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2013年文科高考数学三角函数及解三角形部分大题


2013 年高考数学三角函数及解三角形部分大题
1. (2013 大纲全国, 文 18)(本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,

b , c , ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? ac .
(1)求 B ; (2)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4 解:(1)因为 ? a ? b ? c ??a ? b ? c ? ? ac ,
所以 a ? c ? b ? ?ac .
2 2 2

由余弦定理得 cos B ? 因此 B ? 120 .

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? , 2ac 2

(2)由(1)知 A ? C ? 60 ,

所以 cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin Asin C

? cos ? A ? C ? ? 2sin Asin C
1 3 ?1 +2 ? 2 4 3 ? 2 故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 , 因此 C ? 15 或 C ? 45 . ?

? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C

2. (2013 湖南,文 16)(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? cos x ? cos ? x ?

? ?

??

?. 3?

? 2π ? ? 的值; ? 3 ? 1 (2)求使 f ? x ? ? 成立的 x 的取值集合. 4 2π π ? 2π ? 解:(1) f ? ? ? cos ? cos 3 3 ? 3 ? π π = ?cos ? cos 3 3
(1)求 f ?

1 ?1? = ?? ? ? ? . 4 ? 2?
(2) f ? x ? ? cos x ? cos ? x ?

2

? ?

??
? 3?

-1-

?1 ? 3 ? cos x ? ? ? 2 cos x ? 2 sin x ? ? ? ?

1 3 ? cos2 x ? sin x cos x 2 2 1 3 ? ?1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x 4 4 1 π? 1 ? ? cos ? 2 x ? ? ? . 2 3? 4 ? 1 1 π? 1 1 π? ? ? f ? x ? < 等价于 cos ? 2 x ? ? ? ? ,即 cos ? 2 x ? ? <0 . 4 2 3? 4 4 3? ? ? π ? 2? 于是 2k? ? < 2 x ? < 2k? ? ,k ?Z . 2 3 3 5? 11? 解得 k? ? < x < k? ? ,k ?Z 12 12 1 5π 11π ? ? 故使 f ? x ? < 成立的 x 的取值集合为 ? x | kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z? . 4 12 12 ? ? 3. (2013 天津, 文 16)(本小题满分 13 分)在 ?ABC 中, 内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a , 2 b , c .已知 b sin A ? 3c sin B , a ? 3 , cos B ? . 3 (1)求 b 的值; π? ? (2)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ? a b ? 解:(1)在 ?ABC ,由 ,可得 b sin A ? a sin B ,又由 b sin A ? 3c sin B ,可 sin A sin B 得 a ? 3c ,又 a ? 3 ,故 c ? 1 . 2 2 2 2 由 b ? a ? c ? 2ac cos B , cos B ? ,可得 b ? 6 . 3 2 5 (2)由 cos B ? ,得 sin B ? ,进而得 3 3 1 4 5 cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? , sin 2 B ? 2sin B cos B ? . 9 9 π? π π 4 5? 3 ? 所以 sin ? 2B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? . 3? 3 3 18 ? π? ? 4.(2013 广东,文 16)(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 2cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ? ?π? (1)求 f ? ? 的值; ?3?
-2-

3 π? ? ? 3π ? ,? ? ? , 2π ? ,求 f ? ? ? ? . 5 6? ? ? 2 ? π ?π? ?π π ? 解:(1) f ? ? ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? 1 . 4 ?3? ? 3 12 ? 3 ? 3π ? (2)∵ cos ? ? , ? ? ? , 2π ? , 5 ? 2 ? 4 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 π? π? ? ? ∴ f ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? 6? 4? ? ? π π? 1 ? ? 2 ? cos? cos ? sin? sin ? ? ? . 4 4? 5 ?
(2)若 cos ? ?

