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延吉市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

延吉市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|< 称中心是( ) )的图象过点(0, ),则 f(x)的图象的一个对

座号_____

姓名__________

分数__________

A.(﹣

,0) B.(﹣

,0) C.(

,0)

D.(

,0) 的图象是( )

2. 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象,则幂函数 y=x

A.①

B.②

C.③ ) D.(0,5)

D.④

3. 函数 f(x)=x3﹣3x2+5 的单调减区间是( A.(0,2) B.(0,3) C.(0,1)

4. 若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) ) C. y ? ln x
2



5. 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e
?x

B. y ? x ) B.3 C.4

3

D. y ? x

6. 已知圆 M 过定点 (0,1) 且圆心 M 在抛物线 x ? 2 y 上运动,若 x 轴截圆 M 所得的弦为 | PQ | ,则弦长

| PQ | 等于(
A.2 难度较大.

D.与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质,对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高,

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7. 已知圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +y +4x﹣4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A.x+y=0 B.x+y=2 C.x﹣y=2 D.x﹣y=﹣2 8. 抛物线 y= x2 的焦点坐标为( A.(0, ) B.( ,0) ) C.(0,4) D.(0,2)

2

2

2

2



9. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinB=2sinC,a2﹣c2=3bc,则 A 等于( A.30° B.60° C.120° D.150° 10.为得到函数 A.向左平移 C.向左平移 A.5 B.4 个长度单位 个长度单位 C.3 D.2 ) 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( B.向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位 ) )



11.若函数 f(x)=ax2+bx+1 是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为(

12.袋内分别有红、白、黑球 3,2,1 个,从中任取 2 个,则互斥而不对立的两个事件是( A.至少有一个白球;都是白球 B.至少有一个白球;至少有一个红球 C.恰有一个白球;一个白球一个黑球 D.至少有一个白球;红、黑球各一个

二、填空题
13.已知 tan(? ? ? ) ? 3 , tan(? ?

?
4

) ? 2 ,那么 tan ? ?

. ▲ . .

14.已知集合 A ? ?x | 0 ? x≤3, x ? R? , B ? ?x | ?1≤x≤2, x ? R? ,则 A∪B= 15.棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
2

16.已知 M 、N 为抛物线 y ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2,

| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为_________.
17.若函数 f(x),g(x)满足:?x∈(0,+∞),均有 f(x)>x,g(x)<x 成立,则称“f(x)与 g(x) f x) =a 与 g =logax 关于 y=x 分离”. 已知函数 ( (x) (a>0, 且 a≠1) 关于 y=x 分离, 则 a 的取值范围是 18.曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y= 所围成的图形的面积为 .
x



三、解答题

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19.某实验室一天的温度(单位:

)随时间 (单位;h)的变化近似满足函数关系;

(1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?

20.(本小题满分 12 分)菜农为了蔬菜长势良好,定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防 止害虫的危害,待蔬菜成熟时将采集上市销售,但蔬菜上仍存有少量的残留农药,食用时可用清水清洗干净, 下表是用清水 x(单位:千克)清洗该蔬菜 1 千克后,蔬菜上残存的农药 y(单位:微克)的统计表: xi 1 2 3 4 5 yi 57 53 40 30 10 (1)在下面的坐标系中,描出散点图,并判断变量 x 与 y 的相关性;

(2)若用解析式 y=cx2+d 作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程,求其解析式;(c,a 精确到 0.01); 附:设 ωi=x2 i ,有下列数据处理信息: ω =11, y =38, (ωi- ω )(yi- y )=-811, 计分别为 (ωi- ω )2=374,

对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程 y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估

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(3)为了节约用水,且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水.(结果保留 1 位有效数字)

21.如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2CD=2,AA1=2,∠A1AD= 为 AD 的中点,且 CD⊥A1O (Ⅰ)求证:A1O⊥平面 ABCD; (Ⅱ)线段 BC 上是否存在一点 P,使得二面角 D﹣A1A﹣P 为 由.

.若 O

?若存在,求出 BP 的长;不存在,说明理

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

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已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1 , F2 为其左、右焦点,直线的参数方程为 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (为参数, t ? R ). ? ?y ? 2 t ? ? 2 (1)求直线和曲线 C 的普通方程;
(2)求点 F1 , F2 到直线的距离之和.

