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邹城市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

邹城市第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4=5S2,则 A.﹣2 或﹣1B.1 或 2 C.±2 或﹣1 D.±1 或 2 ) B.?x>0,都有 x2﹣x≤0 D.?x≤0,使得 x2﹣x>0 ) 的值为( )

姓名__________

分数__________

2. 命题:“?x>0,都有 x2﹣x≥0”的否定是( A.?x≤0,都有 x ﹣x>0 C.?x>0,使得 x2﹣x<0 3. 下列命题的说法错误的是(
2

A.若复合命题 p∧q 为假命题,则 p,q 都是假命题 B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.对于命题 p:? x∈R,x2+x+1>0 则¬p:? x∈R,x2+x+1≤0 D.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”

4.如图, AB=6, AC=4 在△ ABC 中,

A=45°, O 为△ ABC 的外心, , 则

?

等于 (



A.﹣2 B.﹣1 C.1 A.0.1 A.8 B.0.2 B.1 C.0.4 C.5

D.2 ) D.0.6 ) D.﹣1

5. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),P(0<X<4)=0.8,则 P(X>4)的值等于( 6. 已知函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=2,则 a 的值等于(

7. 若偶函数 y=f(x),x∈R,满足 f(x+2)=﹣f(x),且 x∈[0,2]时,f(x)=1﹣ x,则方程 f(x)=log8|x| 在[﹣10,10]内的根的个数为( A.12 A.4 B.10
2

) ) )

C.9

D.8
x

8. 函数 y ? (a ? 4a ? 4)a 是指数函数,则的值是( B.1 或 3 C.3 D.1

9. 函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)

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10.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( A. B. C. D. ) D.4 ) )

?1 ? x 2 , x ? 1, 3 1 11.若函数 f ( x) ? ? 则函数 y ? f ( x) ? x ? 的零点个数为( 3 2 ?ln x, x ? 1,
A.1 A.﹣16 B.14 B.2
n

C.3 C.28 D.30

12.数列﹣1,4,﹣7,10,…,(﹣1) (3n﹣2)的前 n 项和为 Sn,则 S11+S20=(

二、填空题
13.如图所示 2×2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、3 中的任何一个,允许重复.若填 入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共有 A B C D 14.设复数 z 满足 z(2﹣3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为 16.函数 f(x)=a +4 的图象恒过定点 P,则 P 点坐标是
x

种(用数字作答).

. . .

15.设全集 U=R,集合 M={x|2a﹣1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},若 N? M,则实数 a 的取值范围是 . 17.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根,则 S6=

18.对于映射 f:A→B,若 A 中的不同元素有不同的象,且 B 中的每一个元素都有原象,则称 f:A→B 为一 一映射,若存在对应关系 Φ,使 A 到 B 成为一一映射,则称 A 到 B 具有相同的势,给出下列命题: ①A 是奇数集,B 是偶数集,则 A 和 B 具有相同的势; ②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合,B 是复数集,则 A 和 B 不具有相同的势; ③若区间 A=(﹣1,1),B=R,则 A 和 B 具有相同的势. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题
19.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, E , F , G, H 分别是 AB, AC, PC, BC 的中点,且

PA ? PB, AC ? BC .

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(1)证明: AB ? PC ; (2)证明:平面 PAB 平面 FGH .

20.已知椭圆 x2+4y2=4,直线 l:y=x+m (1)若 l 与椭圆有一个公共点,求 m 的值; (2)若 l 与椭圆相交于 P、Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值.

21.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 恒成立,求 k 的取值范围.

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22.已知 P(m,n)是函授 f(x)=ex﹣1 图象上任一于点 (Ⅰ)若点 P 关于直线 y=x﹣1 的对称点为 Q(x,y),求 Q 点坐标满足的函数关系式 (Ⅱ)已知点 M(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= y=h(x)图象上时,公式变为 =|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln(t﹣1)|,(s∈R,t>0)的最小值. ,当点 M 在函数 ,请参考该公式求出函数 ω (s,t)

23. 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ1=4 及属于特征值 4 的一个特征向量 ﹣1 的一个特征向量 (Ⅰ)求矩阵 M;
5 (Ⅱ)求 M

=

并有特征值 λ2=﹣1 及属于特征值

=



=



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24.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面 PAB⊥平面 ABCD, (Ⅰ)求证:平面 PED⊥平面 PAC; (Ⅱ)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ,求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值.

