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江苏省2013届高三数学二轮专题训练 解答题(21-30)

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(21)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1. ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

a ? 1, b ? 2, c o sC ?

1 . (1)求 ?ABC 的周长; (2)求 cos(A ? C ) 的值. 4

2. (本题满分 14 分)如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC, AC⊥BC,M 为 AB 中点, D 为 PB 中点,且△ PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC.

3.. (本题满分 14 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位: 千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , x?3

a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日 可售出该商品 11 千克.
(1) 求 a 的值; (2) 若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大.

4. (本题满分 16 分)已知 圆 O :x 2 ? y 2 ? 1 ,点 P 在直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上, 过点 P 作 圆 O 的两条切线, A, B 为两切点, (1) 求切线长 PA 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (2) 点 M 为直线 y ? x 与直线 l 的交点,若在平面内存在定点 N (不同于点 M ) ,满足:对 于圆 O 上任意一点 Q ,都有

QN 为一常数,求所有满足条件的点 N 的坐标; QM

(3) 求 PA ? PB 的最小值.

5. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ?

x 2 ? a (a ? 2) x ( a ? R) . x ?1

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程; (2)当 a ? ?1 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (3)求函数 f ( x) 在 [0, 2] 上的最小值.

6. (本题满分 16 分) 已 知 数 列

?an ?

, 其 前

n 项 和 为 Sn , 对 任 意 n ? N ? 都 有 :

S n ? man ? 1 ? m(m ? R, m ? 0且m ? 1) .
(1) 求证: ?an ? 是等比数列; (2) 若 S3 , S 7 , S5 构成等差数列,求实数 m 的值; (3) 求证: 对任意大于 1 的实数 m , S1 ? S 2 ? S 3 ? ? S n , S3n?1 ? S3n?2 ? S3n?3 ? ? S 4n ,

S 7 n?1 ? S 7 n?2 ? S 7 n?3 ? ? S8n 不能构成等差数列.

2 2 2 1. (本题满分 14 分)解: (1) c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?

1 ?4 4

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

15 1 ?1? 2 (2)? cos C ? ? sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? ? 4 4 ?4?
15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

2

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8
7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?
2. (本题满分 14 分) (文)

证明: (1)由已知得, MD 是 ? ABP 的中位线? MD ∥ AP

? MD ? 面APC, AP ? 面APC

? MD ∥ 面APC
(2)? ?PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点

? MD ? PB , ? AP ? PB
又? AP ? PC, PB ? PC ? P ? AP ? 面PBC

? BC ? 面PBC

? AP ? BC

又? BC ? AC, AC ? AP ? A ? BC ? 面APC

? BC ? 面ABC ? 平面 ABC⊥平面 APC
3. (本题满分 14 分) (理科)解: (1) h( x) ? x ? lg | a ? 2 | ; g ( x) ? (a ? 1) x ;
2

(2)由函数 f ( x) 在区间 [(a ? 1) ,??) 上是增函数得 ?
2

a ?1 ? (a ? 1) 2 ,解得 2

3 a ? ? 或a ? ?1 且 a ? ?2 , 2
由函数 g ( x) 是减函数得 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 且 a ? ?2

3 ? ?a ? ? 或a ? ?1且a ? ?2 若 P 真 Q 假: ? 解得 a ? ?1 2 ? ?a ? ?1或a ? ?2

? 3 3 ?? ? a ? ?1或a ? ?2 若 P 假 Q 真: ? 2 解得 ? ? a ? ?1 2 ? ?a ? ?1且a ? ?2
再由命题 P、 Q 有且仅有一个是真命题, 得 a 的取值范围是 [?1,?? ) ? (?