23.如图,在△ABC 中,BC 边上的中线 AD 长为 3,且 sinB= (Ⅰ)求 sin∠BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.

,cos∠ADC=﹣ .

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24.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE∥BC,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1D⊥CD,如图

2. (Ⅰ)求证:平面 A1BC⊥平面 A1DC; (Ⅱ)若 CD=2,求 BD 与平面 A1BC 所成角的正弦值; (Ⅲ)当 D 点在何处时,A1B 的长度最小,并求出最小值.

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延吉市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 B 【解析】解:由函数图象可知:A=2,由于图象过点(0, 可得:2sinφ= 解得:φ= , ). ,k∈Z, ,0),k∈Z ,0), ,即 sinφ= ,由于|φ|< , ),

即有:f(x)=2sin(2x+ 由 2x+

=kπ,k∈Z 可解得:x=

故 f(x)的图象的对称中心是:( 当 k=0 时,f(x)的图象的对称中心是:( 故选:B.

【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ )的部分图象求函数的解析式,正弦函数的对称性,属于中档 题. 2. 【答案】D 【解析】解:幂函数 y=x 只有④符合. 故选:D. 【点评】本题考查了幂函数的图象与性质,属于基础题. 3. 【答案】A
3 2 【解析】解:∵f(x)=x ﹣3x +5, 2 ∴f′(x)=3x ﹣6x,

为增函数,且增加的速度比价缓慢,

令 f′(x)<0,解得:0<x<2, 故选:A. 【点评】本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题. 4. 【答案】D

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2 2 【解析】解:∵方程 x +ky =2,即

表示焦点在 y 轴上的椭圆



故 0<k<1

故选 D. 【点评】本题主要考查了椭圆的定义,属基础题. 5. 【答案】B 【解析】 试题分析: 对于 A,y ? e x 为增函数,y ? ? x 为减函数, 故 y ? e? x 为减函数, 对于 B,y ' ? 3x2 ? 0 , 故 y ? x3 为增函数,对于 C,函数定义域为 x ? 0 ,不为 R ,对于 D,函数 y ? x 为偶函数,在 ? ??,0? 上单调递减, 在 ? 0, ?? 上单调递增,故选 B. 考点:1、函数的定义域;2、函数的单调性. 6. 【答案】A 【解析】过 M 作 MN 垂直于 x 轴于 N ,设 M ( x0 , y0 ) ,则 N ( x0 ,0) ,在 Rt?MNQ 中, | MN |? y0 , MQ 为 圆的半径, NQ 为 PQ 的一半,因此
2 2 2 | PQ |2 ? 4 | NQ |2 ? 4(| MQ |2 ? | MN |2 ) ? 4[ x0 ? ( y0 ? 1)2 ? y0 ] ? 4( x0 ? 2 y0 ? 1) 2 2 2 又点 M 在抛物线上,∴ x0 ? 2 y0 ,∴ | PQ | ? 4( x0 ? 2 y0 ? 1) ? 4 ,∴ | PQ |? 2 .

7. 【答案】D 【解析】【分析】由题意可得圆心 C1 和圆心 C2,设直线 l 方程为 y=kx+b,由对称性可得 k 和 b 的方程组,解 方程组可得. 【解答】解:由题意可得圆 C1 圆心为(0,0),圆 C2 的圆心为(﹣2,2), 2 2 2 2 ∵圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +y +4x﹣4y+4=0 关于直线 l 对称, ∴点(0,0)与(﹣2,2)关于直线 l 对称,设直线 l 方程为 y=kx+b, ∴ ?k=﹣1 且 =k? +b,

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解得 k=1,b=2,故直线方程为 x﹣y=﹣2, 故选:D. 8. 【答案】D 【解析】解:把抛物线 y= x2 方程化为标准形式为 x2=8y, ∴焦点坐标为(0,2). 故选:D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键. 9. 【答案】C 【解析】解:由 sinB=2sinC,由正弦定理可知:b=2c,代入 a2﹣c2=3bc, 可得 a2=7c2, 所以 cosA= ∵0<A<180°, ∴A=120°. 故选:C. 【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基本知识的考查. 10.【答案】A 【解析】解:∵ 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 故选 A. 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题. 11.【答案】A
2 【解析】解:函数 f(x)=ax +bx+1 是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,

=

=﹣ ,

, 个单位得到函数 的图象.

