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巫溪县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

巫溪县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={3,4,5},集合 N={1,3,6},则集合{2,7,8}是( A.M∪N B.M∩NC.? IM∪? IN D.? IM∩? IN )

姓名__________

分数__________

2. 已知命题 p : f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 是单调增函数;命题 q : ?x ? ( 则下列命题为真命题的是( A. p ? q 为 S1 、 S2 、 S3 ,则( A. S1 ? S2 ? S3 4. 若复数 A.﹣2 B.4 ) B. S1 ? S2 ? S3 ) B. p ? ? q

? 5?
4 , 4

) , sin x ? cos x .
D. ? p ? q

C. ? p ? ? q

3. 棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应截面面积 C. S2 ? S1 ? S3 ) D. S2 ? S1 ? S3

(a∈R,i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为( C.﹣6 D.6

5. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则方程 g(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,7]上的所有零点之和为( A.12 B.11 C.10 D.9

,且 f(x)=f(x+2),g(x)= )



6. 若向量(1,0,x)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为 ,则 x 为( A.0 B.1 ) C.﹣1 D.2



7. 对某班学生一次英语测验的成绩分析,各分数段的分布如图(分数取整数),由此,估计这次测验的优秀 率(不小于 80 分)为(

A.92%

B.24% )

C.56%

D.5.6%

8. 下列命题中正确的是(

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A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题 B.命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为:“若 xy=0,则 x≠0” C.“ ”是“ ”的充分不必要条件 ” ) D.2x+y﹣5=0 ) C.x﹣2y﹣5=0

D.命题“?x∈R,2x>0”的否定是“ A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0

9. 过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为(

10.过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( A.1 A.(﹣∞,﹣2) A.有最大值 B.2 C.3 ) D.4 )

11.对一切实数 x,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( B. D.上是减函数,那么 b+c( C.有最小值 ) C. 60 B.有最大值﹣ D.有最小值﹣

12.直线 3x ? y ?1 ? 0 的倾斜角为( A. 150 B. 120

D. 30

二、填空题
13.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=5,BC=4,AA1=3,沿该长方体对角面 ABC1D1 将其截成两部 分,并将它们再拼成一个新的四棱柱,那么这个四棱柱表面积的最大值为 .

14.已知函数 f(x)=

恰有两个零点,则 a 的取值范围是

. ,则

15.圆上的点(2,1)关于直线 x+y=0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x﹣y+1=0 相交所得的弦长为 圆的方程为 . 16.设有一组圆 Ck:(x﹣k+1)2+(y﹣3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交; ③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ④所有的圆均不经过原点. 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).

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17.设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最小值是



18.若函数 f(x)=logax(其中 a 为常数,且 a>0,a≠1)满足 f(2)>f(3),则 f(2x﹣1)<f(2﹣x)的 解集是 .
2

三、解答题
19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ( a ? R ).

1 ,求 y ? f ( x) 的单调区间; 2 (II)函数 g ( x) ? (1 ? a) x ,若 ?x0 ?[1, e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
(I)若 a ?

20.设 p:关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0};q:函数 p∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

的定义域为 R.若 p∨q 是真命题,

21.已知函数 f(x)=

,求不等式 f(x)<4 的解集.

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22.设函数 f(θ)= 经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. (Ⅰ)若点 P 的坐标为

,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边

,求 f(θ)的值; 上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f(θ)的

(Ⅱ)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: 最小值和最大值.

23.设 A= {x|2x

2

+ax+2=0} , 2 ? A ,集合 B ? {x | x 2 ? 1}

(1)求 a 的值,并写出集合 A 的所有子集; (2)若集合 C ? {x | bx ? 1} ,且 C ? B ,求实数 b 的值。

24.(本题满分 15 分) 如图 AB 是圆 O 的直径, C 是弧 AB 上一点, VC 垂直圆 O 所在平面, D , E 分别为 VA , VC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 VBC ; (2)若 VC ? CA ? 6 ,圆 O 的半径为 5 ,求 BE 与平面 BCD 所成角的正弦值.

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【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,线面等基础知识,意在考查空间想象能力和运算求解能力.

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巫溪县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={3,4,5},集合 N={1,3,6}, ∴M∪N={1,2,3,6,7,8}, M∩N={3}; ?IM∪?IN={1,2,4,5,6,7,8}; ?IM∩?IN={2,7,8}, 故选:D. 2. 【答案】D 【解析】

考点:1、指数函数与三角函数的性质;2、真值表的应用. 3. 【答案】A 【解析】

考 点:棱锥的结构特征. 4. 【答案】C 【解析】解:复数 故选 C. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的分类,是基础题. 5. 【答案】B 【解析】解:∵f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)为周期为 2 的周期函数, = ,它是纯虚数,则 a=﹣6.

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函数 g(x)= 对称,

,其图象关于点(2,3)对称,如图,函数 f(x)的图象也关于点(2,3)

函数 f(x)与 g(x)在[﹣3,7]上的交点也关于(2,3)对称, 设 A,B,C,D 的横坐标分别为 a,b,c,d, 则 a+d=4,b+c=4,由图象知另一交点横坐标为 3, 故两图象在[﹣3,7]上的交点的横坐标之和为 4+4+3=11, 即函数 y=f(x)﹣g(x)在[﹣3,7]上的所有零点之和为 11.

