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安徽省芜湖一中2013届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题 2

数学(理科)试题
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z ? x ? yi( x, y ? R) ,且有 等于( A. )

x 1 的值 ? 1 ? yi , z 是 z 的共轭复数,那么 1? i z
C.

2 1 ? i 5 5

B.

2 1 ? i 5 5

1 2 ? i 5 5

D. )

1 2 ? i 5 5

2.若随机变量 X ~ N (1,4) Px ? m , ( 0 ? ) A.

,则 P(0 ? x ? 2) =(

1 ? 2m 1? m B. C. 1 ? 2m 2 2 1 2 n 3.二项式 ( ? x ? x ) 展开式中含有 x 项,则 n 可能的取值是( x
A.5
2

D. 1 ? m ) D.8

B.6

C.7

4. 已知函数 f ( x) ? 4 ? x , y ? g ( x) 是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,g ( x) ? log 2 x , 当 则函数 f ( x) ? g ( x) 的大致图象为( )

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. ? ?



3 3

B. 2? ?

3 3 3 ? 6

C. 2? ? 3

D. ? ?

1

6.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,? , ? 是钝 角三角形的两 个锐角,则下列结论正确的是( A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) ) B. f (sin ? ) ? f (cos ? ) D. f (cos ? ) ? f (cos ? ) n , 设

7 . 在 等 差 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , a6 ? 2a3 ? 1 , 对 任 意 的

n Sn ? a1 ? a 2 a ?3a ? ? ? (? 1 ?1 an ,则满足 S2 k ?1 ? 35 的最小正整数 K 的取值等于 ? ) 4

( ) A.16

B.17

C.18

D.19

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 8.直线 ? ( t 为参数)被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长为( 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
A.



9. 设长方形 ABCD 边长分别是 AD =1, AB=2 (如图所示) 点 P 在 ? BCD , 内部和边界上运动,设 AP ? ? ? AB ? ? ? AD ( ? , ? 都是实数) , 则 ? ? 2 ? 的取值范围是( )

7 10

B.

14 5

C.

7 5

D.

5 7

??? ?

??? ?

????

A .[1,2] B.[1,3] C.[2,3] D.[0,2] 10.把一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种不同颜色可供选择,那么不同的染色方法共有( ) A.420 种 B.300 种 C.360 种 D.540 种 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到 y 轴距离与点 P 到点 A (2,3) 距离之和的最
2

小值 等于 12.

。 。

?

2 0

(2 ? 1 ? x )dx =

2

13.如图所示,程序框图输出的值为



14. 已知命题 p :

2? x 2 命题 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) ?1, 2x ?1

若非 p 是非 q 的必要 不充分条件,那么实数 m 的取值范围 是 。 15.已知 a ? (sin x,1) , b ? (cos x, ? ) ,函数

?

?

1 2

? ? ? f ( x) ? a ? (a ? b) ,那么下列四个命题中正确命题的序号是
。 ① f ( x) 是周期函数,其最小正周期为 2? 。 ②当 x ?

?
8

时, f ( x) 有最小值 2 ?

2 。 2

16. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 3log a x ? 2 ? 2 log a x ? 1( a ? 0且a ? 1)

3

17. (本题满分 13 分) 某品牌汽车 4s 店对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如表所示: 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b

已知分 3 期付款的频率为 0.2,4s 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润 为 1 万元,分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元,分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万元, 用 Y 表示经销一辆汽车的利润。 (1)求上表中 a,b 的值 。 (2)若以频率作为概率,求事件 A: “购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有一位采用 3 期付款”的概率 P(A) (3)求 Y 的分布列及数学期望 EY。

18. (本题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,侧面 SAB 是等边三角形,DA ? 面 SAB, DC//AB,AB=2AD=2DC,O,E 分别为 A B、SD 中点。 (1)求证:SO//面 AEC BC ? 面 AEC (2)求二面角 O—SD—B 的余弦值。

4

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? ) ? e ax (a ? 0) (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调区间。 (2)若不等式 f ( x) ?

1 a

3 ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。 a

20. (本题满分 13 分) 如图,直角坐标系 XOY 中,点 F 在 x 轴正半轴上, ?OFG 的面积为 S。且 OF ? FG ? 1 , 设 OF ? c (c ? 2) , S ?

??? ??? ? ?

??? ?

3 c。 4
????

