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【全程复习方略】高一数学配套多媒体教学优质课件第二章 解析几何初步2.3.3 空间两点间的距离_图文

3.3 空间两点间的距离公式 (1)掌握空间两点间的距离公式, (2)会应用距离公式解决有关问题. (3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意 识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基 本思想方法 D' A' D C' B' C A B 建筑用砖通常是长方体,我们可以拿尺子测量出一 块砖的长、宽和高,那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢?直接测量比较困难,我们可以用间接的方法去测 量。如果有三块砖,你如何测量AC′的长度,两块呢? 1.思考:类比平面两点间的距离公式的推导,在空间直 角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的 距离,怎么求? (1)先看简单的情形 空间中任意一点的坐标 P( x, y, z ) 到原点之间的距离公式会是怎样呢? 如图所示,设点P在 xoy 平面上的 射影是B.则点B的坐标是 ( x, y, 0). 2 2 在 xoy 平面上,有 OB ? x ? y . O A z P(x,y,z) y B(x,y,0) 在Rt ?OBP中,根据勾股定理 OP ? OB ? BP , 2 2 x BP ? z , 所以 OP ? x 2 ? y 2 ? z 2 . 这说明,在空间直角坐标系中,空间中任意一点 P( x, y, z ) 与原点的距离 OP ? x2 ? y 2 ? z 2 . 探究: 如果 OP 是定长r,那么 x2 ? y2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? 在空间中,到定点的距离 等于定长的点的轨迹是 z P O y 以原点为球心, 半径长为 r 的球面. x (2)如果是空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式会是怎样呢? 如图,设 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 是空间中任意两点,且 z P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 在xoy平面上的射影分别 为M,N,那么M,N的坐标为 M ( x1 , y1 ,0) N ( x2 , y2 ,0) 在xoy平面上, MN ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 . 过点 则 P1 作 P 2 N 的垂线,垂足为H, z MP 1 ? z1 , MP 2 ? z2 , P1 O M1 N1 x M P2 所以 MP2 ? z2 ? z1 . 在Rt ?PHP 1 2中, 2 2 PH ? MN ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) , 1 2 1 2 1 M2 H N2 y N 根据勾股定理 PP 1 2 ? 2 2 2 PH ? HP ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 因此,空间中任意两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 2 2 2 ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) . 之间的距离 PP 1 2 2 1 2 1 2 1 例 1 给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30 . 解:设点P的坐标是(x,0,0),由题意 | P 0 P |? 30, , 即 ( x ? 4) 2 ? 12 ? 22 ? 30, 所以(x-4)2=25. 解得x=9或x=-1 所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0) 练习: 1.求下列两点的距离 (1) A(2,3,5), B(3,1, 4) (2) A(6, 0,1), B(3,5, 7) 答案: (1). 6 (2). 70 例2. 在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使M到点 N(6,5,1)的距离最小. 解:由已知可设M(x,1-x,0),则 | MN |? ( x ? 6) 2 ? (1 ? x ? 5) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 2( x ? 1) 2 ? 51 所以,当x=1时,|MN|min= 51 ,故点M为(1,0,0). 练习:在z轴上求一点M,使点M 到A(1,0,2)与点B(1, -3,1)的距离相等. 答案: (0, 0, ?3) 1、已知两点M ( ( 1 -1,0,2),M 2 0,3,-1), 此两点间的距离为( A ) A. 19   B. 11 C.19 D.11 2、在RtΔ ABC中,∠BAC=90° , 三点坐标为A(2,1, 1),B(1, 1, 2) C(x,0, 1),则x = ____ 2 1、会画空间直角坐标系; 2、已知点写出其空间直角坐标; 3、空间直角坐标系中距离公式. 不要害怕批评。当你提出新的观念,就要 准备接受人批评。

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