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江苏省连云港外国语学校2012-2013学年高二数学下学期期末复习试题(6)理 苏教版

连云港外国语学校 2012~2013 学年度高二年级数学理科期末复习 卷(六)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y 1.如果 (1 ? i)n ? R (i 是虚数单位),则正整数 n 的最小值是 . C Y

2. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台, 则不同的取法共有 3. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 4. 在 以 O 为 极 点 的 极 坐 标 系 中 , 直 线 l 与 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 分 别 是

? ? cos(? ? ) ? 3 2 和 ? sin 2 ? ? 8cos? ,直线 l 与曲线 C 交于点 A、B,线段 AB 的长
4
为 5. 从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为
2 2 2 2 6. 若 C3 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? 363, 则自然数 n ?

7.

5555 ? 15 除以 8 余数是
当 n ? 5 时,求 a0 ? a1 ? a2 ?a 3 ?a 4 ? a5 的值为

8.已知: ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1) 3 ? ?? ? an ( x ? 1) n (n ? 2, n ? N ? ) 。

9.在 (1 ? x )(1 ? x) 的展开中, x 的系数是
3 10
5

10.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ? 1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” n ? N ? )时, (
n

从 “ n ? k到n ? k ? 1”时,左边应增添的式子是_________. 11.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点不同色,现有 5 种不同颜色可用,则不同染色方法的总数是 .

? 4 ?1? ? 2 ?1? B = ,B ? ? . ? ,满足AX=B的二阶矩阵X= ? ? ?3 1 ? ? ?4 3 ? 1 13.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? ( )n (n ? 2) , Sn ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ? ? ? an ? 2n , 2
A = 12.已知矩阵A ? ?
类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 3Sn ? an ? 2n?1 = .

14. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如 98765),若把所有的五位渐减数 按从小到大的顺序排列,则第 20 个数为
1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
? x 5? 【 选做题 1】已知矩阵 M ? ? ? 不存在逆矩阵,求实数 x 的值及矩阵 M 的特征值. ?6 6?

1) 0) 【选做题 2】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0, , B(0,? 1) , C (t, , D 3, ,其 0 t

? ?

中 t ? 0 .设直线 AC 与 BD 的交点为 P ,求动点 P 的轨迹的参数方程(以 t 为参数)及普 通方程.

16.(本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 ABC ⊥平面 APC , AB ? BC ? AP ? PC ? 2 , ?ABC ? ?APC ? 90? . P (1)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (2)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角 M-PA-C 的 余弦

A

C

B

17.(本题满分 14 分)
2

已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的二项式系数 和比(3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992。 求 (2 x ?

1 2n ) 的展开式中: x

(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项。

18. (本题满分 16 分) 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? ④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?

19. (本题满分 16 分) 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转 盘面积的 1 , 1 , 1 , 1 .游戏规则如下: 12 4 2 6 ① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分 100 分,40 分,10 分,0 分; ② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分,则按①获得相应的积分, 游戏结束; (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方 法来决定是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一 次的积分不高于 40 分,则最终积分为 0 分,否则最终积分为 100 分,游戏结束.

3

设某人参加该游戏一次所获积分为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望. Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅳ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ

20. (本题满分 16 分) 函数数列 ? f n (x)? 满足: f1 ( x) ? (1)求 f 2 ( x), f 3 ( x) ; (2)猜想 f n (x) 的表达式,并证明你的结论。

x 1? x2

( x ? 0) , f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)]

高二年级数学理科期末复习卷参考答案(六) 命题人:刘希团

2013 年 6 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位 Y 置. 1.如果 (1 ? i) ? R (i 是虚数单位),则正整数 n 的最小值是
n

C Y .4

2. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台,
4

70 则不同的取法共有 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 3. 84 4. 在 以 O 为 极 点 的 极 坐 标 系 中 , 直 线 l 与 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 分 别 是

? ? cos(? ? ) ? 3 2 和 ? sin 2 ? ? 8cos? ,直线 l 与曲线 C 交于点 A、B,线段 AB 的长
4


5. 从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为
2 2 2 2 6. 若 C3 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? 363, 则自然数 n ?

120

13

7.

5555 ? 15 除以 8 余数是

6

8.已知: ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1) 3 ? ?? ? an ( x ? 1) n (n ? 2, n ? N ? ) 当 n ? 5 时,求 a0 ? a1 ? a2 ?a 3 ?a 4 ? a5 的值为 9.在 (1 ? x )(1 ? x) 的展开中, x 的系数是
3 10
5

。 207
n

10.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ? 1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” n ? N ? )时, ( 从 “ n ? k到n ? k ? 1”时,左边应增添的式子是_________.