(1)以 O 为中心,F 为焦点的椭圆 E 经过点 G,求点 G 的纵坐标。 (2)在(1)的条件下,当 OG 取最小值时,求椭圆 E 的标准方程。 (3)在(2)的条件下,设点 A、B 分别为椭圆 E 的左、右顶点,点 C 是椭圆的下顶点, 点 P 在椭圆 E 上(与点 A、B 均不重合) ,点 D 在直线 PA 上,若直线 PB 的方程为

??? ??? ? ? y ? kx ? 3 10 ,且 AP ? CD ? 0 ,试求 CD 直线方程。

5

21. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 1 ( x ? )( x ? 0) ,an ?1 ? f (an ) ,对于任意的 n ? N * ,都有 an ?1 ? an 。 2 x

(1)求 a1 的取值范围 (2)若 a1 ?

3 1 * ,证明: an ? 1 ? n ?1 ( n ? N , n ? 2 ) 2 2

(3)在(2)的条件下,证明:

a a1 a2 ? ?? ? n ? n ? 2 ?1 a2 a3 an ?1

6

高三数学答案(理科) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.B

x x(1 ? i) ? ? 1 ? yi 1? i 2

? x ? xi ? 2 ? 2 yi

?x ? 2 y ?1



z ? 2?i

?z ? 2 ?i

?原式 ?

1 2 1 ? ? i z ?i 5 5

2.C 由对称性: P( x ? 2) ? P( x ? 0) ? m

? P(0 ? x ? 2) ? 1 ? P( x ? 0)
4

? P( x ? 2) ? 1 ? m ? m ? 1 ? 2m ,选 C。
4 4 ?4 3 4 4 ?4 6 4 2

3.D

因为 C8 ? ( ) ? (? x ? x ) ? C8 ? x ? ( x 2 ) ? C8 ? x ? x ? C8 ? x ,
4

1 x

4.D

? f ( x) 偶函数

g ( x) 奇函数

? f ( x) .g ( x是奇函数排除; A.B 又当 x 取较 )

大正数时 f ( x) ? 0 , g ( x) ? 0

? f ( x) ? g ( x)? 排除 C 故选 D 0

5.A 该几何体下面是个园柱,上面是个三棱锥,其体积为

1 1 3 v ? ? ?12 ?1 ? ? 3 ? ?1? 2 ? ? ? 3 2 3
6.B ? f (2 ? x) ? f ( x)

选A

? f ( x ? 2) ? f (? x) ? f ( x)

?? ? 2

? f ( x) 在 ? ?3 ? ?2? 上减

?在[-1,0]上减,又偶函数

?在 ? 0.1? 上增

?? , ? 是 钝 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 ? 0 ? ? ? ? ?

?
2

?0 ? ? ?
(cos 选B ? )

?
2

?? ?

?
2

? 0 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? cos ? ? 1 2
7.C

?

? f ( s i ? ?) f n

? a6 ? 2a3 ? 1

? a1 ? 1, d ? 2, an ? 2n ? 1

? Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ?? ? (?1)n?1 ? (2n ? 1)
? S2 k ?1 ? S2 k ? (?1)2 k ?1?1 ? a2 k ?1 ? ?2k ? (?1) 2 k ? a2 k ?1

7

? ?2k ? [2 ? (2k ? 1) ?1] ? ?2k ? 4k ? 1 ? 2k ? 1 ? 35 ?2k ? 34

? k ? 17
1 2 1 2

?最小正整数 K 值为 18,选 C
8.C 化为普通方程:直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ,圆 x ? y ? x ? y ? 0 ,圆心 ( , ? ) ,
2 2

r?

2 1 7 ,圆心到直线距离 d ? ,弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 2 10 5

[来源:Z+xx+k.Com]

9.B

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 阴影部分内的点(x,y)满足 ?0 ? x ? 2 设 P(x,y) , ?0 ? y ? 1 ?
即: x ? 2? , y ? ? 因 此

则 AP ? ( x, y ) ? ? ? (2, 0) ? ? ? (0,1) ? (2? , ? )

??? ?