故选:B.

【点评】本题考查函数的周期性,函数的零点的概念,以及数形结合的思想方法.属于中档题. 6. 【答案】A 【解析】解:由题意 = 故选 A 【点评】 本题考查空间向量的夹角与距离求解公式, 考查根据公式建立方程求解未知数, 是向量中的基本题型, 此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解,正确利用概念与公式解题是此类题的特点. 7. 【答案】C 【解析】解:这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 56% ,∴1+x= ,解得 x=0

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故选 C 【点评】在解决频率分布直方图时,一定注意频率分布直方图的纵坐标是 8. 【答案】 D 【解析】解:若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为假命题,故 A 不正确; 命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为:“若 xy≠0,则 x≠0”,故 B 不正确; “ “ 故“ ”?“ ”是“
x



”?“

+2kπ,或 ”,

,k∈Z”,

”的必要不充分条件,故 C 不正确; ”,故 D 正确.

命题“?x∈R,2 >0”的否定是“ 故选 D.

【点评】本题考查命题的真假判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 9. 【答案】A 【解析】解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 【点评】本题主要考查了直线方程的求解,解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程 x﹣ 2y+c=0. 10.【答案】D
2 【解析】解:抛物线 y =4x 焦点(1,0),准线为 l:x=﹣1,

设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 C、G、D,EF 交纵轴于点 H,如图所示: 则由 EG 为直角梯形的中位线知, EG= = = =5,

∴EH=EG﹣1=4, 则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 4. 故选 D.

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【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想.

11.【答案】B 【解析】解:由 f(x)在上是减函数,知 f′(x)=3x2+2bx+c≤0,x∈, 则 ?15+2b+2c≤0?b+c≤﹣ 故选 B. 12.【答案】C 【解析】 试题分析:由直线 3x ? y ? 1 ? 0 ,可得直线的斜率为 k ? 3 ,即 tan ? ? 3 ? ? ? 60 ,故选 C.1 考点:直线的斜率与倾斜角. .

二、填空题
13.【答案】 114 . 【解析】解:根据题目要求得出:

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当 5×3 的两个面叠合时,所得新的四棱柱的表面积最大,其表面积为(5×4+5×5+3×4)×2=114. 故答案为:114 【点评】本题考查了空间几何体的性质,运算公式,学生的空间想象能力,属于中档题,难度不大,学会分析 判断解决问题. 14.【答案】 (﹣3,0) .

【解析】解:由题意,a≥0 时, x<0,y=2x3﹣ax2﹣1,y′=6x2﹣2ax>0 恒成立, f(x)在(0,+∞)上至多一个零点; x≥0,函数 y=|x﹣3|+a 无零点, ∴a≥0,不符合题意; ﹣3<a<0 时,函数 y=|x﹣3|+a 在[0,+∞)上有两个零点,
3 2 函数 y=2x ﹣ax ﹣1 在(﹣∞,0)上无零点,符合题意;

a=﹣3 时,函数 y=|x﹣3|+a 在[0,+∞)上有两个零点,
3 2 函数 y=2x ﹣ax ﹣1 在(﹣∞,0)上有零点﹣1,不符合题意;

a<﹣3 时,函数 y=|x﹣3|+a 在[0,+∞)上有两个零点,
3 2 函数 y=2x ﹣ax ﹣1 在(﹣∞,0)上有两个零点,不符合题意;

综上所述,a 的取值范围是(﹣3,0). 故答案为(﹣3,0). 15.【答案】 (x﹣1)2+(y+1)2=5 .

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【解析】解:设所求圆的圆心为(a,b),半径为 r, ∵点 A(2,1)关于直线 x+y=0 的对称点 A′仍在这个圆上, ∴圆心(a,b)在直线 x+y=0 上, ∴a+b=0,①
2 2 2 且(2﹣a) +(1﹣b) =r ;②

又直线 x﹣y+1=0 截圆所得的弦长为

, = ,

且圆心(a,b)到直线 x﹣y+1=0 的距离为 d=
2 2 根据垂径定理得:r ﹣d =



即 r ﹣(

2

2 ) = ③;

由方程①②③组成方程组,解得



2 2 ∴所求圆的方程为(x﹣1) +(y+1) =5. 2 2 故答案为:(x﹣1) +(y+1) =5.

16.【答案】 ②④ 【解析】解:根据题意得:圆心(k﹣1,3k), 圆心在直线 y=3(x+1)上,故存在直线 y=3(x+1)与所有圆都相交,选项②正确; 考虑两圆的位置关系, 圆 k:圆心(k﹣1,3k),半径为 两圆的圆心距 d= 两圆的半径之差 R﹣r= (k+1) ﹣
2

k2, (k+1) ,
2

圆 k+1:圆心(k﹣1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为 = k =2
2



k+



任取 k=1 或 2 时,(R﹣r>d),Ck 含于 Ck+1 之中,选项①错误; 若 k 取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误;
2 2 4 2 4 将(0,0)带入圆的方程,则有(﹣k+1) +9k =2k ,即 10k ﹣2k+1=2k (k∈N*),

因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在 k 使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确. 则真命题的代号是②④. 故答案为:②④

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【点评】本题是一道综合题,要求学生会将直线的参数方程化为普通方程,会利用反证法进行证明,会利用数 形结合解决实际问题. 17.【答案】 ﹣6 .