3 3 ,?1) ? (? ,?? ) . 2 2

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 ; 2 2 ? 10( x ? 6) 2 , (2)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量 y ? 所以商场每日销售该商品所获得的 x?3
解:(1)因为 x ? 5 时 y ? 11 ,所以 利润:

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 x ?3 ;

f / ( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 4
函 数 f ( x ) 在 (3,4) 上 递 增 , 在 ( 4,6) 上 递 减 , 所 以 当 x ? 4 时 函 数 f ( x ) 取 得 最 大 值

f (4) ? 42
答:当销售价格 x ? 4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最 大值为 42. 4.(1)设点 P( x0 , y0 )

PA2 ? PO2 ? 1 ? x0 ? y0 ? 1 ? x0 ? (2x0 ? 3)2 ? 1 ? 5x0 ? 12x0 ? 8
2 = 5( x0 ? ) ?

2

2

2

2

6 5

4 5

故当 x0 ?

2 6 6 3 ,即 P ( , ) 时, PAmin ? 5 5 5 5

(2)由题: ?

?2 x ? y ? 3 ? 0 , M (1,1) ?y ? x
2 2

设 N (a, b) , Q( x1 , y1 ) ,满足 x1 ? y1 ? 1



QN 2 ( x1 ? a) 2 ? ( y1 ? b) 2 ? ? ? (? ? 0) QM 2 ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 1) 2

整理得: 2(a ? ? ) x1 ? 2(b ? ? ) y1 ? (a 2 ? b2 ? 1 ? 3? ) ? 0 ,对任意的点 Q 都成立,可得

1 ? ? ? ? 2 ?a ? ? ? 0 ?? ? 1 ? 1 ? ? ? 解得 ? a ? ,或 ?a ? 1 (舍) ?b ? ? ? 0 2 ? ?b ? 1 ?(a 2 ? b 2 ? 1) ? 3? ? ? 1 ? ?b ? 2 ?
即点 N ( , ) 满足题意。 (3) PA ? PB ? PA ? cos ?APB ? PA (2 cos ?APO ? 1) ? ( PO ? 1)(
2 2 2 2

1 1 2 2

2( PO2 ? 1) ? 1) PO2

2 = PO ?

3 2 9 2 2 9 2 ? 3 , PO ? , 令 t ? PO ? [ ,?? ) ,而 (t ? )? ? 1 ? 2 在 t ? [ ,?? ) 上恒 2 PO 5 t t 5 5

2 9 10 4 1 4 ? ? ? 3 ? ? ?1 ? ? t 5 9 5 9 45 4 6 3 所以 ( PA ? PB ) min ? ? ,当 P ( , ) 时取得 45 5 5
大于 0,故 t ? 5.解: (1) 当 a ? 1 时, f ( x ) ?

x 2 ? 3x , x ?1

f (3) ? 0
, f ?(3) ?

f ?( x) ?

x2 ? 2 x ? 3 , x ? ?1 ( x ? 1) 2

3 4

所以 f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为 y ? ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0 (2) 当 a ? 0 时 , a(a ? 2) ? 0 ,故不等式的解集为 (?1,0) ? (a(a ? 2),??) 当 a ? 0 时, f ( x) ?

3 4

x2 ,故不等式的解集为 (?1,0) ? (0,??) x ?1

当 ? 1 ? a ? 0 , ? 1 ? a(a ? 2) ? 0 ,故不等式的解集为 (?1, a(a ? 2)) ? (0,??) (3) 令 t ? x ? 1, 则 t ? [1,3] 则 f ( x) ? g (t ) ?

(a ? 1) 2 ? t ? (a 2 ? 2a ? 2) t

g ?(t ) ? ?

