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托勒密定理塞瓦定理梅涅劳斯定理西姆松定理

托勒密定理
内容:指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

证明: 在任意凸四边形 ABCD 中(如右图), 作△ABE 使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD, 连接 DE. 则△ABE∽△ACD ∴BE/CD=AB/AC,即 BE·AC=AB·CD (1)

由△ABE∽△ACD 得 AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, ∴△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即 ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又∵BE+ED≥BD ∴AB×CD+AD×BC≥AC×BD

塞瓦定理
在△ABC 内任取一点 O, 直线 AO、 CO 分别交对边于 D、 F, (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 BO、 E、 则
因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1 所以 CD、AE、BF 交于一点

用同一法证 点 D,E,F 分别为三角形 ABC 三边 BC,AC,AB 上的点,若 AF/BF*BD/DC*CE/AE=1,则 AD,BE,CF 三点共线

逆命题证明

证明:设 BE,CF 交与点 O,AO 交 BC 于点 P。 则由赛瓦定理可知,AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。 由已知 AF/BF*BD/DC*CE/AE=1 知,AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。 推出 BP/PC=BD/DC,所以 BD/BC=BP/BC,故 BD=BP。 所以 D 点与 P 点重合。则 AD,BE,CF 三点共线,命题得证。

梅涅劳斯定理
如果一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点,那么 (AF/FB)× (BD/DC)× (CE/EA)=1。 或:设 X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 所在直线 上,则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

西姆松定理
(1)称三角形的垂心为 H。西姆松线和 PH 的交点为线段 PH 的中点, 且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点 P 对应两者的西 姆松线的交角,跟 P 的位置无关。

(4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落 在三角形的外接圆上。 (5)过三角形垂心的任意直线都是三角形的的西姆松线。


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