(x)的单调递增区间是________. π π π π 解析: 由?x∈R, 有 f(x)≤|f(6)|知, 当 x=6时 f(x)取最值, ∴f(6)=sin(3+φ)=± 1, π π ∴3+φ=± 2+2kπ(k∈Z), π 5π ∴φ=6+2kπ 或 φ=- 6 +2kπ(k∈Z). π 又∵f(2)>f(π),∴sin(π+φ)>sin(2π+φ), 5π ∴-sin φ>sin φ,∴sin φ<0.∴φ 取- 6 +2kπ(k∈Z). 5π 5π 不妨取 φ=- 6 ,则 f(x)=sin(2x- 6 ). π 5π π 令-2+2kπ≤2x- 6 ≤2+2kπ(k∈Z), π 4π ∴3+2kπ≤2x≤ 3 +2kπ(k∈Z), π 2π ∴6+kπ≤x≤ 3 +kπ(k∈Z). π 2π ∴f(x)的单调递增区间为[6+kπ, 3 +kπ](k∈Z). π 2π 答案:[kπ+6,kπ+ 3 ](k∈Z) π 6.已知 x∈(0,π],关于 x 的方程 2sin(x+3)=a 有两个不同的实数解,则实数 a 的取值范围为________. π 解析:令 y1=2sin(x+3),x∈(0,π],y2=a,作出 y1 的图象如 π 图所示,若 2sin(x+3)=a 在(0,π]上有两个不同的实数解,则 y1 与 y2 应有两个不同的交点,所以 3<a<2. 答案:( 3,2) π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期是2,直 π π 线 x=3是其图象的一条对称轴, 若 A>0, ω>0,0<φ<2, 则函数解析式为________. π 解析:由题设得,A=2,n=2,ω=4,且当 x=3时, 4 π sin (3π+φ)=± 1,故 φ=6. π 所求解析式为 y=2sin (4x+6)+2. π 答案:y=2sin (4x+6)+2 8.在矩形 ABCD 中,AB⊥x 轴,且矩形 ABCD 恰好能完全覆盖函数 y=asin ax(a ∈R,a≠0)的一个完整周期图象,则当 a 变化时,矩形 ABCD 周长的最小值为 ________. 解析:根据题意,设矩形 ABCD 的周长为 c, 4π 则 c=2(AB+AD)=4|a|+ |a| ≥8 π, 当且仅当 a=± π时取等号. 答案:8 π π 9.关于函数 f(x)=sin(2x-4),有下列命题: π ①其表达式可写成 f(x)=cos(2x+4); π ②直线 x=-8是 f(x)图象的一条对称轴; π ③f(x)的图象可由 g(x)=sin 2x 的图象向右平移4个单位得到; ④存在 α∈(0,π),使 f(x+α)=f(x+3α)恒成立. 则其中真命题的序号为________. π π π 解析:对于①,f(x)=sin(2x-4)=cos[2-(2x-4)] 3 =cos(2x-4π),故①错; π π π π 对于②,当 x=-8时,f(-8)=sin[2×(-8)-4] π =sin(-2)=-1,故②正确; π π 对于③, g(x)=sin 2x 的图象向右平移4个单位得到的图象解析式为 y=sin 2(x-4) π =sin(2x-2),故③错; π 对于④,因为 f(x)的周期为 π,故当 α=2时,f(x+α)=f(x+3α),所以④正确. 答案

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