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海南省三亚市第一中学2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题A新人教A版


海南省三亚市第一中学 2013-2014 学年高一数学上学期期末考试试题 A 新人教 A 版
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后,请用 2B 铅笔 把机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其他答案标号,在本卷上作答无效。 )

1 1.函数 f(x)= x ? ( ) 2
1 2

x

的零点个数是(

)A.0

B.1

C.2

D.3 )

2.如图是一个几何体的正视图、 侧视图、 俯视图, 且正视图和侧视图都是矩形, 则该几何体的体积是 ( 3 4 2

正视图

侧视图

俯视图 A.12 B.24 C.8 D.4 3.设一个球的表面积为

S

1

,它的内接正方体的表面积为

S

2





S S

1 2

的值等于( )A.

2

?

B.

6

?

C.

? 6

D.

? 2

5.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β =l,点 A ? α ,A ? l,直线 AB∥l, 直线 AC⊥l, 直线 m∥平面α , 直线 m∥平面β ,则下列四种关系中不一定成立的是( )
1

A.直线 AB∥m B.直线 AC⊥m C.直线 AB∥平面β

D.直线 AC⊥平面β

6.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别相交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点坐标为(1,-1) ,则直线 l 的斜率为 ( 7 ) A

1 1 3 B C.3 3 2

D

2 3

直线 l 过点(-1,2) ,且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是() A.3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0

8.A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标是 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0 则直线 PB 的方程是( A. 2x–y-1=0 ) D. 2 y–x -4=0

B x + y -5=0 C. 2x + y -7=0

9.已知点 P(2,-1),求过点 P 且与原点的距离等于 2 的直线 l 的方程是( ) A.y=2 或 4x–3y+2=0 B.3 x-4 y -10=0 C.x =2 或 3 x-4 y -10=0 D. x =2 10 将一张坐标纸折叠一次, 使得点 (0,2) 与点 (4,0) 重合, 点 (7,3) 与点 (m,n) 重合,则 m + n =( A.

)

34 5
A.

B

10

C.

36 7
2

D 5 )

11.圆心在直线 y= - 4x 上,且与直线 l: x + y -1=0 相切于点 P(3,-2)的圆的方程是(

( x ?1) ? ( y ? 4) ? 8 C. ( x ?1 ) ? ( y ?3) ? 5
2

2

2

( x ?3) ? ( y ?1) D. ( x ?1 ) ? ( y ?5)
B.
2

2

?9

2

2

? 16

12. 已知点 P 是圆

x ?y
2 2

2

? 16 上的一个动点,点 A(12,0)是 x 轴上的一个定点,当点 P 在圆上运动时,

线段 PA 的中点 M 的轨迹方程是()A B.

( x?4) ? ( y ?4)
2 2

2

?8
2 2

( x ?6) ? y
2

? 4 C.

x ? ( y ?3)
2

?5

D.

( x ?12) ? ( y ?6)

? 16

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中的指定位置。 ) 13.已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)- f(x)=2 x,则 f(x)的解析式是 14.如图,扇形所含的中心角是 积 .

90

o

,弦 AB 将扇形分成两个部分,各以 AO 为轴旋转一周所得的旋转体体 A

V

1



V

2

的比是=

. B O 第 14 题图

15.与直线 2x - y+4=0 关于 x 轴对称的直线方程是____

16.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米的地区为危险区,城市 B 在 A 地正东 40 千米处,则城市 B 处在危险区 内的时间是 .

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请将答案的过程 写在答题卷中指定的位置。 ) 17.(本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD 的边长为 4,E,F 分别是 AB,AD 的中点, GC⊥平面 ABCD, GC=2,求三棱锥 B-EFG 的高.

18、如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AB,SC 的中点, 求证:EF//平面 SAD S G 第 18 题 图 F D C F
D

第 17 题图 E

D

C

A

B

A

E

B
O

19. (本题满分 12 分)如图三棱柱 明:

AB? A C
1

ABC ? A B C 中,CA=CB, AB? AA , ?BA A ? 60
1 1 1
1
1

, 证

C

1

B

1

A
A C

A

1

B 第 19 题图 A

20. (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC⊥底面 ABCD, ?ABC ?

45

O

, SA=SB, 证明:SA⊥BC

S

C A

B 第 20 题图

D

21.(本小题满分 12 分)已知直线 l:y=kx+1,圆 C:

( x ?1) ? ( y ?1)
2

2

?? 12
3

(1)证明:不论 k 取任何实数,直线 l 与圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l:y=kx+1 恒过的定点; (3)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长。

22.(本小题满分 10 分)已知圆 和圆

C x y
: 1
2

?

2

? 10x ? 10y ? 0

C x ?y
: 2
2

2

? 6 x ? 2 y ? 40 ? 0 相交于 A、B 两点,求公共弦 AB 的长。

4

三亚市第一中学 2013-2014 学年度第一学期 高一年级期末考试数学(A)科参考答案 命题人:吉家东 审题人:徐良波 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 D 6 B 7 A 8 B 9 C 10 A 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, (13) (15) 提示:

f ( x) ?
2x+y+4=0

x

2

? x ?1
(16)1 小时

(14)

1 : 1

2、几何体是长方体挖去一个三棱柱后的部分, 2 ? 3 ? 4 ?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 12 2

3 设内接正方体的边长是 a,则

r

2

?

3a 4

2

?S S

1 2

?

4? r 6a

2

2

?