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x 2 π (? ? 0 ) ,且 y ? f ? x ? 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4
5.(2013 山东,文 18)(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? (1)求 ? 的值;

? 3π ? 上的最大值和最小值. ? 2? ? 3 解:(1) f ? x ? ? ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x 2 3 1 ? cos 2? x 1 ? ? 3? ? sin 2? x 2 2 2 3 1 ? cos 2? x ? sin 2? x 2 2 ?? ? ? ? sin ? 2? x ? ? 3? ? π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4 2π π =4 ? .因此 ? ? 1 . 又 ? >0,所以 2? 4 ?? ? (2)由(1)知 f ? x ? ? ? sin ? 2? x ? ? . 3? ? 3π 5π π 8π 当? ≤ x ≤ 时, ≤ 2x ? ≤ . 2 3 3 3 3 π? ? 所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1, 2 3? ?
(2)求 f ? x ? 在区间 ? π,
-3-

3 . 2 3 ? 3π ? 故 f ? x ? 在区间 ? π, ? 上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 ? 2? 6. (2013 浙江, 文 18)(本题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中, 内角 A ,B ,C 的对边分别为 a , b , c ,且 2a sin B ? 3b . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 6 , b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积. a b 3 ? 解:(1)由 2a sin B ? 3b 及正弦定理 ,得 sin A ? . sin A sin B 2 π 因为 A 是锐角,所以 A ? . 3 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? c ? bc ? 36 . 28 又 b ? c ? 8 ,所以 bc ? . 3 1 7 3 由三角形面积公式 S ? bc sin A ,得△ABC 的面积为 . 2 3 7.(2013 福建,文 21)(本小题满分 12 分)如图,在等腰直角 ?OPQ 中, ?POQ ? 90 ,
因此-1≤ f ? x ? ≤

OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.
(1)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的 面积最小?并求出面积的最小值.

N M

解:(1)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45 , OM ? 5 , OP ? 2 2 ,

P ?4 M P ? 3? 0 , 由余弦定理得,OM ? OP ? MP ? 2 ? OP ? MP ? cos 45 , 得M 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (2) 设 ?POM ? ? , 0°≤ ? ≤60° , 在 ?O M P中 , 由 正 弦 定 理 , 得
2 2 2 2

OM OP OPsin45? ? ,所以 OM ? . sin ?OPM sin ?OMP sin? 45? ? ? ? OPsin45? 同理 ON ? . sin? 75? ? ? ?
-4-

M

1 ? OM ? ON ? sin ?MON 2 1 OP 2sin 2 45? 1 ? ? ? 4 sin? 45? ? ? ?sin?75? ? ? ? sin? 45? ? ? ?sin? 45? ? ? ? 30?? 1 ? ? 3 ? 1 sin? 45? ? ? ? ? sin(45? ? ? ) ? cos(45? ? ? ) ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 2 1 sin (45? ? ? ) ? sin(45? ? ? )cos(45? ? ? ) 2 2 1 ? 3 1 [1 ? cos(90? ? 2? )] ? sin(90? ? 2? ? 4 4 1 ? 3 3 1 ? sin2? ? cos2? 4 4 4 1 ? . 3 1 ? sin? 2? ? 30?? 4 2 因为 0°≤ ? ≤60°,30°≤ 2? ? 30 ≤150°, 所以当 ? ? 30 时, sin ? 2? ? 30 ? 的最大值为 1,此时 ?OMN 的面积取到最小值,即
故 S ?OMN ?

?POM ? 30 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 . 1? ? b? 8. (2013 陕西, 文 16)(本小题满分 12 分)已知向量 a ? ? cosx, ? ? , 2? ? x ? R ,设函数 f ? x ? ? a ? b .
(1)求 f ? x ? 的最小正周期;

?

3 sin x, cos 2 x ,

?

? π? ? ? 1? ? 解: f ? x ? ? ? cosx, ? ? ? 2? ?

(2)求 f ? x ? 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. 2

?

3 sin x, cos 2 x

?

1 ? 3 cos x sin x ? cos 2 x 2 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? cos

?

6

sin 2 x ? sin

?

6

cos 2 x

-5-

π? ? =sin ? 2 x ? ? . 6? ?
(1) f ? x ? 的最小正周期为 T ?



即函数 f ? x ? 的最小正周期为 π .

?

?

