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37.数字与等积

实际问题与一元一次方程
(数字与等积) 【目标导航】 1.了解数与数位上的数之间的关系,利用这 种关系解决数位问题; 2.了解常见物体的体积、常见图形的体积和 面积公式,利用公式解决有关等积问题. 【预习引领】 1.填空: (1)一个两位数的十位数字是4,个位数字是5, 则这个两位数是 45 . (2)一个两位数的十位数字是 x,个位数字是 5, 则 这 个 两 位 数 是 可 表 示 为 10x+5 . (3)一个两位数的十位数字是 5,个位数字是 y, 则 这 个 两 位 数 是 可 表 示 为 50+y . (4)一个两位数的十位数字是 a,个位数字是 b, 则 这 个 两 位 数 是 可 表 示 为 10a+b . 2.根据条件填空: (1)一个三角形一边长为 a,这边上的高是 h, 三角形的面积为 S=
1 2 ah .

于 10 的整数且 a 是大于零而小于 10 的整数. (2)寻找等量关系的方法是: ①抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找 相等关系②常需要设间接未知数. 例 1 一个两位数,十位上的数字比个位上 的数字小 1,十位与个位上数字之和是这个 两位数的
1 5

3 倍, 圆柱(1)的直径为 40 毫米, 圆柱(2)的直 径和高都是 60 毫米,求圆柱(1)的高. 分析:设圆柱(1)的高为 x 毫米,则它的体积可 以表示为 20 ? x .
2

.求这个两位数.

根据问题中的数量关系: 圆 柱 (2) 的 体 积 是 圆 柱 (1) 的 体 积 的 3 倍, . 列方程得: 3× 20 ? x = 30 ? ? 60 .
2 2

分析:设十位上的数为 x,则个位上的数为 x+1 ,它们的和 2x+1 ,这 个 两 位 数 用 x 可 以 表 示 为 10x+x+1 . 根据问题中的数量关系: 十位与个位上数字之和是这个两位数的
1 5

解: x ? 45 毫米 练习 1.甲、乙两水池分别盛水 100 m 和 88 m .从 两池中共放出 50 m 水后,两水池剩余的水 的体积相等,则从甲池中放出了 m 水.
3 3 3

3

5.写出答案(包括单位名称). 【课堂操练】 1.一个两位数,十位上的数是 6,个位上的数 是 8,这个两位数是 68 . 2.一个两位数的十位数字是 x,个位数字 y,则 这个两位数可表示为 10x+y . 3.一个三位数的百位上的数是 x,个位上数是 百位上的数的 2 倍,十位数上的数是个位上 的数的 2 倍,则这个三位数用 x 可以表示为 100x+40x+2x ,化简为 142x ,猜想这个三位数可能是 142 或 284 . 4.一个长方形的周长是 16cm,如果将它的长 减少 1cm,宽增加 2cm, 就成了一个正方形, 求正方形的边长是 5.5 ㎝ . 5.一个三位数 a 写在二位数 b 的右边,构成一 个五位数可以表示为( D ) A. 10 b ? a B. 10 b ? a C. 100 a ? b D. 1000 b ? a 6.一个两位数,个位上的数字比十位上的数 字大 1, 交换两数位置得到新的两位数与原两 位数之和等于 33,求这个两位数. 解:设原两位数的十位是 x,则个位是 x+1,依 题意得:10x+x+1+10(x+1)+x=33 解得:x=1 答:这个两位数为 10×1+2=12。 7.一个三位数,三个数位上的数的和是 17,百 位上的数比十位上的数大 7,个位上的数是十 位上的数的 3 倍.求这个三位数. 答案: 解:设十位上的数字为 x,则百位为 x+7,个位 为 3x 依题得:x+7+x+3x=17 解得:x=2 则这个三位数是 9×100+2×10+6=926 8.用一根长为 60 厘米的铁丝围成一个长 方形. 2 (1)若长方形的宽是长的 .求这个长方形 3 的长和宽 (2)若长方形的长比宽多 4 厘米,求这个长 方形的长和宽 (3)分别计算(1)(2)所得的两个长方 、

.列方程得: 2 x ? 1 ?

1 5

(10 x ? x ? 1) .

解:设从甲池中放出了 x m 水 则 100-x=88-(50-x) 解得:x=31 答:从甲池中放出了 31 m 水。 2.用内径为 90mm 的圆柱形长玻璃杯(已装满 水)向一个内底面积为 131mm×131mm,内高 为 81mm 的长方形铁盒倒水,当铁盒装满水时 玻璃杯中水的高度下降多少? 答案: 解:设当铁盒装满水时玻璃杯中水的高度下 降 x ㎜.
( 则依题意得:131×131×81= 90 2 )? x
2

3

解:x=4 练习 1.一个三位数满足以下条件: (1)三个数位上的数字之和为 8; (2)百位上的数字比十位上的数字大 4; (3)个位上的数字是十位上的数字的 2 倍. 如果设十位上的数字为 x,则可的方程是
x ? 4 ? x ? 2x ? 8 .