(a ? 1) 2 ?1 t2

若 a ? 1 ? 0 , g (t ) 在 t ? [1,3] 上递增,故 g (t ) 即 f ( x ) 的最小值为 0 若 a ? 1 ? 0 ,则 g (t ) 在 (0, a ? 1) 上递减,在 ( a ? 1,??) 上递增, ① 若 0 ? a ? 1 ? 1,即 ? 2 ? a ? 0且a ? ?1 时, g (t ) 在 t ? [1,3] 上递增,故 g (t ) 即 f ( x ) 的最小值为 0 ; ② 若1 ? a ? 1 ? 3 , 即 ? 4 ? a ? ?2 或 0 ? a ? 2 ,g (t ) 在 [1, a ? 1] 上递减, 在 [ a ? 1,3] 递 增, 故 g (t ) 即 f ( x ) 的最小值为 g ( a ? 1) ? 2 a ? 1 ? (a ? 2a ? 2) ;
2

③若 a ? 1 ? 3 ,即 a ? 2或a ? ?4 时, g (t ) 在 t ? [1,3] 上递减,故 g (t ) 即 f ( x ) 的最小值
2 为? a ?

2 3

4 4 a? 3 3

综上所述: f min

0 ? ? ? a2 ? ? ? ? a 2 ? 4a ? 4 ? 2 4 4 ?? a 2 ? a ? 3 3 ? 3

?2?a?0 0?a?2 ? 4 ? a ? ?2 a ? 2或a ? ?4

6. (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ma 1 ? 1 ? m ,又 m ? 0且m ? 1 ,故 a1 ? 1 当 n ? 2 时,Sn?1 ? man?1 ? 1 ? m , 故 an ? man ? man?1 , 即 (m ? 1)an ? man?1 , 也即

an m ? ?0 an?1 m ? 1
m 为公比的等比数列; m ?1

所以, ?an ?是以 1 为首项,

(2)由 S3 , S7 , S5 构成等差数列,知: 2S7 ? S3 ? S5 即 2(ma7 ? 1 ? m) = (ma3 ? 1 ? m) + (ma5 ? 1 ? m) ,又 m ? 0 ,化简得: 2a7 ? a3 ? a5 令q ?

m 1 2 4 2 2 2 ,则 2q ? q ? 1 ? 0 ,得 q ? 1 或 q ? ? (舍) ,即 q ? 1 (舍) , q ? ?1 m ?1 2



m 1 ? ?1 ,解得, m ? , m ?1 2

(4) (3)假设 S1 ? S 2 ? S 3 ? ? S n , S3n?1 ? S3n?2 ? S3n?3 ? ? S 4n ,

S 7 n?1 ? S 7 n?2 ? S 7 n?3 ? ? S8n 构成等差数列,
则 2 (

S3n?1 ? S3n?2 ? S3n?3 ? ? S 4n



=



S1 ? S 2 ? S 3 ? ? S n



+( S 7 n?1 ? S 7 n?2 ? S 7 n?3 ? ? S8n ) 即 2(ma3n?1 ? m ? 1 ? ma3n?2 ? m ? 1 ? ? ? ma4n ? m ? 1) =

(ma 1 ? m ? 1 ? ma 2 ? m ? 1 ? ? ? ma n ? m ? 1) (ma7n?1 ? m ? 1 ? ma7n?2 ? m ? 1 ? ? ? ma8n ? m ? 1)

+

化 简 得 2m(S 4n ? S3n ) = mSn + m( S8n ? S7 n ) , 又 知 (S4n ? S3n ) ? q3n Sn ,

(S8n ? S7 n ) ? q7n Sn ,
可得 2q 3n S n = q7n Sn + Sn (*)
7n 7n 6n 3n 而 m ? 1 ,所以 q ? 1 , S n ? 0 ,且 1 ? q ? 2 q ? 2 q ? 2q ,故(*)无解

所 以 假 设 错误 , 也即 对 任 意 大于 1 的 实 数

m , S1 ? S 2 ? S3 ? ? S n ,

S3n?1 ? S3n?2 ? S3n?3 ? ? S 4n , S 7 n?1 ? S 7 n?2 ? S 7 n?3 ? ? S8n 不能构成等差数列.

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(22)
本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
? ? ? ? 1.已知 a ? ( 1 , 1 sin x ? 3 cos x) , b ? (1, y) ,且 a // b .设函数 y ? f ( x) . 2 2 2
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式. (2)若在锐角 ?ABC 中, f ( A ?

