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连江县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

连江县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( A. B. C. D. =2.7,则由该观测数据算得的线性回归方 =﹣2x+8.6 ) )

姓名__________

分数__________

2. 已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 程可能是( A. ) B. =0.4x+1.5 C. =2x﹣3.2 D. =﹣0.2x+3.3

3. 若实数 x,y 满足 A. B.8 C.20

2 2 ,则(x﹣3) +y 的最小值是(

D.2

4. 若 {an } 为等差数列, Sn 为其前项和,若 a1 ? 0 , d ? 0 , S4 ? S8 ,则 Sn ? 0 成立的最大自 然数为( A.11 ) B.12 ) C.|a|>|b| D.a2>b2 ) C.13 D.14

5. 若 a<b<0,则下列不等式不成立是( A. > B. >

6. 对一切实数 x,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣2) A.有最大值 B. D.上是减函数,那么 b+c( C.有最小值 ) B.有最大值﹣ D.有最小值﹣ )

7. 在复平面内,复数 Z= A.第四象限

+i2015 对应的点位于(

B.第三象限

C.第二象限

D.第一象限

8. “互联网 ? ”时代,倡导读书称为一种生活方式,调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况,拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为 50 的样本进行调 查,已知该小区有老年人 600 人,中年人 600 人,青年人 800 人,则应从青年人抽取的人数为( A.10 A. B. C. D.6 ) B.20 ) C.30 9. 已知 2a=3b=m,ab≠0 且 a,ab,b 成等差数列,则 m=( 10.如图可能是下列哪个函数的图象( ) D.40

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A.y=2x﹣x2﹣1

B.y= D.y= ,则 f(1)=( D.3 ) C.2116 D.2048 B.2016 )

C.y=(x2﹣2x)ex 11.设函数 f(x)= A.0 A.2015 B.1

C.2

12.执行下面的程序框图,若输入 x ? ?2016 ,则输出的结果为(

二、填空题
13.已知 i 是虚数单位,复数 14.若函数 f(x)= 15.已知函数 f(x)= 的模为 . . .

﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是 ,若 f(f(0))=4a,则实数 a=

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16.已知集合 A ? ?x | 0 ? x≤3, x ? R? , B ? ?x | ?1≤x≤2, x ? R? ,则 A∪B= 17.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,





BC ? 3 , E 在 AC 上,若 BE ? AC ,
则 ED 的长=____________ 18.已知正整数 m 的 3 次幂有如下分解规律:

13 ? 1 ; 23 ? 3 ? 5 ; 33 ? 7 ? 9 ? 11; 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ;… 若 m3 (m ? N? ) 的分解中最小的数为 91 ,则 m 的值为
中等.

.

【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识,问题的给出比较新颖,对逻辑推理及化归能力有较高要求,难度

三、解答题
19.如图,过抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F 的直线交 C 于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且 x1x2=﹣ 4. (Ⅰ)p 的值; (Ⅱ)R,Q 是 C 上的两动点,R,Q 的纵坐标之和为 1,RQ 的垂直平分线交 y 轴于点 T,求△ MNT 的面积 的最小值.

20. (1)求证: (2) ,若





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21.设函数 f(x)=|x﹣a|﹣2|x﹣1|. (Ⅰ)当 a=3 时,解不等式 f(x)≥1; (Ⅱ)若 f(x)﹣|2x﹣5|≤0 对任意的 x∈[1,2]恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.若函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值.

23.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f(x)=(3﹣2a)x 是增函数.若 p ∨q 为真,p∧q 为假.求实数 a 的取值范围.

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24.设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间;
2 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使 f(x1)≥g(x2)

成立,求实数 b 的取值范围.

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连江县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上, 在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有 4×6=24 个,
3 而在 8 个点中选 3 个点的有 C8 =56,

所以所求概率为 故选:C

=

【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概 念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题. 2. 【答案】A 【解析】解:变量 x 与 y 负相关,排除选项 B,C; 回归直线方程经过样本中心, 把 =3, 故选:A. 3. 【答案】A 【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示: =2.7,代入 A 成立,代入 D 不成立.



由图象得 P(3,0)到平面区域的最短距离 dmin=
2 2 ∴(x﹣3) +y 的最小值是:





故选:A.