2k ? 2 k ?1

11.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点不同色,现有 5 种不同颜色可用,则不同染色方法的总数是 .420

A = 12.已知矩阵A ? ?

? 4 ?1? ? 2 ?1? B = ? ,B ? ? ?3 1 ? ,满足AX=B的二阶矩阵X=. ? ? ? ?4 3 ?
?3 ? ?2 1? ?3 ? , ? AX ? B , ? X ? A ?1B ? ? 2 2 ? ? 1? ?2 1? ?9 ? ? 4 ?1? ? ? 2 2 ? ? ?3 1 ? ? ? 1? ? ?5 ? ?1? ? ?1?

由题意得 A ?1 ? ? 2

13.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? ( )n (n ? 2) , Sn ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ? ? ? an ? 2n , 类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 3Sn ? an ? 2n?1 = . n ?1

1 2

14. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如 98765),若把所有的五位渐减数
5

按从小到大的顺序排列,则第 20 个数为

74210

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
? x 5? 【 选做题 1】已知矩阵 M ? ? ? 不存在逆矩阵,求实数 x 的值及矩阵 M 的特征值. ?6 6?

解:由题意,矩阵 M 的行列式

x 5 ? 0 ,解得 x ? 5 , 6 6 f (? ) ?

???4 分

?5 5? 矩阵 M ? ? ? 的特征多项式 ?6 6?

? ? 5 ?5 ? (? ? 5)(? ? 6) ? (?5) ? (?6) ,?8 分 ?6 ? ? 6

令 f (? ) ? 0 并化简得 ? 2 ? 11? ? 0 , 所以矩阵 M 的特征值为 0 和 11.

解得 ? ? 0 或 ? ? 11 , ???10 分

1) 0) 【选做题 2】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0, , B(0,? 1) , C (t, , D 3, ,其 0 t

? ?

中 t ? 0 .设直线 AC 与 BD 的交点为 P ,求动点 P 的轨迹的参数方程(以 t 为参数)及普 通方程. 解:直线 AC 的方程为 x ? y ? 1 , t ①直线 BD 的方程为 x ? y ? 1 ,② ??2 分 3 t

? x ? 6t , ? t2 ? 3 由①②解得,动点 P 的轨迹的参数方程为 ? ( t 为参数,且 t ? 0 ) 分 ,6 2 ? y ? t2 ? 3 t ?3 ?
2 ? t 2 ? 3? ,④ 8 分 36 2 将 x ? 26t 平方得 x2 ? 2 t 2 ,③ 将 y ? t 2 ? 3 平方得 y 2 ? 2 t ?3 t ?3 (t ? 3) ? t 2 ? 3?
2

由③④得, x ? y 2 ? 1( x ? 0) . 3

2

???10 分

(注:普通方程由①②直接消参可得.漏写“ x ? 0 ”扣 1 分. ) 16.(本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 ABC ⊥平面 APC , AB ? BC ? AP ? PC ? 2 ,
6

?ABC ? ?APC ? 90? . (1)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (2)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角 M-PA-C 的
余弦 解:取 AC 中点 O,因为 AB=BC,所以 OB ? OC , ∵平面 ABC ⊥平面 APC 平面 ABC ? 平面 APC =AC, ∴ OB ? 平面 PAC ∴ OB ? OP ??????????1′ 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为 AB=BC=PA= 2 ,所以 OB=OC=OP=1 从而 O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0), C(0,1,0),P(0,0,1), ????????2′ ∴ BC ? (?1,0,1), PB ? (1,0,?1), AP ? (0,1,1) 设平面 PBC 的法向量 n1 ? ( x, y, z) , 由 BC ? n1 ? 0, PB ? n1 ? 0 得方程组

P

A

C

B

z

P

?? x ? y ? 0 ,取 ? ?x ? z ? 0

A

O

C

y

B

n1 ? (1,1,1) ??????????3′
∴ cos ? AP, n1 ??

x

AP ? n1 AP n1

?

6 3
6 。??????????4′ 3

∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

(2)由题意平面 PAC 的法向量 n2 ? (1,0,0) ,??????????5′ 设平面 PAM 的法向量为 n3 ? ( x, y, z ), M (m, n,0) ∵ AP ? (0,1,1), AM ? (m, n ? 1,0) 又因为 AP ? n3 ? 0, AM ? n3 ? 0

7

∴?

?y ? z ? 0 n ?1 ,?1,1) ,??????????7′ 取 n3 ? ( m ?m x ? (m ? 1) y ? 0
n2 ? n3 n2 n3 n ?1 m ? n ? 1? ? ? ?2 ? m ?
2

∴ cos ? n2 , n3 ??

?

?