?
2

5 C 不一定在α 内,可以在β 内 6 P(a,1),Q(7,b) ?

?a ? 7 ? 2 ?b ? 1 ? ?2

a= -5,b= -3 P(-5,1),Q(7,-3) 得 PQ 的斜率。

8 把 P 的 x=2 代入 x-y+1=0 得 y=3 ∴P(2,3),y=0 时,x= -1 A(-1,0) 关于 x=2 的 对称点是 B(5,0) ,求得 PB 的直线方程是 x+y-5=0 10 坐标纸折叠一次的折痕是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线,即 y =2x-3,它也是点(7,3)与点

3 7?m ? ?3 ? n ? 2? ? 3 ?m ? ? 34 ? 2 ? 5 2 ?? ? m?n ? (m,n)连线的垂直平分线 ? 5 ? n?3 ? ?1 ?n ? 31 ? ? 2 5 ?m ? 7 ?
? 4a ? 2 ? 1 (斜率关系) 得 a=1 所以圆心是(1,-4) ,r= 2 2 a?3 1 3 14 Rt △AOB 绕 AO 旋转一周形成圆锥体积为V 1 = ? R ,扇形绕 AO 旋转一周形成半球面,其围成的半球 3 2 2 1 1 3 3 3 3 的体积为 V ? ? R , V 2 ? V ?V 1 ? ? R ? ? R ? ? R 3 3 3 3
11 设圆心为(a,-4a), 所以 16

V :V
1

2

? 1:1
B(40,0) r=30 圆 B

建立坐标系,A(0,0)

( x?40) ? y ? 30
2 2

2

台风中心移到圆 B 内时,B 城处于危险,台风移动所在直线是 y=x,交圆 B 于 M,N 得 |MN|=20 所以

| MN | 20 ? ? 1 ,所以 B 城处于危险的时间是 1 小时 20 20

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分。 )
5

G

D F A 17.(本题满分 12 分) H E O B

C

第 17 题图

解:连接 AC,BD,交于 O,AC 与 EF 交于 H, 连接 F,B ∵正方形 ABCD 的边长为 4,E,F 分别是 AB,AD 的中点∴

3 AC=3 2 ∵ GC⊥平面 ABCD, GC=2 4 1 1 1 1 1 4 ∴V G?EFB = S ?EFB ? GC ? ? ? BE ? AF ? GC ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3 2 3 又 AC⊥BD, EF//BD ∴EF⊥AC,又 EF⊥GC,AC∩ GC=C,得 EF⊥平面 GHC, GH ? 平面 GHC
EF//BD,EF=2 2 HC= ∴EF⊥GH 求得 GH= 22 设 B 到平面 EFG 的距离为 h,由

V

B? EFG

? V G?EFB 得

1 1 4 ? ? 2 2 ? 22 ? h ? 3 2 3
答:三棱锥 B-EFG 的高是

解得

h?

2 11 11

2 11 11

18. (本题满分 12 分) 证明:作 FG//CD 交 SD 于 G 连接 AG, 证明 FG 与 AE 平行且相等,得到四边形 AEFG 是平行四边形, ∴EF//AG,又 AG ? 平面 SAD, EF ? 平面 SAD ∴EF//平面 SAD S F G D C 第 18 题图

A

E

B

6

C

1

A
C

B

1

1

B O A 19. (本题满分 12 分) 证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,O
1

第 19 题图

A , A B, ∵CA=CB, ∴OC⊥AB,又 AB? AA , ?BA A ? 60 , ∴△A A B 是等边三角形, ∴O A ⊥AB, ∵OC∩ O A =O, ∴AB⊥平面 O A C, A C ? 平面 O A C∴ AB? A C
1 1
O 1

1

1

1

1

1

1

1

20.(本小题满分 12 分) S

C

O

B 第 20 题图

D

A

证明:作 SO⊥BC,垂足是 O,连接 AO,SO, 底面 ABCD 为平行四边形, ∵侧面 SBC⊥底面 ABCD, 侧面 SBC∩底面 ABCD=BC, ∴SO⊥底面 ABCD ∴SO⊥OA,SO⊥OB,又 SA=SB, ∴OA =OB, 又 ?ABC ? ∵BC⊥SO, BC⊥AO, SO∩ AO=O, ∴BC⊥平面 SOA, SA ? 平面 SOA ∴SA⊥BC

45

O

, ∴OA⊥OB,


7

t k ? 4k ? (t ? 3) ? 0 ,t=0 时,k= -

2

3 4

t ≠0 时, 判别式 16-4t(t-3)≥0,得-1≤t≤4 且 t ≠0 t 的最大值是 4,所以|AB|=2 11? 4 =2 7 方法 2: (1)直线 y=kx+1 的定点(0,1)在圆内,所以,不论 k 取任何实数,直线 l 与圆 C 总有两个交点 (2)直线 y=kx+1 的定点(0,1) (3)过圆内定点 P(0,1)的弦,只有和 PC(C 是圆心)垂直时才最短,定点 P(0,1)是 弦|AB|的中点,由勾股定理得,|AB|=2 12 ? 5 =2 7 答:直线 l 被圆 C 截得的最短弦长是 2 7 22.(本题满分 10 分) 解:方法 1:求得两个圆的交点是 A(-2,6),B(4,-2), 方法 2: 又A

|AB|=10

C

1

(5,5)

r

2

=5 2 圆心距是 10

C BC
1

2

是正方形可得|AB|=10

方法 3:|AB|=2|AD|=10

8


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