2π ?π, 2

π , 2 π π 5π ∴ ? ≤ 2x ? ≤ . 6 6 6
(2)∵0≤ x ≤ 由正弦函数的性质,

9.(2013 重庆,文 18)(本小题满分 13 分,(1)小问 4 分,(2)小问 9 分.)在 ?ABC 中,内 角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a ? b ? c ? 3bc . (1)求 A ;
2 2 2

π π π ? ,即 x ? 时, f ? x ? 取得最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x ? ? ? ,即 x ? 0 时, f ? 0 ? ? ? , 6 6 2 π 5 π ?π? 1 当 2x ? ? π ,即 x ? 时, f ? ? ? , 6 6 2 ?2? 2 1 ∴ f ? x ? 的最小值为 ? . 2 1 ? π? 因此, f ? x ? 在 ?0, ? 上最大值是 1,最小值是 ? . 2 ? 2?
当 2x ?

(2)设 a ? 3 , S 为 ?ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的 值.

b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 3 ? ?? 解:(1)由余弦定理得 cos A ? . 2bc 2bc 2 5π 又因 0< A < ? ,所以 A ? . 6 1 (2)由(1)得 sin A ? , 2 又由正弦定理及 a ? 3 得 1 1 a sin B S ? bc sin A ? ? ? a sin C ? 3sin B sin C , 2 2 sin A 因此, S ? 3cos B cos C ? 3?sin B sin C ? cos B cos C ? ? 3cos ? B ? C ? .
π? A π ? 时, S ? 3cos B cos C 取最大值 3. 2 12 10.(2013 四川,文 17)(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a ,
所以,当 B ? C ,即 B ?
-6-

3 b , c ,且 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? ? ? . 5 (1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 3 解:(1)由 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? ? ? ,得 5 3 3 3 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? .则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? . 5 5 5 4 又 0< A < ? ,则 sin A ? . 5 a b bsinA 2 ? (2)由正弦定理,有 ,所以, sin B ? . ? sinA sinB a 2 π 由题知 a > b ,则 A > B ,故 B ? . 4 2 ? 3? 根据余弦定理,有 4 2 ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? ,解得 c ? 1 或 c ? ?7 (负值舍去). ? 5?

?

?

2 . 2 11.(2013 江西,文 17)(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ?1 . (1)求证: a , b , c 成等差数列; 2π a (2)若 C ? ,求 的值. 3 b 2 解:(1)由已知得 sin A sin B ? sin B sin C ? 2sin B , 因为 sin B ? 0 ,所以 sin A ? sin C ? 2sin B . 由正弦定理,有 a ? c ? 2b ,即 a , b , c 成等差数列. 2π 2 2 2 (2)由 C ? , c ? 2b ? a 及余弦定理得 ? 2b ? a ? ? a ? b ? ab , 3 a 3 2 即有 5ab ? 3b ? 0 ,所以 ? . b 5 12.(2013 湖北,文 18)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 cos2 A ? 3cos ? B ? C ? ?1 . (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 2 解:(1)由 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1,得 2cos A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,
故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? 即 ? 2cos A ?1?? cos A ? 2? ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0< A < ? ,所以 A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍去). 2

π . 3
-7-

1 1 3 3 bc sin A ? bc ? ? bc ? 5 3 ,得 bc ? 20 . 2 2 2 4 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . 2 2 2 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21 ,故 a ? 21 . b c bc 2 20 3 5 ? ? . 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin A ? a a a 21 4 7 ?? ? 13.(2013 安徽,文 16)(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x ? ? . 3? ? (1)求 f ? x ? 的最小值,并求使 f ? x ? 取得最小值的 x 的集合;
(2)由 S ? (2)不画图,说明函数 y ? f ? x ? 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

1 3 sin x ? cos x 2 2 3 3 ? sin x ? cos x 2 2 ?? ? ? 3 sin ? x ? ? . 6? ? ? ? 2? 所以当 x ? ? 2k? ? ,即 x ? 2k? ? , ( k ? Z )时, f ? x ? 取最小值 ? 3 . 6 2 3 ? 2π ? 此时 x 的取值集合为 ? x x ? 2kπ ? , k ? Z? . 3 ? ?
解:(1)因为 f ? x ? ? sin x ? (2) 先将 y ? sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 ( 横坐标不变 ) ,得

π 再将 y ? 3 sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位, 得 y ? f ? x? y ? 3 sin x 的图象; 6
的图象. 14.(2013 北京,文 15)(本小题共 13 分)已知函数 f ? x ? ? 2 cos x ? 1 sin 2 x ?
2

?

