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无极县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

无极县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为( )

姓名__________

分数__________

A.1

B.

C. ) B.

D.

2. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 M(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之 和的最小值为( A.3

C.

D. )

3. 如图, 网格纸上正方形小格的边长为 1, 图中粗线画出的是某几何体的三视图, 则几何体的体积为 ( A.

1 6

B.

1 3

C. 1

D.

4 3

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10

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8

6

4

2

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图,几何体的体积等基础知识,意在考查学生空间想象能力和计算能 力.
2 5 10 15

4. 若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

z1 在复平面内对应的点在( z2



4

D.第四象限 )

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力.
6

5. 已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( A.m?α,n∥m?n∥α B.m?α,n⊥m?n⊥α D.n?β,n⊥α?α⊥β ) C. D. C.m?α,n?β,m∥n?α∥β 6. 双曲线 A.

8

10

的渐近线方程是( B.

7. 如果对定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 m ? n ,均有 mf (m) ? nf (n) ? mf (n) ? nf (m) ? 0 成立,则称 函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ①

f ( x) ? ln 2x ? 5 ;② f ( x) ? ? x3 ? 4x ? 3;③ f ( x) ? 2 2x ? 2(sin x ? cosx) ;④


?ln | x |, x ? 0 .其中函数是“ H 函数”的个数为( f ( x) ? ? ?0 , x ? 0
A.1 B.2 C.3 D. 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要 有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大. 8. 已知 A,B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点,且| A.﹣1 B.1 C.﹣ D. |= ,则 ? =( )

9. 已知函数 f(x)=x4cosx+mx2+x(m∈R),若导函数 f′(x)在区间[﹣2,2]上有最大值 10,则导函数 f′ (x)在区间[﹣2,2]上的最小值为( )

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A.﹣12 B.﹣10 C.﹣8 D.﹣6 10.一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形,那么原四边形的面积是 ( A.2+ 11.以 A. C. B. D. ) B.1+ C. D. 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )

12.已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,M 是它们的一个公共点,且∠F1MF2= 心率的倒数之和的最大值为( A.2 B. C. D.4 )

,则椭圆和双曲线的离

二、填空题
13.计算 sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 14.函数 y=sin x﹣2sinx 的值域是 y∈
2 2
2

. .

15.自圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 外一点 P( x, y ) 引该圆的一条切线,切点为 Q ,切线的长度等于点 P 到 原点 O 的长,则 PQ 的最小值为( A. ) D.

13 10

B.3

C.4

21 10

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解 能力、数形结合的思想.
2 16.已知函数 f ( x ) ? 3( x ? 2) ? 5 ,且 | x1 ? 2 |?| x2 ? 2 | ,则 f ( x1 ) , f ( x2 ) 的大小关系


x

. .
2

17.曲线 y=x+e 在点 A(0,1)处的切线方程是 的重心到准线距离为 .

18. M, N 是该抛物线上两点, |MF|+|NF|=6, M, N, F 三点不共线, 已知点 F 是抛物线 y =4x 的焦点, 则△ MNF

三、解答题
19.定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),则

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(1)求 f(0); (2)证明:f(x)为奇函数;
x x x (3)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,已知

A ? (cos B ? 3 sin B ) cos C ? 1 . 2 (I)求角 C 的值; 2 cos 2
(II)若 b = 2 ,且 ?ABC 的面积取值范围为 [

3 , 3] ,求 c 的取值范围. 2

【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,意在考查基本运算能力.

21.如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交于点. (1)求 BD 长; (2)当 CE⊥OD 时,求证:AO=AD.

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22.在△ABC 中,cos2A﹣3cos(B+C)﹣1=0. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的外接圆半径为 1,试求该三角形面积的最大值.

23.现有 5 名男生和 3 名女生. (1)若 3 名女生必须相邻排在一起,则这 8 人站成一排,共有多少种不同的排法? (2)若从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,站成一排,共有多少种不同的排法?

24.已知函数 f(x)=x|x﹣m|,x∈R.且 f(4)=0 (1)求实数 m 的值. (2)作出函数 f(x)的图象,并根据图象写出 f(x)的单调区间 (3)若方程 f(x)=k 有三个实数解,求实数 k 的取值范围.

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无极县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 C

【解析】解:第一次循环 第四次循环得到的结果 …

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

所以 S 是以 4 为周期的,而由框图知当 k=2011 时输出 S ∵2011=502×4+3 所以输出的 S 是 故选 C 2. 【答案】B 【解析】解:依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛物线的焦点为 F, 则 F( ,0), 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|, 则点 P 到点 M(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和, d=|PF|+|PM|≥|MF|= = . .

即有当 M,P,F 三点共线时,取得最小值,为 故选:B.

【点评】本题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归,数形结合等数学思 想. 3. 【答案】D 【 解 析 】

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4. 【答案】B 【 解 析 】

5. 【答案】D 【解析】解:在 A 选项中,可能有 n?α,故 A 错误; 在 B 选项中,可能有 n?α,故 B 错误; 在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误; 在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 6. 【答案】B 【解析】解:∵双曲线标准方程为 其渐近线方程是 整理得 y=± x. 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.属于基础题. =0, ,

7. 【答案】 B

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第 8. 【答案】B 【解析】解:由 A,B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点,且| 即有| 则 即有 , ? | +|
2

|=



| =|

2

|,

2

可得△OAB 为等腰直角三角形, 的夹角为 45°, =| |?| |?cos45°=1× × =1.

