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汉中市第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

汉中市第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若椭圆 椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B. 和圆 ) C. ) D. 为椭圆的半焦距) ,有四个不同的交点,则

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 下列命题中的说法正确的是(

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1>0” D.命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆否命题为真命题   3. 用秦九韶算法求多项式 f(x)=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2,当 x=﹣2 时,v1 的值为( A.1 B.7 4. 已知集合 A ? x | x ? 1 ? 0 ,则下列式子表示正确的有(
2



?

C.﹣7

D.﹣5

?



① 1 ? A ;② ??1? ? A ;③ ? ? A ;④ ?1, ?1? ? A . A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

5. 函数 f(x)= ﹣x 的图象关于(

A.y 轴对称 B.直线 y=﹣x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 6. 已知向量| |= A. A. B. 7. 设命题 p: B. , C.5 ? =10,| + |=5 D.25 ,则 p 为( ) ,则| |=( )

C. D. 8. 在△ABC 中,a=1,b=4,C=60°,则边长 c=( A.13 B. C. D.21

) )

9. 设函数 y=x3 与 y=( )x 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 10.函数 A.{x|1<x≤4} B.{x|1<x≤4,且 x≠2} 的定义域为( ) C.{x|1≤x≤4,且 x≠2} D.{x|x≥4}

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11.四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形, 则在下列结论中,下列说法错误的是(



A. AC ? BD C. AC A PQMN 12.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.3 B.4 C. D.13

B. AC ? BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 =4,则 =( )
?

二、填空题
13.在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ=sinθ 与 ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为      . 14.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣1, =Sn.则数列{an}的通项公式 an=  .

  15.命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是      . 16.△ABC 中, ,BC=3, ,则∠C=   .

17.用 1,2,3,4,5 组成不含重复数字的五位数,要求数字 4 不出现在首位和末位,数字 1,3,5 中有且 仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是 大. 18.一个总体分为 A,B,C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中每个个体被 抽到的概率都为   ,则总体的个数为      . .(注:结果请用数字作答) 【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用,同时也渗透了分类讨论的思想,本题综合性强,难度较

三、解答题
19.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人,女性中有 43 人主要 的休闲方式是看电视,其余人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,其余人主要 的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为休闲方式与性别有关系.独立性检验观察值计算公式 ,独立性检验临界值表:

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P(K2≥k0)0.50 0.25 0.15 0.05 0.0250.01 k0 0.4551.3232.0723.8415.0246.635  

0.005 7.879

20. x 正半轴为极轴建立极坐标系, 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos( )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

21.(本题 12 分)已知数列 {xn } 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2 p ? nq ( n ? N , p ,为常数) ,且 x1,x4,x5
n
*

成等差数列,求: (1) p,q 的值; (2)数列 {xn } 前项和 S n 的公式.

22.(本小题满分 13 分)

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在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, AB / / DC , ?ABD ?

?
2

, AD ? 2 2 , AB ? 2 DC ? 2 ,

F 为 PA 的中点.
(Ⅰ)在棱 PB 上确定一点 E ,使得 CE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? PB ? PD ?

6 ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

P

F D

C

A

B

23.已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

24.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y﹣1)2=4 和圆 C2:(x﹣4)2+(y﹣5)2=4 (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足 : 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所有满足条件的点 P 的坐标.

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汉中市第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 A 【解析】解:∵椭圆 , 且它们有四个交点, ∴圆的半径 , 和圆 为椭圆的半焦距)的中心都在原点



,得 2c>b,再平方,4c2>b2,

在椭圆中,a2=b2+c2<5c2, ∴ 由 ; ,得 b+2c<2a,

再平方,b2+4c2+4bc<4a2, ∴3c2+4bc<3a2, ∴4bc<3b2, ∴4c<3b, ∴16c2<9b2, ∴16c2<9a2﹣9c2, ∴9a2>25c2, ∴ ∴ . . ,

综上所述, 故选 A.   2. 【答案】D

【解析】解:A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”,故 A 错误, B.由 x2+5x﹣6=0 得 x=1 或 x=﹣6,即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件,故 B 错误,

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C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1≤0﹣5,故 C 错误, D.若 A>B,则 a>b,由正弦定理得 sinA>sinB,即命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的为真命 题.则命题的逆否命题也成立,故 D 正确 故选:D. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断,含有量词的命 题的否定,比较基础.   3. 【答案】C 【解析】解:∵f(x)=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2 =(((((x﹣5)x+6)x+0)x+2)x+0.3)x+2, ∴v0=a6=1, v1=v0x+a5=1×(﹣2)﹣5=﹣7, 故选 C.   4. 【答案】C 【解析】 试题分析: A ? ?1, ?1? ,所以①③④正确.故选 C. 考点:元素与集合关系,集合与集合关系. 5. 【答案】C 【解析】解:∵f(﹣x)=﹣ +x=﹣f(x) ∴ 是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称

故选 C.   6. 【答案】C 【解析】解:∵ ∴由 ∴ ∴ ; . 得, ; = ;

故选:C.   7. 【答案】A 【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题, p 为: 。

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故答案为:A 8. 【答案】B 【解析】解:∵a=1,b=4,C=60°, ∴由余弦定理可得:c= 故选:B.   9. 【答案】A 【解析】解:令 f(x)=x3﹣ ∵f′(x)=3x2﹣ ∴f(x)=x3﹣ ln =3x2+ 在 R 上单调递增; , ln2>0, = = .