?? ? ? ? 1 ? 0 ? 作图易知: ? ? 2? ? [1,3] ?0 ? ? ? 1 ?0 ? ? ? 1 ?
10.A
5

选B

用 5 色有 A5 ? 120 种,用 4 色有 2 A5 ? 240 种,用 3 色有 A5 ? 60 种,?共有 420
4 3

种。 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 10 ? 1 A、P、F 三点共线时, AF ?
1

1 p ? 10 ? 1 最小。 2
1 2

12.3

原式=

2 1 2 1 2 ?0 ( x ? 1)dx ? ?1 (3 ? x)x ? ( 2 x ? x) 0 ? (3x ? 2 x ) 1 ? 3

13.12(略) 14. [4, ??) p :

1 1 ? x ? 1 ??p : x ? 或x ? 1 2 2

q : x 2 ? 2 x ?1 ? m ? 0

? ?q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m ? 0

? ( x ? 1)2 ? m ? ?q : x ? ?1 ? m 或 x ? ?1 ? m

1 3 ? ? ? ?1 ? m ? ?? m ? 2?? 2 恒成立 ? m ? 4 。 ? ?p 是 ?g 的必要不充分条件 ? ? ? ?1 ? m ? 1 ? m?2 ? ?
15.②,③,④

?2 ? ? 1 1 1 f ( x) ? a ? a ? b ? sin 2 x ? 1 ? (sin x cos x ? ) ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2

8

2?

2 ? s i n x ? ,而知①错②,③,④均正确。 (2 ) 2 4

三、解答题

?2log a x ? 1 ? 0 ? 16.原不等式同解于: ?3log a x ? 2 ? 0 ? 2 ?3log a x ? 2 ? (2log a x ? 1)
解得:

??????????3 分

2 3 ? log a x ? 或 log a x ? 1 3 4
2 3

????????????????8 分 ????????????????10 分
2

当 a ? 1 时,解为 a 3 ? x ? a 4 或x ? a
3

当 0 ? a ? 1时 17. (1)

解为

a 4 ? x ? a 3 或0 ? x ? a

??????????12 分

a ? 0.2 ? a ? 20 ? 40 ? 20 ? a ? 10 ? b ? 100 100 ?b ? 10 ????????4 分 40 (2) 记分期付款的期数为 x , P( x ? 1) ? 则: ? 0.4 , ( x ? 2) ? 0.2 , ( x ? 3) ? 0.2 P P 100
P( x ? 5) ? 0.1 ,故所求概率

P( x ? 4) ? 0.1

1 P( A) ? 0.83 ? C3 ? 0.2 ? 0.82 ? 0.896 ????8 分

(3)Y 可能取值为 1,1.5,2(万元)

P(Y ? 1) ? P( x ? 1) ? 0.4

P(Y ? 1.5) ? P( x ? 2) ? P( x ? 3) ? 0.4 , P(Y ? 2) ? P( x ? 4) ? P( x ? 5) ? 0.2

?Y 的分布列为:
Y P 1 0.4 1.5 0.4 2 0.2

Y 的数学期望 EY ? 1? 0.4 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.2 ? 1.4(万元) ?????????????? 13 分 18. (1)设 DO,AC 交于点 F,连接 EF,则可得 EF//OS ?SO//面 AEC ???????3 分 又 SO ? 面 ABCD ? SO ? BC ? EF ? BC 又 BC // DO ? BC ? AC ? EF ? AC ? F

? BC ? 面 AEC ??????????????6 分
(2)分别以 OS,OB,OC 为 x 轴,Y 轴,z 轴点的空间直角坐标系,设 AB=2,显然 AC ? 面 SOD,

?? ???? ?面 SOD 的法向量 m ? AC ? (0,1.1)

设面 SBD 的法向量为 n ? (1, x, y )

?

由 n ? SB ,

?

???

9

? ??? ? ? 3 n ? SD 求得: n ? (1, 3, 2 3) ,故所求二面角的余弦值为 6 ????????12 分 8 1 2x 2 2x 19. (1) a ? 2 时, f ( x) ? ( x 2 ? x ? ) ? e 2 x f ?( x) ? e ? (2 x ? 2) ? 2e ? ( x ? 1)( x ? 1) 2
,增区间为( ??, ?1 )和(1, ?? ) ????????????5 ?减区间为(-1,1) 分 (2) f ?( x) ? e ? (ax ? 2)( x ? 1)
ax

令 f ?( x) ? 0 的

x??

2 a

x ?1

?a ? 0

列表

x
? fx
f ( x)

( ??, ? +
[来源:学科网 ZXXK]

2 ) a

?

2 a

(?

2 ,1) a


1 0 极小值

(1, ?? ) +

0 极大值

1 ?当 x ? 1 时, f ( x) 有最小值 f (1) ? ? ea ? 0 a 1 a 3 ? e ? ? 即可 ? ea ? 3 ? a ? ln 3 ?依题意 a a 解得 ????????????12 分 0 ? a ? ln 3 ? 1 ??? 3 1 20. (1)设 G( x0 , y0 ) ? S ? ? OF ? y0 ? c ? c ? y0 2 4 2 ??? ? ? OF ? (c, 0)
科.网]

[来源:学.

y0 ?