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【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道基础题. 4. 【答案】A 【解析】

考 点:得出数列的性质及前项和. 【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用,其中解答中涉及到等差数列的性质,等 差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推 理与运算能力,属于中档题,本题的解答中,由“ a1 ? 0 , d ? 0 ”判断前项和的符号问题是解答的关键. 5. 【答案】A 【解析】解:∵a<b<0, ∴﹣a>﹣b>0,
2 2 ∴|a|>|b|,a >b ,





可知:B,C,D 都正确, 因此 A 不正确. 故选:A. 【点评】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 6. 【答案】B 【解析】解:由 f(x)在上是减函数,知 f′(x)=3x2+2bx+c≤0,x∈, 则 ?15+2b+2c≤0?b+c≤﹣ 故选 B. 7. 【答案】A 【解析】解:复数 Z= +i2015= ﹣i= ﹣i= ﹣ . .

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复数对应点的坐标( 故选:A.

),在第四象限.

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,基本知识的考查. 8. 【答案】B 【解析】 试题分析:设从青年人抽取的人数为 x,? 考点:分层抽样. 9. 【答案】C.
a b 【解析】解:∵2 =3 =m,

x 800 ? ,? x ? 20 ,故选 B. 50 600 ? 600 ? 800

∴a=log2m,b=log3m, ∵a,ab,b 成等差数列, ∴2ab=a+b, ∵ab≠0, ∴ + =2, ∴ =logm2, 解得 m= 故选 C 【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用. 10.【答案】 C
x 2 x 2 【解析】解:A 中,∵y=2 ﹣x ﹣1,当 x 趋向于﹣∞时,函数 y=2 的值趋向于 0,y=x +1 的值趋向+∞, x 2 ∴函数 y=2 ﹣x ﹣1 的值小于 0,∴A 中的函数不满足条件;

=logm3,

∴logm2+logm3=logm6=2, .

B 中,∵y=sinx 是周期函数,∴函数 y= ∴B 中的函数不满足条件;

的图象是以 x 轴为中心的波浪线,

C 中,∵函数 y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,当 x<0 或 x>2 时,y>0,当 0<x<2 时,y<0; 且 y=e >0 恒成立,
2 x ∴y=(x ﹣2x)e 的图象在 x 趋向于﹣∞时,y>0,0<x<2 时,y<0,在 x 趋向于+∞时,y 趋向于+∞; x

∴C 中的函数满足条件; D 中,y= 的定义域是(0,1)∪(1,+∞),且在 x∈(0,1)时,lnx<0,

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∴y=

<0,∴D 中函数不满足条件.

故选:C. 【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题,解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征, 是综合性题目. 11.【答案】D 【解析】解:∵f(x)= f(1)=f[f(7)]=f(5)=3. 故选:D. 12.【答案】D 【解析】 试题分析:由于 ?2016 ? 0 ,由程序框图可得对循环进行加运算,可以得到 x ? 2 ,从而可得 y ? 1 ,由于 ,

2015 ? 1 ,则进行 y ? 2 y 循环,最终可得输出结果为 2048 .1
考点:程序框图.

二、填空题
13.【答案】 【解析】解:∵复数 故答案为: . . = =i﹣1 的模为 = .

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题. 14.【答案】 ﹣2 【解析】解:函数 f(x)= 由函数 f(x)= 即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2,
2 即有 f′(x)=﹣2x +2x=﹣2(x﹣1)x, 2 ﹣m 的导数为 f′(x)=mx +2x,

﹣m 在 x=1 处取得极值,

可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. 故答案为:﹣2.

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【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题. 15.【答案】 2 .

【解析】解:∵f(0)=2, ∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, 所以 a=2 故答案为:2. 16.【答案】1-1,3] 【解析】 试题分析:A∪B= ?x | 0 ? x≤3, x ? R? ? ?x | ?1≤x≤2, x ? R? =1-1,3] 考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点 集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图 表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 17.【答案】 21 2

【解析】在 Rt△ABC 中,BC=3,AB= 3,所以∠BAC=60° . 3 因为 BE⊥AC,AB= 3,所以 AE= ,在△EAD 中,∠EAD=30° ,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD2 2 3 3 3 21 21 -2AE· AD· cos∠EAD= +9-2× ×3× = ,故 ED= . 4 2 2 4 2 18.【答案】10 【解析】 m 的分解规律恰好为数列 1,3,5,7,9,…中若干连续项之和, 2 为连续两项和, 3 为接下来三 项和,故 m 的首个数为 m ? m ? 1 .
3 2 3
3