3

(2)一个圆的半径为 r,则这个圆的面积 S= ? r .
2

(3)长方体的长、宽、高分别为 a、b、h,则这 个长方体的体积 S= abh . (4)一个圆柱体的直径、高分别是 d、h,那么 这个圆柱体的体积 V= ? ( ) h .
2

d

2

【要点梳理】 1.数字问题 (1)多位数的表示法: abcd 是一个多位数, 则 abcd ? a ? 10 ? b ? 10 ? c ? 10 ? d
3 2

其中 b 、 c 、 d 均表示为大于或等于零而小

2.一个两位数,十位上的数字比个位上的数 字小 4,如果把十位上的数与个位上的数 对调后,那么所得的两位数比原来的两位 数的 2 倍小 12,求原来的两位数. 答案: 解:设原来十位上的数字为 x,则个位上的 数 为 x+4. 依 题 意 得 : 10 ( x+4 ) +x=2(10x+x+4)-12 解方程得:x=4 则,原来的两位数是 48. 2.等积变形问题: (1)基本数量关系是常见图形的体积公式. (2)寻找相等关系的方法是: ①形变积不变;②形变积也变,但重量不变. 例 2 已知圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的

解得:x≈218.6 答:玻璃杯中水德高度下降 218.6 ㎜ 归纳: 运用一元一次方程解决实际问题的一般 步骤: 1.弄清题意和题目中的数量关系,用字母(如 x)表示题目中的一个未知数; 2.找出能够表示实际问题全部含义的一个相 等关系; 3.根据这个相等关系列出需要的代数式,从而 列出方程; 4.解这个方程,求出未知数的值;

形的面积,并比较它们的大小. 60m 30m

解得:x=45 则 应 将 上 底 减 少 (60-45=15)m, 下 底 增 加 (45-30=15)m. 【课后盘点】 1.一个两位数的十位数字是7,个位数字5,则

11.一个三位数,百位上的数字为 x,十位上的 数字比百位上的数字大 1,个位上的数字比 百位上的数字小 1,则这个三位数是 (A ) A. 100 x ? 10 ( x ? 1) ? x ? 1 B. 100 ( x ? 1) ? 10 x ? x ? 1 C. 100 ( x ? 1) ? 10 ( x ? 1) ? x D. 100 x ? 10 ( x ? 1) ? x ? 1 12.有一个两位数,它的十位数字与个位数字 之和为 5,则符合条件的数有 ( B )个. A.4 B.5 C.6 D.无数 13.一个长方形周长是 32cm,长与宽的差是 1cm,那么长与宽分别是 ( B ) A.3cm,5cm B.8.5cm,7.5cm C.4cm,6cm D.10cm,6cm 14.有一块棱长为 40mm 正方体铁块,熔化铸 成底面半径为 5mm, 高为 10mm 的圆柱体, 问能铸成多少个圆柱体?( ? ? 3 . 14 ,精确 到个位) 解:设可以铸成 x 个圆柱体 依题得:40×40×40= ? ? 5 ? 10 ? x
2

依题意可得: x ? 2

13 29

x ? 5 .1

答案:

30m
2 3 x

解: (1)设长方形的长为 x 厘米,则宽为
? ? ? x ? ? 60 3 ? 2

厘米。依题得: 2 ? x ?

解得:x=18 厘米,则长为 18 厘米,宽为 12 厘米 (2)设长为 x 厘米在,则宽为 x-4 则 2(x+x-4)=60,解得:x=17。 则长为 17 厘米,宽为 13 厘米 (3) ①中长方形面积=18×12=216 平方 厘米 ②中长方形面积=17×13=221 平方厘 米①<② 9.已知圆柱形瓶 A(底面半径 25 厘米,高 18 厘米)内装满水,圆柱形瓶 B(底面半径 3l 厘米,高 10 厘米)内没有水,现将 A 瓶 中的水倒入 B 瓶中,问能否完全装下?若装 不下, 那么 A 瓶内还有水多高?若未能装满, 那么 B 瓶内水面离杯口的距离是多少? 解:瓶 A 的体积为 ? ? 25 ? 18 ? 11050 ?
2