可得 b=0,并且 1+a=2a,解得 a=1,
2 所以函数为:f(x)=x +1,x∈[﹣2,2],

函数的最大值为:5. 故选:A. 【点评】本题考查函数的最大值的求法,二次函数的性质,考查计算能力. 12.【答案】D

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【解析】解:从 3 个红球,2 个白球,1 个黑球中任取 2 个球的取法有: 2 个红球,2 个白球,1 红 1 黑,1 红 1 白,1 黑 1 白共 5 类情况, 所以至少有一个白球,至多有一个白球不互斥; 至少有一个白球,至少有一个红球不互斥; 至少有一个白球,没有白球互斥且对立; 至少有一个白球,红球黑球各一个包括 1 红 1 白,1 黑 1 白两类情况,为互斥而不对立事件, 故选:D 【点评】本题考查了互斥事件和对立事件,是基础的概念题.

二、填空题
13.【答案】 【解析】 试题分析:由 tan(? ?

4 3

?
4

)?

1 ? tan ? 1 tan(? ? ? ) ? tan ? ? 2 得 tan ? ? , tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 1 ? tan ? 3 1 ? tan(? ? ? ) tan ?

1 3 ? 4. ? 1 3 1? 3? 3 3?
考点:两角和与差的正切公式. 14.【答案】1-1,3] 【解析】 试题分析:A∪B= ?x | 0 ? x≤3, x ? R? 考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点 集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图 表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 15.【答案】 12? 【解析】

?x | ?1≤x≤2, x ? R? =1-1,3]

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考 点:球的体积与表面积. 【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算,其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的 结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于基础题, 本题的解答中仔细分析,得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键. 16.【答案】 x ? y ? 2 ? 0 【解析】解析: 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) ,那么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 , x1 ? x2 ? 8 ,∴线段 MN 的
2 2 中点坐标为 (4, 2) .由 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,而

y1 ? y2 ? 1 ,∴直线 MN 的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . x1 ? x2
17.【答案】 ( ,+∞) .

y1 ? y2 ? 2 ,∴ 2

【解析】解:由题意,a>1.
x 故问题等价于 a >x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立. x x 构造函数 f(x)=a ﹣x,则 f′(x)=a lna﹣1,

由 f′(x)=0,得 x=loga(logae), x>loga(logae)时,f′(x)>0,f(x)递增; 0<x<loga(logae),f′(x)<0,f(x)递减. 则 x=loga(logae)时,函数 f(x)取到最小值, 故有 故答案为:( ﹣loga(logae)>0,解得 a> ,+∞). .

【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化,从而利用导数求函数的最值求出参数的范围. 18.【答案】 .

2 【解析】解:∵曲线 y=x 和直线:x=1 的交点为(1,1),和直线 y= 的一个交点为( , )

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∴曲线 y=x 和直线 x=0,x=1,y=
3 ﹣ x)

2

所围成的图形的面积为 S=



)dx+

dx=( x

+( x3﹣ x)

= .

故答案为: .

三、解答题
19.【答案】 【解析】(1)∵f(t)=10﹣ ∴ 当 ≤ t+ t+ = < ,故当 t+ = =10﹣2sin( t+ ),t∈[0,24),

时,函数取得最大值为 10+2=12,

时,函数取得最小值为 10﹣2=8,

故实验室这一天的最大温差为 12﹣8=4℃。 (2)由题意可得,当 f(t)>11 时,需要降温,由(Ⅰ)可得 f(t)=10﹣2sin( 由 10﹣2sin( 20.【答案】 【解析】解:(1) t+ )>11,求得 sin( t+ )<﹣ ,即 ≤ t+ < t+ , ),

解得 10<t<18,即在 10 时到 18 时,需要降温。

根据散点图可知,x 与 y 是负相关. (2)根据提供的数据,先求数据(ω1,y1),(ω 2,y2),(ω3,y3),(ω4,y4),(ω5,y5)的回归直线 方程,y=cω+d,

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= ^ ^ a=y-cω =38-(-2.17)×11=61.87.