3 11 11

? n ? 1? ∴? ? ?9 ? m ?
∴ n ? 1 ? 3m 或 n ? 1 ? ?3m (舍去) ∴B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d ? 17.(本题满分 14 分) 已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的二项式系数 和比(3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992。 求 (2 x ?

2

10 。??????????10′ 5

1 2n ) 的展开式中: x

(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项。 解:由题意 2 (1) ( 2 x ?
2n

? 2 n ? 992, 解得n ? 5

1 10 ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x 1 5 5 5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2 x) ? (? ) ? ?8064 x

(2)设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,

1 r r 则Tr ?1 ? C10 ? (2 x)10? r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10? 2 r x r ?1 10 ? r ?1 r r ? r 10? r ?C10 ? 2C10?1 ?11 ? r ? 2r ?C10 ? 2 ? C10 ? 2 ? ? ? r 10? r ,得? r ,即 ? r ?1 10 ? r ?1 r ?1 ?C10 ? 2 ? C10 ? 2 ?2C10 ? C10 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ? ? 8 11 ? ? r ? ,? r ? 3, 故系数的绝对值最大的是第4项 3 3 1 3 即T4 ? C10 (2 x)7 (? )3 ? ?15360x 4 x
18. (本题满分 14 分) 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:
8

①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? ④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?
3 解 :①分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 C 4 种情况;第二步在 5 个奇数中取

4 7 4 个,可有 C 5 种情况;第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A7 种情况,所

3 4 7 以符合题意的七位数有 C 4 C 5 A7 ? 100800个. 3 4 5 3 ②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C 4 C5 A5 A3 ? 14400

③上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有
3 4 5 3 2 2 C 4 C5 C5 A3 A4 A2 ? 5760个.

④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插
4 3 3 入 5 个空档,共有 A5 C 4 A5 ? 28800个。

19. (本题满分 16 分) 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转 盘面积的 1 , 1 , 1 , 1 .游戏规则如下: 12 4 2 6 ① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分 100 分,40 分,10 分,0 分; ② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分,则按①获得相应的积分, 游戏结束; (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方 法来决定是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一 次的积分不高于 40 分,则最终积分为 0 分,否则最终积分为 100 分,游戏结束. 设某人参加该游戏一次所获积分为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望. 解: (1)事件“ ? ? 0 ”包含: “首次积分为 0 分”和“首次积分为 Ⅱ Ⅲ Ⅰ
9



Ⅰ Ⅲ Ⅱ Ⅳ

40 分 后再转一次的积分不高于 40 分”,且两者互斥, 所以 P(? ? 0) ? 1 ? 1 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 83 ; 2 6 2 12 144 (2) ? 的所有可能取值为 0,10,40,100, 由(1)知 P(? ? 0) ? 83 , 144
P 又 P(? ? 10) ? 1 , (? ? 40) ? 1 ? 1 ? 1 , P(? ? 100) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 13 , 4 6 2 12 12 6 2 12 144

???4 分

所以 ? 的概率分布为:

?
0 0

1 0
1 4

4 00
1 12

1

P

83 144

13 144

因此, E (? ) ? 0 ? 83 ? 10 ? 1 ? 40 ? 1 ? 100 ? 13 ? 535 (分) ??10 分 . 144 4 12 144 36 20. (本题满分 16 分) 函数数列 ? f n (x)? 满足: f1 ( x) ? (1)求 f 2 ( x), f 3 ( x) ; (2)猜想 f n (x) 的表达式,并证明你的结论。 解:⑴ f 2 ( x) ? f 1 ( f 1 ( x)) ?

x 1? x2

( x ? 0) , f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)]

f1 ( x) 1 ? f 12 ( x)

?

x 1 ? 2x 2 ? x 1 ? 3x 2

f 3 ( x) ? f 1 ( f 2 ( x)) ?

f 2 ( x) 1 ? f 22 ( x)

⑵猜想: f n ( x) ?

x 1 ? nx
2

(n ? N ? )

下面用数学归纳法证明:

10

① 当 n=1 时, f1 ( x) ?

x 1? x2

,已知,显然成立

② ②假设当 n ? K ( K ? N ? ) 时 ,猜想成立,即 f k ( x) ? 则当 n ? K ? 1 时,

x 1 ? kx 2

x f k ?1 ( x) ? f1 ( f k ( x)) ? f k ( x) 1 ? f k2 ( x) ? x 1 ? kx 2 ? x 1 ? (k ? 1) x 2 1? ( )2 1 ? kx 2

即对 n ? K ? 1 时,猜想也成立。 结合①②可知:猜想 f n ( x) ?

x 1 ? nx
2

对一切 n ? N 都成立。

?

11


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