瓶 B 的体积为 ? ? 31 ? 10 ? 9610 ?
2

这个两位数是 75 . 2.一个两位数的十位数字是 5,个位数字 x, 则这个两位数是可表示为 50+x . 3.一个长方形的周长位 26cm,若这个长方形 的长减少 1 cm,而宽增加 2 cm,就成了一 个 正 方 形 , 则 这 个 长 方 形 的 面 积 是 40 ㎡. 4. 在十进制中,两位数的十位数字是 a,个位 数 字 是 b, 则 这 个 两 位 数 可 表 示 为 10a+b ; 5.如果把一个两位数 a 放在一个一位数 b 的 右边,组成一个三位数,则这个三位数可表 示为 100b+a . 6.三个连续偶数的和是 18, 则这个三个连续 偶数的积是 192 . 7.把一根 100cm 的木棍锯成两段,使其中一 段的长比另一段的 2 倍少 5cm,应在木棍 的 35 ㎝处 位置锯开. 8.用一个底面为 20cm×20cm 的长方体容器 (已装满水)向一个长、 宽、 高分别是 8cm、 5cm、10cm 的长方体的铁盒内倒水,当铁 盒装满水时,长方体容器中水的高度下降 了 1㎝ . 9.一个直角三角形的一条直角边的长减少 25﹪,若要使它的面积保持不变,则另一条 边应增长( C ) A.
1 4

解得:100x=147.9,x≈1.5 答:地球上陆地面积是 1.5 亿平方公里 17.长方体甲的长、宽、高分别为 260mm, 150mm,325mm, 长 方 体 乙 的 底 面 积 为 130mm×130mm.已知甲的体积是乙的体 积的 2.5 倍,求乙的高. 解:设乙的高是 xmm. 依题意得: 260×150×325=2.5×130×130×x 解得:x=300 答:乙的高时 300 ㎜ 18.内径为 120mm 的圆柱形玻璃杯,和内径 为 300mm、内高为 32mm 的圆柱形玻璃盘可 以盛同样多的水,求玻璃杯的内高. 解:设玻璃杯的内高为 h ㎜。
? 300 ? ?( )h ? ? ? ? ? 32 2 ? 2 ? 120
2 2

vA

> v B ,所以装不下
2

B.它的

1 4

C.它的

1 3

D. 它的

2 5

9610 ? ? 25 ? h ,解得 h≈15.4 厘米

则 A 内还有水=(18-15.4=2.6)厘米高。

10.把一块梯形空地(如图)改成宽为 30m
的长方形运动场地,要求面积不变,则应将 原梯形的上、下底边作怎样的调整? 解:设长方形的长为 xm

?30
则依题得:30x=

? 60 ? ? 30 2

10.一个三位数,三个数位上的数字之和是 17, 百位上数的数字比十位上的数字大 7, 个位上的数字是十位上数字的 3 倍,为了 解题方便,可设 (B ) A.百位上的数字为 x B.十位上的数字为 x C.个位上的数字为 x D.这个三位数为 x

解得 x≈81.5 答:可以铸成 81 个圆柱体。 15.一个三位数的三个数字的和为 15,十位上 的数字与个位上的数字是由大到小排列的 两个连续奇数,若去掉百位上的数字,并将十 位上数字和个位上的数字对调,所成的两位数 与去掉个位上的数所成的两位数之和等于 110,求这个三位数. 解,设十位是奇数 x,则个位是 x-2,百位是 17-2x 则 依 题 意 得 : 10 × ( x-2 ) +x+10 × (17-2x)+x=110 解得:x=5 答:这个三位数是 753. 16.地球上水面面积约等于陆地面积的 2
13 29

解得:h=200 答:玻璃杯的内高为 200 ㎜ 19.小明问数学老师家的电话号码时,老师说: “想要知道我家的电话号码,你得动动脑筋, 我家的电话号码是八位数,这个数后面的 四位数字是连续的自然数(其中末位数字 最小),前四位数字相同,且比后面四位数 字最大的数还大 1,全部的数字之和恰好 是最后的两位数,你说我家的电话号码是 多少呢?” 解:设最后一位数字是 x 则第 7 位是 x+1,第 6 位是 x+2,第 5 位是 x+3,第 1,2,3,4 位都是 x+4 则依题意得
4?x ? 4 ? ? x ? 3 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 10 ? x ? 1 ? ? x

倍,地球的表面积约等于 5.1 亿平方公里,求 地球上陆地面积是多少(精确到 0.1 亿平方公 里). 解:设地球上陆地面积是 x 亿平方公里

解得: 答: x=4 老师家的电话号码是 88887654

参考答案:

实际问题与一元一次方程
(数字与等积) 【参考答案】 【预习引领】 1. (1) 45 (2) 10x+5 (3) 50+y (4) 10a+b 2.根据条件填空: (1) S=
1 2 ah .(2) S= ? r .(3) S= abh .
2

2. 答案: 解:设当铁盒装满水时玻璃杯中水的高度下 降 x ㎜.
( 则依题意得:131×131×81= 90 2 )? x
2

厘米 ②中长方形面积=17×13=221 平方厘米 ①<② 9. 解:瓶 A 的体积为 ? ? 25 ? 18 ? 11050 ?
2

(4) V= ? ( ) h .
2

d

2

【要点梳理】 例 1 分析: x+1 2x+1 10x+x+1 十位与个位上数字之和是这个两位数的
1 5

. 2x ? 1 ?