-811 ≈-2.17, 374

∴数据(ωi,yi)(i=1,2,3,4,5)的回归直线方程为 y=-2.17ω+61.87, 又 ωi=x2 i, ∴y 关于 x 的回归方程为 y=-2.17x2+61.87. 61.87 6187 (3)当 y=0 时,x= = ≈5.3.估计最多用 5.3 千克水. 2.17 217 21.【答案】 【解析】满分(13 分). (Ⅰ)证明:∵∠A1AD= ∴A1O= ∴ +AD2=AA12, ,且 AA1=2,AO=1, = ,…(2 分)

∴A1O⊥AD.…(3 分) 又 A1O⊥CD,且 CD∩AD=D, ∴A1O⊥平面 ABCD.…(5 分) (Ⅱ)解:过 O 作 Ox∥AB,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O﹣xyz(如图), 则 A(0,﹣1,0),A1(0,0, ∵ 且 取 z=1,得 = .…(8 分) = , ),…(6 分) =(x,y,z), 设 P(1,m,0)m∈[﹣1,1],平面 A1AP 的法向量为 =(1,m+1,0),

又 A1O⊥平面 ABCD,A1O?平面 A1ADD1 ∴平面 A1ADD1⊥平面 ABCD. 又 CD⊥AD,且平面 A1ADD1∩平面 ABCD=AD, ∴CD⊥平面 A1ADD1. 不妨设平面 A1ADD1 的法向量为 由题意得 = =(1,0,0).…(10 分) = ,…(12 分)

解得 m=1 或 m=﹣3(舍去).

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∴当 BP 的长为 2 时,二面角 D﹣A1A﹣P 的值为

.…(13 分)

【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能 力和运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想.

x2 y 2 ? ? 1 ;(2) 2 2 . 22.【答案】(1)直线的普通方程为 y ? x ? 2 ,曲线 C 的普通方程为 4 3
【解析】 试题分析:(1)由公式 ?

? ? cos ? ? x 可化极坐标方程为直角坐标方程,利用消参法可化参数方程为普通方程; ? sin ? ? y ?

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式. 23.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)由题意,因为 sinB= 又 cos∠ADC=﹣ ,所以 sin∠ADC= 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)= (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理,得 故 BC=15, … ×

,所以 cosB=



﹣(﹣ )× ,解得 BD=

= …



2 从而在△ADC 中,由余弦定理,得 AC =9+225﹣2×3×15×(﹣ )=

,所以 AC=



【点评】本题考查差角的正弦公式,考查正弦定理、余弦定理的运用,属于中档题. 24.【答案】 【解析】 【分析】(Ⅰ)在图 1 中,△ABC 中,由已知可得:AC⊥DE.在图 2 中,DE⊥A1D,DE⊥DC,即可证明 DE⊥平面 A1DC,再利用面面垂直的判定定理即可证明. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,设平面 A1BC 的法向量为 ,利用 ,BE 与平

面所成角的正弦值为

. =

(Ⅲ) 设 CD=x (0<x<6) , 则 A1D=6﹣x, 利用

(0<x<6),即可得出. 【解答】(Ⅰ)证明:在图 1 中,△ABC 中,DE∥BC,AC⊥BC,则 AC⊥DE, ∴在图 2 中,DE⊥A1D,DE⊥DC, 又∵A1D∩DC=D,∴DE⊥平面 A1DC, ∵DE∥BC,∴BC⊥平面 A1DC, ∵BC?平面 A1BC,∴平面 A1BC⊥平面 A1DC. (Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系:A1(0,0,4)B(3,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0), E(2,0,0). 则 , , 设平面 A1BC 的法向量为 则 ,解得 ,即

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则 BE 与平面所成角的正弦值为 (Ⅲ)解:设 CD=x(0<x<6),则 A1D=6﹣x,在(2)的坐标系下有:A1(0,0,6﹣x),B(3,x,0), ∴ = = (0<x<6), 即当 x=3 时,A1B 长度达到最小值,最小值为 .

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