?
3

) ? 3 ,边 BC ? 3 ,求 ?ABC 周长的最大值.

2.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

2

* 3. 已 知 数 列 {an} 的 首 项 a1 ? 2, 且 对 任 意 的 n ? N 都 有 an?1 ? ban ? c 成 立 , 其 中

b, c是常数。
(1)若数列{an}等差数列,且 c =2 ,求数列{an}的通项公式。 (2)若数列{an}等比数列, 且 b ? 1, 当从数列{an}中任取相邻 的三项,按某种顺序重新排 .. 列后成等差数列,求使数列{an}的前 n 项和是 S n ?

341 的 n 的取值集合。 256

4.某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20 m/s。一列有 55 辆车身长都为 10m 的同一 车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s) ,匀速通过该隧道,设车队的速度 为 xm/s,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 10 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当

1 1 10 ? x ? 20 时,相邻两车之间保持 ( x 2 ? x ) m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道至 6 3
第 55 辆车尾离开隧道所用的时间 为 y ( s) 。 (1)将 y 表示为 x 的函数。 (2)求 y 的最 小值及此时车队的速度。

5. 已知 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d ( x ? R) (在 (??,0) 上是增函数,在 ?0,2? 上是减函数, 且方程 f ( x) ? 0 有三个根,它们分别为 ? ,2, ? . (1)求 c 的值;(2)求证: f (1) ? 2 ; (3)求 ? ? ? 的取值范围.

6. 已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b,等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其中 a,

b 都是大于 1 的正整数 ,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 . 求(1)求 a 的值; ...
(2)若对于任意的 n ? N? ,总存在 m ? N? ,使得 am ? 3 ? bn 成立,求 b 的值; (3)令 Cn ? an?1 ? bn ,问数列 {Cn } 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所 有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.

1.解:(1) 因为 a // b ,所以 所以 f ( x) ? 2 sin( x ? 分 (2) ∵ f ( A ? ∴ sin A ?

?

?

1 1 3 y ? sin x ? cos x , 2 2 2

???3 分 ???6

?
3

)

?
3

) ? 2sin( A ?

?

? ) ? 2sin A ? 3 , 3 3
???8 分

?

? ? 3 .∵ A ? (0, ) ,∴ A ? . 2 3 2

又 BC ? 3 ,

解法一:由正弦定理知,

BC ? 2R 得 2R ? sin A

3 sin

?
3

? 2,

∴ AC ? 2sin B , AB ? 2sin C , ∴ ?ABC 的周长为 3 ? 2sin B ? 2sin C ? 3 ? 2sin B ? 2sin(

2? ? B) 3

???10 分

? 3 ? 2sin B ? 2(

? 3 1 cos B ? sin B) ? 3 ? 2 3 sin( B ? ) . 6 2 2

???12 分

? ? 0? B? ? ? ? ? ? 2? ? 2 ∵? ,∴ ? B ? ,则 ? B ? ? , 6 2 3 6 3 ?0 ? 2? ? B ? ? ? 3 2 ?
所以 sin( B ?

?
6

) ? 1 ,∴ ?ABC 周长的最大值为 3 3 .

??14 分 10 分

2 2 2 2 解法二:由余弦定理知, a ? b ? c ? 2bc cos A , 3 ? (b ? c) ? 3bc ,

3bc ? (b ? c)2 ? 3 ? 3 ?

(b ? c)2 2 , (b ? c) ? 12 , 4

???13 分

∴b?c ? 2 3 ,a ?b?c ? a ? 2 3 , ∴ ?ABC 周长的最大值为 3 3 . ?14 分

2.设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,则

? x0 ? x ? 0, ? ? x0 ? ? x, ? 2 即? ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? ? 2
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上 ∴ ? y ? x ? 2x,即y ? ?x ? 2x, 故g ? x ? ? ?x ? 2x ????????5 分
2 2 2

(或利用奇函数关于原点对称求解,参照给分) (Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?1 , 可得2x ? x ?1 ? 0
2

当 x ? 1 时, 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解 当 x ? 1 时, 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ?