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邹城市第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由题设知 a1≠0,当 q=1 时,S4=4a1≠10a1=5S2;q=1 不成立. 当 q≠1 时,Sn= ,

4 2 2 2 由 S4=5S2 得 1﹣q =5(1﹣q ),(q ﹣4)(q ﹣1)=0,(q﹣2)(q+2)(q﹣1)(q+1)=0,

解得 q=﹣1 或 q=﹣2,或 q=2. = =q, =﹣1 或 =±2.



故选:C. 【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用,利用条件求出等比数列的通项公式,以及对数 的运算法则是解决本题的关键. 2. 【答案】C 【解析】解:命题是全称命题,则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是: ?x>0,使得 x ﹣x<0, 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定,比较基础. 3. 【答案】A 【解析】解:A.复合命题 p∧q 为假命题,则 p,q 至少有一个命题为假命题,因此不正确; B.由 x2﹣3x+2=0,解得 x=1,2,因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,正确; C.对于命题 p:?x∈R,x2+x+1>0 则¬p:?x∈R,x2+x+1≤0,正确; D.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”,正确. 故选:A. 4. 【答案】A 【解析】解:结合向量数量积的几何意义及点 O 在线段 AB,AC 上的射影为相应线段的中点,
2

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可得 ﹣2; 故选 A.



,则

?

=

=16﹣18=

【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则,属于中档题 5. 【答案】A 【解析】解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,o ), ∴正态曲线的对称轴是 x=2 P(0<X<4)=0.8, ∴P(X>4)= (1﹣0.8)=0.1, 故选 A. 6. 【答案】B 【解析】解:∵函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=2,令 3x+2=2,解得 x=0, ∴a=2×0+1=1. 故选:B. 7. 【答案】D 【解析】解:∵函数 y=f(x)为 偶函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x), ∴偶函数 y=f(x) 为周期为 4 的函数, 由 x∈[0,2]时, f(x)=1﹣ x,可作出函数 f(x)在[﹣10,10]的图象, 同时作出函数 f(x)=log8|x|在[﹣10,10]的图象,交点个数即为所求. 数形结合可得交点个为 8, 故选:D.
2

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8. 【答案】C 【解析】

考点:指数函数的概念. 9. 【答案】B 【解析】解:∵f(1)= ﹣3<0,f(2)= ﹣ =2﹣ >0,

∴函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是(1,2), 故选:B. 10.【答案】C 【解析】解:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3, 4),(1,3,5),(1,4,5)(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共 10 种, 其中只有(3,4,5)为勾股数, 故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 故选:C 11.【答案】D 【 解 析 】 .

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考点:函数的零点. 【易错点睛】函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令 f ( x) ? 0 ,如果能求出解,则有几个解就有几 个零点.(2)零点存在性定理法:要求函数在 [ a, b] 上是连续的曲线,且 f (a) f (b) ? 0 .还必须结合函数的图 象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法:先把所求函数分解为两个简单函数,再画 两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 12.【答案】B 【解析】解:∵an=(﹣1) (3n﹣2), ∴S11=( =﹣16, S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) =﹣(1+7+…+55)+(4+10+…+58) =﹣ =30, ∴S11+S20=﹣16+30=14. 故选:B. 【点评】本题考查数列求和,是中档题,解题时要认真审题,注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用. + )+(a2+a4+a6+a8+a10) =﹣(1+7+13+19+25+31)+(4+10+16+22+28)
n

二、填空题
13.【答案】 27

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2 【解析】解:若 A 方格填 3,则排法有 2×3 =18 种, 2 若 A 方格填 2,则排法有 1×3 =9 种,

根据分类计数原理,所以不同的填法有 18+9=27 种. 故答案为:27. 【点评】本题考查了分类计数原理,如何分类是关键,属于基础题. 14.【答案】 2 .

【解析】解:∵复数 z 满足 z(2﹣3i)=6+4i(i 为虚数单位), ∴z= ,∴|z|= = =2,

故答案为:2. 【点评】本题主要考查复数的模的定义,复数求模的方法,利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的 模,属于基础题. 15.【答案】 [ ,1] . 【解析】解:∵全集 U=R,集合 M={x|2a﹣1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},N?M, ∴2a﹣1≤1 且 4a≥2,解得 2≥a≥ ,故实数 a 的取值范围是[ ,1], 故答案为[ ,1]. 16.【答案】 (0,5) . 【解析】解:∵y=ax 的图象恒过定点(0,1), 而 f(x)=ax+4 的图象是把 y=ax 的图象向上平移 4 个单位得到的, ∴函数 f(x)=ax+4 的图象恒过定点 P(0,5), 故答案为:(0,5). 【点评】本题考查指数函数的性质,考查了函数图象的平移变换,是基础题. 17.【答案】63 【解析】解:解方程 x2﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4. 因为数列{an}是递增数列,且 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根, 所以 a1=1,a3=4.