【解析】解:由约束条件

,得可行域如图,

使目标函数 z=2x﹣3y 取得最小值的最优解为 A(3,4), ∴目标函数 z=2x﹣3y 的最小值为 z=2×3﹣3×4=﹣6. 故答案为:﹣6. 18.【答案】 (1,2) . 【解析】解:∵f(x)=logax(其中 a 为常数且 a>0,a≠1)满足 f(2)>f(3), ∴0<a<1,x>0, 若 f(2x﹣1)<f(2﹣x), 则 解得:1<x<2, 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查了对数函数的性质,考查函数的单调性问题,是一道基础题. ,

三、解答题
19.【答案】 【解析】 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识,意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决 问题的能力.

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请 20.【答案】
x 【解析】解:∵关于 x 的不等式 a >1 的解集是{x|x<0},∴0<a<1;

故命题 p 为真时,0<a<1; ∵函数 ∴ 的定义域为 R, ?a≥ ,

由复合命题真值表知:若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,则命题 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,则 ?0<a< ;

当 q 真 p 假时,则

?a≥1,

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综上实数 a 的取值范围是(0, )∪[1,+∞). 21.【答案】 【解析】解:函数 f(x)= 当 x≥﹣1 时,2x+4<4,解得﹣1≤x<0; 当 x<﹣1 时,﹣x+1<4 解得﹣3<x<﹣1. 综上 x∈(﹣3,0). 不等式的解集为:(﹣3,0). 22.【答案】 【解析】解(Ⅰ)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得: ,不等式 f(x)<4,

于是 f(θ)=

=

=2

(Ⅱ)作出平面区域 Ω(即△ABC)如图所示, 其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). 因为 P∈Ω,所以 0≤θ≤ ∴f(θ)= 且 故当 当 ,即 , 时,f(θ)取得最大值 2; , = ,

,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值 1.

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【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思 想、数形结合思想、化归与转化思想. 23.【答案】(1) a ? ?5 ,A 的子集为: ? , ? ? , ?2? , ? , 2 ? ;(2) 0 或 1 或 ?1 。 【解析】
2 试题分析: (1) 由 2 ? A 有:2 ? 2 ? 2a ? 2 ? 0 , 解得:a ? ?5 , 此时集合 A ? x 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ? ? , 2 ? ,
2

?1 ? ?2?

?1 ?2

? ?

?

?

?1 ?2

? ?

?1 ? ?1 ? ?2? ?2 ? 时, b ? 0 ,当 C ? ? 时, B ? ?1? 或 B ? ??1? ,当 C ? ?1? 时, b ? 1 ,当 C ? ??1? 时, b ? ?1 ,所以实数 b
所以集合 A 的子集共有 4 个,分别为:? , ? ? ,?2? , ? , 2 ? ;(2)由题 B ? ??1,1? 若 C ? B ,当 C ? ? 的值为 1 或 ?1 。本题考查子集的定义,求一个集合的子集时,注意不要漏掉空集。当集合 A ? B 时,要分类 讨论,分 A ? ? 和 A ? ? 两类进行讨论。考查学生分类讨论思想方法的应用。 试题解析:(1)由 2 ? A 有: 2 ? 22 ? 2a ? 2 ? 0 ,解得: a ? ?5 ,

?1 ? A ? ? x 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0? ? ? , 2? ?2 ? 1? ?1 ? 所以集合 A 的子集为: ? , ? ? ? , ?2? , ? , 2 ? ?2? ?2 ? (2) B ? ??1,1? ,由 C ? B :当 C ? ? 时, b ? 0
当 C ? ? 时, b ? 1 或 b ? ?1 , 所以实数 b 的值为: 0 或 1 或 ?1 考点:1.子集的定义;2.集合间的关系。

3 146 . 146 【解析】(1)∵ D , E 分别为 VA , VC 的中点,∴ DE / / AC ,…………2 分
24.【答案】(1)详见解析;(2) ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? BC ,…………4 分

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又∵ VC ? 圆 O ,∴ VC ? AC ,…………6 分

BC ? C ,∴ DE ? 面VBC ;…………7 分 1 1 (2)设点 E 平面 BCD 的距离为 d ,由 VD?BCE ? VE ?BCD 得 ? DE ? S ?BCE ? ? d ? S ?BCD ,解得 3 3 3 2 ,…………12 分 设 BE 与平面 BCD 所成角为 ? ,∵ BC ? AB2 ? AC 2 ? 8 , d? 2 d 3 146 .…………15 分 ? BE ? BC 2 ? CE 2 ? 73 ,则 sin ? ? BE 146
∴ DE ? BC , DE ? VC ,又∵ VC

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