又 f(1)=1﹣ = >0, f(0)=0﹣1=﹣1<0, ∴f(x)=x3﹣ 的零点在(0,1),

∵函数 y=x3 与 y=( )x 的图象的交点为(x0,y0), ∴x0 所在的区间是(0,1). 故答案为:A.   10.【答案】B

【解析】解:要使函数有意义,只须







解得 1<x≤4 且 x≠2, ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x≤4 且 x≠2}. 故选 B   11.【答案】B 【解析】

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试题分析:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQ // MN , QM // PN ,则 PQ // 平面 ACD, QM // 平面 BDA , 所 以 PQ // AC , QM // BD , 由 PQ ? QM 可 得 AC ? BD , 所 以 A 正 确 ; 由 于 PQ // AC 可 得 AC // 截 面

PQMN , 所以 C 正确 ; 因为 PN ? PQ , 所以 AC ? BD , 由 BD // PN , 所以 ?MPN 是异面直线 PM 与 BD PN AN MN DN 0 所成的角,且为 45 ,所以 D 正确;由上面可知 BD // PN , PQ // AC ,所以 ,而 ? , ? BD AD AC AD AN ? DN , PN ? MN ,所以 BD ? AC ,所以 B 是错误的,故选 B. 1
考点:空间直线与平面的位置关系的判定与证明. 【方法点晴】 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明, 其中解答中涉及到直线与平面平行 的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力,属于中档试题,此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答 的关键. 12.【答案】D 【解析】解:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, ∴S4,S8﹣S4,S12﹣S8 也成等比数列,且 S8=4S4, ∴(S8﹣S4)2=S4×(S12﹣S8),即 9S42=S4×(S12﹣4S4), 解得 =13. =4,

故选:D. 【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.是基础的计算题.  

二、填空题
13.【答案】 (1,2) .

【解析】解:由 2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ, 即 y=2x2. 由 ρcosθ=1,得 x=1. 联立 ,解得: .

∴曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2). 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.  

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14.【答案】 

 .

【解析】解:Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣1, ∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn, ∴ ∴{ ∴ =﹣1, =﹣1,

=Sn,

}是首项为﹣1,公差为﹣1 的等差数列, =﹣1+(n﹣1)×(﹣1)=﹣n.

∴Sn=﹣ , n=1 时,a1=S1=﹣1, n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣ + ∴an= . = .

故答案为:   15.【答案】 



 .

【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题所以,命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是: . 故答案为:   16.【答案】  【解析】解:由 根据正弦定理 =   ,a=BC=3,c= 得: , .

sinC=

=



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又 C 为三角形的内角,且 c<a, ∴0<∠C< 则∠C= . ,

故答案为: 【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌 握正弦定理是解本题的关键,同时注意判断 C 的范围.   17.【答案】48 【 解 析 】

18.【答案】 300 . 【解析】解:根据分层抽样的特征,每个个体被抽到的概率都相等, 所以总体中的个体的个数为 15÷ 故答案为:300. 【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题,是基础题目.   =300.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1) 看电视 21 43 运动 33 27 合计 54 70

男 性 女

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性 合 计 (2) 所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为休闲方式与性别有关系﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 【点评】 独立性检验是考查两个分类变量是否有关系, 并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的 统计方法,主要是通过 k2 的观测值与临界值的比较解决的   20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由 从而 C 的直角坐标方程为 64 60 124

即 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0)

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 所以 P 点的直角坐标为 所以直线 OP 的极坐标方程为 ,则 P 点的极坐标为 ,ρ∈(﹣∞,+∞) ,

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和 平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.   21.【答案】(1) p ? 1, q ? 1 ;(2) S n ? 2
n ?1

?2?

n(n ? 1) . 2

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考 点:等差,等比数列通项公式,数列求和. 22.【答案】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 E 为 PB 的中点时, CE / / 平面 PAD . (1 分) 连结 EF 、 EC ,那么 EF / / AB , EF ? ∵ DC / / AB , DC ?

1 AB . 2

1 AB ,∴ EF / / DC , EF ? DC ,∴ EC / / FD . (3 分) 2 又∵ CE ? 平面 PAD , FD ? 平面 PAD ,∴ CE / / 平面 PAD . (5 分)
(Ⅱ)设 O 为 AD 的中点,连结 OP 、 OB ,∵ PA ? PD ,∴ OP ? AD , 在直角三角形 ABD 中, OB ?

1 AD ? OA , 又∵ PA ? PB ,∴ ?PAO ? ?PBO ,∴ ?POA ? ?POB ,∴ 2

OP ? OB ,
∴ OP ? 平面 ABD . (10 分)

PO ? PA2 ? AO 2 ? ( 6) 2 ? ( 2) 2 ? 2 , BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 1 1 1 2 ∴三棱锥 P ? BDF 的体积 VP ? BDF ? VP ? ABD ? ? ? 2 ? 2 ? . (13 分) 2 2 3 3

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P

F

E D

C

O
A B

23.【答案】 【解析】解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), (1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx, 因而 f(1)=1,f′(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1), 即 x+y﹣2=0 (2)由 ,x>0 知: , .

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值.   24.【答案】 【解析】 【分析】(1)因为直线 l 过点 A(4,0) ,故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于 直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程. (2)与(1)相同,我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,由于两直线斜率为 1,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 故我们可以得到一个关于直线斜率 k 的方程, 解方程求出 k 值, 代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 【解答】解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4)(1 分) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1(2 分)

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d=

从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0(5 分) (2)设点 P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a),k≠0 则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a)(6 分) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等 即 = (8 分)

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或 (10 分)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ ,

)(12 分)

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