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设等比数列{an}的公比为 q,则 则 故答案为 63.

,所以 q=2. .

【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题. 18.【答案】 ①③ .

【解析】解:根据一一映射的定义,集合 A={奇数}→B={偶数},不妨给出对应法则加 1.则 A→B 是一一映 射,故①正确; 对②设 Z 点的坐标(a,b),则 Z 点对应复数 a+bi,a、b∈R,复合一一映射的定义,故②不正确; 对③,给出对应法则 y=tan ③正确. 故选:①③ 【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查一一映射的定义,属于基础题型,考查考生对新定义题的理解与 应用能力. x,对于 A,B 两集合可形成 f:A→B 的一一映射,则 A、B 具有相同的势;∴

三、解答题
19.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】

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考 点:平面与平面平行的判定;空间中直线与直线的位置关系. 20.【答案】 【解析】解:(1)把直线 y=x+m 代入椭圆方程得:x2+4(x+m)2=4,即:5x2+8mx+4m2﹣4=0, △=(8m)2﹣4×5×(4m2﹣4)=﹣16m2+80=0 解得:m= . (2)设该直线与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是方程 5x2+8mx+4m2﹣4=0 的两根, 由韦达定理可得:x1+x2=﹣ ∴ |AB|= =2; ,x1?x2= = , =

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∴m=±



【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题,难点在于弦长公式的灵活应用,属于中档题. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由|ax+1|≤3 得﹣4≤ax≤2 ∵不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. ∴当 a≤0 时,不合题意; 当 a>0 时, ∴a=2; (Ⅱ)记 , ,

∴h(x)=

∴|h(x)|≤1 ∵ ∴k≥1. 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查恒成立问题,将绝对值符号化去是关键,属于中档题. 22.【答案】 【解析】解:(1)因为点 P,Q 关于直线 y=x﹣1 对称,所以 . 恒成立,

解得

.又 n=e

m﹣1 ,所以

x=1﹣e(y+1)﹣1,即 y=ln(x﹣1).

x 1 (2)ω (s,t)=|s﹣e ﹣ ﹣1|+|t﹣ln(t﹣1)﹣1|

= ,

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令 u(s) = . 则 u(s),v(t)分别表示函数 y=e 由(1)知,umin(s)=vmin(t). 而 f′(x)=e 故
x﹣1 ,令 x﹣1 ,y=ln(t﹣1)图象上点到直线

x﹣y﹣1=0 的距离.

f′(s)=1 得 s=1,所以 umin(s)=

. .

【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题,同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离, 然后再利用函数的思想求解.体现了解析几何与函数思想的结合. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设 M= 则 又 =4 = =(﹣1) ,∴ = ① ,∴ ; ②

由①②可得 a=1,b=2,c=3,d=2,∴M= (Ⅱ)易知
5 ∴M

=0?

+(﹣1) = .



=(﹣1)6

【点评】本题考查矩阵的运算法则,考查学生的计算能力,比较基础. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,AB⊥PA ∴PA⊥平面 ABCD 结合 AB⊥AD,可得 分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 o﹣xyz,如图所示… 可得 A(0,0,0)D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0), P(0,0,λ ) ∴ (λ >0) , ,

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得 ∴DE⊥AC 且 DE⊥AP,





∵AC、AP 是平面 PAC 内的相交直线,∴ED⊥平面 PAC. ∵ED?平面 PED∴平面 PED⊥平面 PAC (Ⅱ)由(Ⅰ)得平面 PAC 的一个法向量是 设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 θ , 则 得 λ = ±2 ∵λ >0,∴λ =2,可得 P 的坐标为(0,0,2) 设平面 PCD 的一个法向量为 =(x0,y0,z0), , , 解之 ,





,得到 =(1,﹣1,﹣1)



令 x0=1,可得 y0=z0=﹣1,得 ∴cos< ,

由图形可得二面角 A﹣PC﹣D 的平面角是锐角, ∴二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值为 .

【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直,并且在线面所成角的正弦情况下求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.着 重考查了线面垂直、 面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法, 属于中 档题.

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