故选:B. 【点评】本题考查向量的数量积的定义,运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键. 9. 【答案】C
3 4 【解析】解:由已知得 f′(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx+1, 3 4 令 g(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx 是奇函数,

由 f′(x)的最大值为 10 知:g(x)的最大值为 9,最小值为﹣9, 从而 f′(x)的最小值为﹣9+1=﹣8. 故选 C. 【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质.属于常规题,难度不大. 10.【答案】A 【解析】解:∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形, ∴原四边形为直角梯形, 且 CD=C'D'=1,AB=O'B= ∴直角梯形 ABCD 的面积为 ,高 AD=20'D'=2, ,

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故选:A.

11.【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣4)和(0,4). ∴椭圆的焦点坐标是为(0,﹣2 ∴椭圆方程为 故选 D. 【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质. 12.【答案】 C 【解析】解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1,(a>a1),半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1MF2= , ,① . )和(0,2 ),顶点为(0,﹣4)和(0,4). 的顶点为(0,﹣2 )和(0,2 ),焦点为(0,

2 2 2 ∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos 2 2 在椭圆中,①化简为即 4c =4a ﹣3r1r2,



=

﹣1,②

2 2 在双曲线中,①化简为即 4c =4a1 +r1r2,



=1﹣

,③

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联立②③得,

+

=4, + )≥(1× + × ),
2

由柯西不等式得(1+ )( 即( 即 + + ≤
2 ) ≤ ×4=



, ,e2= 时取等号.即取得最大值且为 .

当且仅当 e1= 故选 C.

【点评】 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质, 利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键. 难度较大.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin(43°﹣13°)=sin30°= , 故答案为 . 14.【答案】 [﹣1,3] .

2 2 【解析】解:∵函数 y=sin x﹣2sinx=(sinx﹣1) ﹣1,﹣1≤sinx≤1, 2 2 ∴0≤(sinx﹣1) ≤4,∴﹣1≤(sinx﹣1) ﹣1≤3. 2 ∴函数 y=sin x﹣2sinx 的值域是 y∈[﹣1,3].

故答案为[﹣1,3]. 【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键. 15.【答案】D 【 解 析 】

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16.【答案】 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 111.Com] 【 解 析 】

考 点:不等式,比较大小. 【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图 象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值, 它确定二次函数的具体位置. 对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断, 如函数图象与 正半轴的交点,函数图象的最高点与最低点等. 17.【答案】 2x﹣y+1=0 .
x x 【解析】解:由题意得,y′=(x+e )′=1+e , 0 ∴点 A(0,1)处的切线斜率 k=1+e =2,

则点 A(0,1)处的切线方程是 y﹣1=2x,即 2x﹣y+1=0, 故答案为:2x﹣y+1=0. 【点评】本题考查导数的几何意义,以及利用点斜式方程求切线方程,注意最后要用一般式方程来表示,属于 基础题. 18.【答案】 .

2 【解析】解:∵F 是抛物线 y =4x 的焦点,

∴F(1,0),准线方程 x=﹣1, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6, 解得 x1+x2=4,

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∴△MNF 的重心的横坐标为 , ∴△MNF 的重心到准线距离为 . 故答案为: . 【点评】 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题, 利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距 离.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)在 f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令 x=y=0 可得,f(0)=f(0)+f(0), 则 f(0)=0, (2)令 y=﹣x,得 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(﹣x), 即可证得 f(x)为奇函数; (3)因为 f(x)在 R 上是增函数,又由(2)知 f(x)是奇函数, f(k?3x)<﹣f(3x﹣9x﹣2)=f(﹣3x+9x+2),
x x x 即有 k?3 <﹣3 +9 +2,得

, ,即 有最小值 2 ﹣1, 即可,

又有
x x

所以要使 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 恒成立,只要使 故 k 的取值范围是(﹣∞,2 ﹣1).

x

20.【答案】 【解析】(I)∵ 2 cos 2

A ? (cos B ? 3 sin B ) cos C ? 1 , 2

∴ cos A ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ ? cos(B ? C) ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ ? cos B cosC ? sin B sin C ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ sin B sin C ? 3 sin B cosC ? 0 ,因为 sin B > 0 ,所以 tanC ? 3 又∵ C 是三角形的内角,∴ C ?

?
3

.

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21.【答案】 【解析】解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴ ∵OC=OD=6,AC=4,∴ ,∴BD=9.… ,

(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO … 【点评】本题考查三角形相似,角的求法,考查推理与证明,距离的求法. 22.【答案】 【解析】(本题满分为 12 分) 解:(1)∵cos2A﹣3cos(B+C)﹣1=0.
2 ∴2cos A+3cosA﹣2=0,…2 分

∴解得:cosA= ,或﹣2(舍去),…4 分 又∵0<A<π, ∴A= …6 分 ,…

(2)∵a=2RsinA=

2 2 2 2 2 又∵a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc≥bc,

∴bc≤3,当且仅当 b=c 时取等号,… ∴S△ABC= bcsinA= bc≤ , . …

∴三角形面积的最大值为 23.【答案】

3 6 【解析】解:(1)先排 3 个女生作为一个整体,与其余的 5 个元素做全排列有 A3 A6 =4320 种. 2 3 5 (2)从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,则男生有 3 人,先选再排,故有 C3 C5 A5 =3600 种

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【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理,排列数公式、组合数公式的应用,注意特殊元素和特殊位 置要优先排. 24.【答案】 【解析】解:(1)∵f(4)=0, ∴4|4﹣m|=0 ∴m=4, (2)f(x)=x|x﹣4|= 图象如图所示:

由图象可知,函数在(﹣∞,2),(4,+∞)上单调递增,在(2,4)上单调递减. (3)方程 f(x)=k 的解的个数等价于函数 y=f(x)与函数 y=k 的图象交点的个数, 由图可知 k∈(0,4).

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