3

3 ∵ m (m ? N? ) 的分解中最小的数为 91,∴ m ? m ? 1 ? 91 ,解得 m ? 10 .
2

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意设 MN:y=kx+ ,

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2 2 ,消去 y 得,x ﹣2pkx﹣p =0(*)

由题设,x1,x2 是方程(*)的两实根,∴ (Ⅱ)设 R(x3,y3),Q(x4,y4),T(0,t), ∵T 在 RQ 的垂直平分线上,∴|TR|=|TQ|. 得 ∴ 而 y3≠y4,∴﹣4=y3+y4﹣2t. 又∵y3+y4=1,∴ 因此, 由(Ⅰ)得,x1+x2=4k,x1x2=﹣4, = 因此,当 k=0 时,S△MNT 有最小值 3. ,故 T(0, ). . ,又

,故 p=2;



,即 4(y3﹣y4)=(y3+y4﹣2t)(y4﹣y3).



【点评】 本题考查抛物线方程的求法, 考查了直线和圆锥曲线间的关系, 着重考查“舍而不求”的解题思想方法, 考查了计算能力,是中档题. 20.【答案】 【解析】解:(1)∵ ∴an+1=f(an)= 则 ∴{ , }是首项为 1,公差为 3 的等差数列; =3n﹣2, ,
n n﹣1 ,

, ,

(2)由(1)得, ∵{bn}的前 n 项和为

n 1 n 1 ∴当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 ﹣ =2 ﹣ ,

而 b1=S1=1,也满足上式,则 bn=2 ∴ = =(3n﹣2)2n﹣1,

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=20+4?21+7?22+…+(3n﹣2)2n﹣1,①

1 2 3 n 则 2Tn=2 +4?2 +7?2 +…+(3n﹣2)2 ,②

①﹣②得:﹣Tn=1+3?21+3?22+3?23+…+3?2n﹣1﹣(3n﹣2)2n,
n ∴Tn=(3n﹣5)2 +5.

21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)≥1,即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1 x 时,3﹣x+2x﹣2≥1,∴x≥0,∴0≤x≤1; 1<x<3 时,3﹣x﹣2x+2≥1,∴x≤ ,∴1<x≤ ; x≥3 时,x﹣3﹣2x+2≥1,∴x≤﹣2∴1<x≤ ,无解,… 所以 f(x)≥1 解集为[0, ].… (Ⅱ)当 x∈[1,2]时,f(x)﹣|2x﹣5|≤0 可化为|x﹣a|≤3, ∴a﹣3≤x≤a+3,… ∴ ,…

∴﹣1≤a≤4.… 22.【答案】 【解析】解:由题意可得: ∵当 a>1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,
2 ∴f(2)﹣f(1)=a ﹣a= a,解得 a=0(舍去),或 a= .

∵当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减,
2 ∴f(1)﹣f(2)=a﹣a =

,解得 a=0(舍去),或 a= .

故 a 的值为 或 . 【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 23.【答案】
2 2 【解析】解:设 g(x)=x +2ax+4,由于关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,

∴函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点,

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2 故△=4a ﹣16<0,∴﹣2<a<2.

又∵函数 f(x)=(3﹣2a) 是增函数, ∴3﹣2a>1,得 a<1. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假. (1)若 p 真 q 假,则 (2)若 p 假 q 真,则 ,得 1≤a<2; ,得 a≤﹣2.

x

综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1≤a<2,或 a≤﹣2. 24.【答案】 【解析】解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,∴f(1)=﹣2, ∴f′(1)=0,∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2(5 分) (Ⅱ) = (6 分) , (2 分)

令 f′(x)<0,可得 0<x<1,或 x>2;令 f'(x)>0,可得 1<x<2 故当 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,2);单调递减区间为(0,1),(2,+∞). 时,由(Ⅱ)可知函数 f(x)在(1,2)上为增函数, (9 分)

(Ⅲ)当

∴函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=

若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在(0, e]上的最小值 又 ①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, ②当 0≤b≤1 时, ③当 b>1 时,g(x)在[0,1]上为减函数, 此时 b>1(11 分) ,由 (*) (10 分) ,x∈[0,1] 与(*)矛盾 及 0≤b≤1 得, ,

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综上,b 的取值范围是

(12 分)

【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查恒成立问题,解题的关键 是将对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,转化为 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在 (0,e]上的最小值.

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