?

(1)求 f ? x ? 的最小正周期及最大值; (2)若 ? ? ?

1 cos 4 x . 2

2 ?π ? ,求 ? 的值. ,π ? ,且 f ?? ? ? 2 ?2 ? 1 1 2 解:(1)因为 f ? x ? ? ? 2cos x ?1? sin 2 x ? cos 4 x ? cos 2 x sin 2 x ? cos 4 x 2 2 1 2 π? ? ? ? sin 4 x ? cos 4 x ? ? sin ? 4 x ? ? , 2 2 4? ?
所以 f ? x ? 的最小正周期为

π 2 ,最大值为 . 2 2

-8-

2 π? ? ,所以 sin ? 4? ? ? ? 1 . 2 4? ? ? ? 9π 17 π ? ?π ? 因为 ? ? ? ,π ? ,所以 4? ? ? ? , ?. 4 ? 4 4 ? ?2 ? π 5π 9π 所以 4? ? ? .故 ? ? . 4 2 16 15.已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ,其中常数 ? ? 0 .
(2)因为 f

?? ? ?

? 的奇偶性,并说明理由; 2? ? (2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ? x ? 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得 6 到函数 y ? g ? x ? 的图像.对任意 ? ? R ,求 y ? g ?x ? 在区间 ?? , ? ? 10? ? 上零点个数的所
有可能值. 解:(1) f ? x ? ? 2sin x ,

(1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ?

? ?

??

?? ?? ? ? F ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? ? ? 2sin x ? 2sin ? x ? ? ? 2 ? sin x ? cos x ? . 2? 2? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? F ? ? ? 2 2 , F ? ? ? ? 0 , F ? ? ? ? F ? ? , F ? ? ? ? ?F ? ? . ?4? ? 4? ? 4? ?4? ? 4? ?4? 所以, F ? x ? 既不是奇函数,也不是偶函数.
(2) f ? x ? ? 2sin 2x ,

? 个单位,再向上平移 1 个单位后得到 6 ?? ?? ? ? y ? 2sin 2 ? x ? ? ? 1 的图像,所以 g ? x ? ? 2sin 2 ? x ? ? ? 1 . 6? 6? ? ? 5? 3? 令 g ? x ? ? 0 ,得 x ? k? ? 或 x ? k? ? ( k ? Z ). 12 4 因为 ?? , ? ? 10? ? 恰含 10 个周期,所以,
将 y ? f ? x? 的 图 像 向 左 平 移 当 ? 是零点时,在 ?? , ? ? 10? ? 上零点个数为 21; 有两个零点,故在 ?? , ? ? 10? ? 上有 20 个零点. 16. (2013 辽宁, 文 17)(本小题满分 12 分)设向量 a ? 当 ? 不是零点时,? ? k? ( k ? Z )也都不是零点,区间 ? ?? ? k? , ? ? ? k ? 1? ? ? ? 上恰 综上, y ? g ? x ? 在 ?? , ? ? 10? ? 上零点个数的所有可能值为 21 或 20.

?

3 sin x,sin x ,b ? ? cos x,sin x ? ,

?

? ?? x ? ?0, ? . ? 2?

-9-

(1)若 a ? b ,求 x 的值; (2)设函数 f ? x ? ? a ? b ,求 f ? x ? 的最大值. 解: (1)由 a ? 得 4sin x ? 1 .
2

2

?

3 sin x ? sin 2 x ? 4sin 2 x , b ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ,及 a ? b ,
1 π

?

2

2

又 x ? ?0, ? ,从而 sin x ? .所以 x ? . 2 6 ? 2? (2) f ? x ? ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin 2 x

? π?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 π? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 6? 2 ? 3 π ? π? π? ? 当 x ? ? ? 0, ? 时, sin ? 2 x ? ? 取最大值 1.所以 f ? x ? 的最大值为 . 2 3 ? 2? 6? ? ?

- 10 -


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