1 5

(10 x ? x ? 1) .

x=4 练习 1. x ? 4 ? x ? 2 x ? 8 . 2. 答案: 解:设原来十位上的数字为 x,则个位上的 数 为 x+4. 依 题 意 得 : 10 ( x+4 ) +x=2(10x+x+4)-12 解方程得:x=4 则,原来的两位数是 48. 例 2 分析:设圆柱(1)的高为 x 毫米,则它 的体积可以表示为 20 ? x .
2

解得:x≈218.6 答:玻璃杯中水德高度下降 218.6 ㎜ 【课堂操练】 1. 68 . 2. 10x+y . 3. 100x+40x+2x 142x , 142 或 284 . 4. 5.5 ㎝ . 5. D 6.解: 设原两位数的十位是 x,则个位是 x+1, 依题意得:10x+x+1+10(x+1)+x=33 解得:x=1 答:这个两位数为 10×1+2=12。 7.答案: 解:设十位上的数字为 x,则百位为 x+7,个 位为 3x 依题得:x+7+x+3x=17 解得:x=2 则这个三位数是 9×100+2×10+6=926 8. 60m 30m

瓶 B 的体积为 ? ? 31 ? 10 ? 9610 ?
2

v A > v B ,所以装不下
9610 ? ? 25 ? h ,解得 h≈15.4 厘米
2

解得:100x=147.9,x≈1.5 答:地球上陆地面积是 1.5 亿平方公里 17. 解:设乙的高是 xmm. 依题意得: 260×150×325=2.5×130×130×x 解得:x=300 答:乙的高时 300 ㎜ 18.解:设玻璃杯的内高为 h ㎜。
? 300 ? ?( )h ? ? ? ? ? 32 2 ? 2 ? 120
2 2

则 A 内还有水=(18-15.4=2.6)厘米高。 10 解:设长方形的长为 xm 则依题得:30x= 解得:x=45 则 应 将 上 底 减 少 (60-45=15)m, 下 底 增 加 (45-30=15)m. 【课后盘点】 1. 75 3. 40 . 2. 50+x . ;5. 100b+a . 4. 10a+b

?30

? 60 ? ? 30 2

解得:h=200 答:玻璃杯的内高为 200 ㎜ 19. 解:设最后一位数字是 x 则第 7 位是 x+1,第 6 位是 x+2,第 5 位是 x+3,第 1,2,3,4 位都是 x+4 则依题意得
4?x ? 4 ? ? x ? 3 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 10 ? x ? 1 ? ? x

解得: 答: x=4 老师家的电话号码是 88887654

根据问题中的数量关系: 圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积 3 倍. 3× 20 ? x = 30 ? ? 60 .
2 2

答案:

30m
2 3 x

6. 192 .7. 35㎝处 .8. 1㎝ . 9 C 10.B 11. A 12. B .13 B 14. 解:设可以铸成 x 个圆柱体 依题得:40×40×40= ? ? 5 ? 10 ? x
2

解: (1)设长方形的长为 x 厘米,则宽为
? ? ? x ? ? 60 3 ? 2

解: x ? 45 毫米 练习 1. 解:设从甲池中放出了 x m 水 则 100-x=88-(50-x) 解得:x=31 答:从甲池中放出了 31 m 水。
3 3

厘米。依题得: 2 ? x ?

解得:x=18 厘米,则长为 18 厘米,宽为 12 厘米 (2)设长为 x 厘米在,则宽为 x-4 则 2(x+x-4)=60,解得:x=17。 则长为 17 厘米,宽为 13 厘米 (3) ①中长方形面积=18×12=216 平方

解得 x≈81.5 答:可以铸成 81 个圆柱体。 15. 解,设十位是奇数 x,则个位是 x-2,百位是 17-2x 则 依 题 意 得 : 10 × ( x-2 ) +x+10 × (17-2x)+x=110 解得:x=5 答:这个三位数是 753. 16.解:设地球上陆地面积是 x 亿平方公里 依题意可得: x ? 2
13 29 x ? 5 .1


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