3 2

??? ? FG ? ( x0 ? c, y0 ) ( y0 ? 0)
(2)由(1)知

? y0 ?

??? ??? ? ? 1 OF ? FG ? c ? ( x0 ? c) ? 1 ? x0 ? c ? c

3 2

??????????3 分

???? 1 9 2 2 ? OG ? x0 ? y0 ? (c ? ) 2 ? c 4

(c ? 2)

? f (c ) ? c ?

1 c

在[2, ?? ]上递增

?当 c ? 2 时 f (c) 有最小值

2?

1 5 ? 此时 2 2 5 3 5 3 x0 ? y0 ? ? G ( , ) ,由于点 G 在椭圆 E 上,且 c ? 2 2 2 2 2

?可求得

a 2 ? 10, b 2 ? 6

10

方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ????????????8 分 10 6

(3)由(2)知: A(? 10, 0) , B( 10, 0) , C (0, ? 6) ? 直线 BP:y ? kx ? 3 10 经过 点B ?求得 k ? 3 又设 P( x1 , y1 )则 y12 ?

6 (10 ? x12 ) 10

? k AP ? k BP ?

y1 x1 ? 10

?

y1 x1 ? 10

?

y12 x12 ? 10

6 (10 ? x12 ) 6 3 ? 10 2 ?? ?? x1 ? 10 10 5

3 1 3 1 3 1 1 ? k AP ? ? ? ?? ? ?? ? ?? 5 k PB 5 K 5 3 5

??? ??? ? ? ? AP ? CD ? 0

? k AP ? kCD ? ?1

1 ?? ? kCD ? ?1 5

? kCD ? 5
[来源:Zxxk.Com]

又 CD 直线过点 C(0,? 6 )故:所求 CD 方程为: y ? 5 x ? 6 ????????13 分 21. (1) an ?1 ? f (an ) ?
2 1 ? an ?0 an

1 1 (an ? ) 2 an

? an ?1 ? an ?

1 1 ( ? an ) ? 0 恒成立 2 an

?

? an ? 0

? an ? 1 恒成立

故: a1 ? 1 ??????????3 分

(2)? f ( x) ?

1 1 1 1 ( x ? ) ? f ?( x) ? (1 ? 2 ) ?当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 2 x 2 x

?有结论:函数 f ( x) 在(1, ?? )上是单调递增函数。
下面用数学归纳法证明: an ? 1 ? ①当 n ? 2 时,由 a1 ?

1 2n ?1

(n ? N * , n ? 2)

1 1 13 1 3 ? 1 ? 3 成立。 得 a2 ? (a1 ? ) ? 2 a1 12 2 2

1 2k ?1 1 1 1 1 那么当 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? f (ak ) ? f (1 ? k ?1 ) ? (1 ? k ?1 ? ) 1 2 2 2 1 ? k ?1 2 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? k ?1 ? 1 ? k ?1 ) ? (2 ? k ?1 ) ? 1 ? k ? 2 2 2 2 ?1 2 2 2
②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结 论成立。即: ak ? 1 ?

11

这表明当 n ? k ? 1 时不等式也成立,综合①②可知:当 n ? N , n ? 2 时 an ? 1 ?
*

1 成 2n ?1

立???7 分 (3)? an ?1 ?

1 1 2 (an ? ) 且 an ? 0 ? an ? an ?1 ? an ?1 ? 1 2 an

?

an 1 ? 1? 1? 2 an ?1 an ?1

? an ?1 ? an
(2)知:

?

an 1 1 ? 1 ? 1 ? 2 令 g ( x) ? 1 ? 2 则 g ( x) 在 (1, ??) 上递增 an ?1 an x

?由

an 1 1 2 ? 2n ?1 ? 1 2 ? 2n ?1 ? 2 2 1 ?1 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? n ?1 2 n ?1 2 n ?1 1 an ?1 an (2 ? 1) (2 ? 1) 2 ?1 2n (1 ? n ?1 ) 2 2

(n ? 2) 又

a1 5 1 ?1 ? ? a2 13 2

?左边 ? (

a a1 a ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ? ? ( n ? 1) a2 a3 an ?1

2 2 ? [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 2 2 ? ? 2 ? 3 ?? ? n ? 2 ? ( 2 ? 1) ? [1 ? ( ) n ] ? 2 ? 1 ?? 2 2 2 2 2 2 1? 2
??13 分

12


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