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2009~2010学年度第一学期期中考试高一数学试题参考答案


高一数学参考答案
一.填空题 (1) {2} (2) 3 (3) -1 (4)(1,+∞) (5)3

(6) (-5,-1)

(7)(3,4)

(8)0

(9) 5x?3 ? 2 (14)a≥2

(10)3

(11) 【2,5】 二.解答题: 15.

(12)c,a,b (13)0

A=【-2,1】………………………………………………3 分 B=(-∞,a)………………………………………………3 分

(1) 【-2,0)………………………………………………3 分 (2)a>1………………………………………………5 分 16. (1) a ?

1? 5 ………………………………………4 分 2

(a ? a ?1 ) 2 ? 1? a 2 ? a ?2 ? 3 ………………………………………4 分
( 2 )

? m ? 2 ? m2 ? 3m ? 2 ? (m ? 1)(m ? 2) ? 0 , 即 m 2 ? 3m ? 2 ,

? f ( x) ? log2 x 是增函数。
? l o 2 m 2 ? l o 2 (3m ? 2) , g g

即 log2 (3m ? 2) ? 2 log2 m …………………………………………6 分
……………………………………………3 分 17. (Ⅰ )即 y ?

1 t (0 ? t ? 40) ……………………………………………… 3 分 80 800 y ? 2 (t ? 40) ……………………………………3 分 t

?1 ? 80 t , 0 ? t ? 40 ? y 关于 t 的函数是 y ? ? ? 800 , t ? 40 ? t2 ?
(Ⅱ)由题意知,

…………………………………… 2 分

800 ? 0.08 , 解得 x ? 100 或 x ? ?100 (舍)……………5 分 x2
…………… 2 分

又 100 ? 40 ? 60 (天) 答:按这个标准,这个家庭在装潢后 60 天方可入住.

18.(1)奇函数,证明略. ………………………………………………5 分 (2)单调减,证明略. ………………………………………………5 分 (3)由题意知方程

x x ?1 等价于 x3 ? x ? 1 ? 0 ? x ?1 x
2

设 g ( x) ? x3 ? x ? 1则 g (?1) ? 0, g (0) ? 0 ,所以方程在 (?1, 0) 上必有根

1 1 2 2 3 1 3 1 又因为 g (? ) ? g (? ) ? 0 ,所以方程在 ( ? , ? ) 上必有一根。 4 2 4 2 3 1 所以满足题意的一个区间为 ( ? , ? ) 。………………………………………………5 4 2
又因为 g ( ?1) ? g (? ) ? 0 ,所以方程在 ( ?1, ? ) 上必有一根。 分

? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? 19.∵ f ( x ) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ?x ?
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数.………………………………3 分 由 0<a<b , 且 f(a)=f(b) , 可 得 0<a ? 1<b 且

1 1 ?1 ? 1. 所 以 a b

1 1 ? ? 2 .………………………………………………3 分 a b
(II)不存在满足条件的实数 a,b.………………………………………………1 分 若存在满足条件的实数 a,b, 则 0<a<b ① 当 a , b ? (0,1) 时, f ( x ) ?

1 ? 1 在(0,1)上为减函数. x

故?

?f (a ) ? b, ?f (b) ? a.



?1 ? ? 1 ? b, ?a 解得 a=b 或 ab=1. ? 1 ? ? 1 ? a. ?b ?
1 在 (1, ??) 上是增函数. x

故此时不存在适合条件的实数 a,b.…………………………………………3 分 ② 当 a , b ? [1,??) 时, f (x) ? 1 ?

?f (a ) ? a, 故? ?f (b) ? b.



? 1 ?1 ? a ? a , ? ? ?1 ? 1 ? b. ? b ?

此时 a,b 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根,此方程无实根.…………………3 分
2

故此时不存在适合条件的实数 a,b.

当 a ? (0,1) , b ? [1,??) 时,由于 1? [a , b] ,而 f (1) ? 0 ? [a, b] , 故此时不存在适合条件的实数 a,b.……………………………………3 分 综上可知,不存在适合条件的实数 a,b.

20. (1)因为 y ? f ( x) 为偶函数, 所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于 ?x ? R 恒成立.
x 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9x ? 1) ? log9 9 ? 1 ? log9 (9x ? 1) ? ? x 恒成立, 9x

而 x 不恒为零, 所以 k ? ? 1 . 2

-----------------------4 分

(2)由题意知方程 log9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log9 (9x ? 1) ? x ? b 无解. 2 2 令 g ( x) ? log9 (9x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.
x 因为 g ( x) ? log9 9 ? 1 ? log9 ?1 ? 1 ? ? ? 9x ? 9x ?

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 9 x1 ? 9 x2 ,从而 1 ? 1 . 9 x1 9 x2 于是 log9 ?1 ? 1 ? ? log9 ?1 ? 1 ? ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , ? ? ? ? ? 9x1 ? ? 9x2 ? 所以 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数. 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ?1 ? 1 ? ? 0 . ? ? 9 ? 9x ? 所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?. (3)由题意知方程 3x ? 1 ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根. 3 3x 令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根. 3 若 a=1,则 t ? ? 3 ,不合, 舍去; 4 若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由 ? ? 0 ? a ? 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ; 4 4 2 2 方程(*)的两根异号 ? ? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1. ----------------------- 6 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1 , ? ?) .

----------------------- 6 分


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