王新敞
奎屯

新疆

1 2

王新敞
奎屯

新疆

因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? ?????? ???10 分 2

? ?

1? ?

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅲ)(文 20) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1
? ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? . 1? ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ?

1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 1? ?
综上,? ? 0. ??????????????
18、 (1)解:当 0 ? x ? 10 时, y ?

2150 ? 10 ? 55 ? 20 ? (55 ? 1) 3780 ? x x 1 1 2150? 10 ? 55 ? ( x 2 ? x) ? (55 ? 1) 6 3 当 10 ? x ? 20 时, y ? x 2700 ? ? 9 x ? 18 x

3780 ? (0 ? x ? 10) ? x 所以, y ? ? 2700 ? ? 9 x ? 18(10 ? x ? 20) ? x 3780 ? 378( s) (1) 当 x ? (0,10] 时,在 x ? 10 时, y min ? 10
当 x ? (10,20] 时, y ?

2700 2700 ? 9 x ? 18 ? 18 ? 2 ? 9 x ? ? 18 ? 180 3 x x

? 329.4( s)
当且仅当 9 x ?

2700 ,即: x ? 17.3(m / s) 时取等号。 x

5.解:(1) f / ( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c , f ( x) 在 (??,0) 上是增函数,在 ?0,2? 上是减函数
/ ∴当 x ? 0 时, f ( x) 取得极大值.∴ f (0) ? 0 即 c ? 0

(2)由 2 是 f ( x) ? 0 的根,∴ f (2) ? 0 , d ? ?4(b ? 2) , f / ( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c 的两个根 分别为 x1 ? 0, x 2 ?

? 2b ? 2b ? 2 ,即 b ? ?3 ∵在 ?0,2? 上是减函数,∴ x 2 ? 3 3

f (1) ? 13 ? b ? c ? d ? ?7 ? 3b ? 2
(3) 由 方 程 f ( x) ? 0 有 三 个 根 , 它 们 分 别 为

?

, 2 , ? . 可 设

f ( x) ? ( x ? ? )(x ? ? )(x ? 2)
∴ 即: b ? ?2 ? ? ? ? , d ? ?2??
2 ∴ ? ? ? = (? ? ? ) ? 4?? ?

f ( x) ? x 3 ? (2 ? ? ? ? ) x ? (2? ? 2? ? ?? ) x ? 2??

(b ? 2) 2 ? 2d ? (b ? 2) 2 ? 16 ? 3
, 得 a ? b, ab ? a ? 2b .

6 解: ( 1) 由已知, 得 an ? a ? (n ? 1)b, bn ? b ? an?1 . 由 a1 ?b1 b ,2 a ? 3

因 a,b 都为大于 1 的正整数,故 a≥2.又 b ? a ,故 b≥3. …………2 分 再由 ab ? a ? 2b ,得 (a ? 2)b ? a . 由 b ? a ,故 (a ? 2)b ? b ,即 (a ? 3)b ? 0 . 由 b≥3,故 a ? 3 ? 0 ,解得 a ? 3 . …………………………………4 分 于是 2 ≤ a ? 3 ,根据 a ? N ,可得 a ? 2 .……………………………6 分 (2)由 a ? 2 ,对于任意的 n ? N? ,均存在 m ? N? ,使得 b(m ? 1) ? 5 ? b ? 2n?1 ,则

b(2n?1 ? m ? 1) ? 5 .

又 b ≥ 3 ,由数的整除性,得 b 是 5 的约数. 故 2n?1 ? m ? 1 ? 1 ,b=5. 所以 b=5 时,存在正自然数 m ? 2n ?1 满足题意.…………………………9 分 (3) 设数列 {Cn } 中, 由 Cn ? 2 ? nb ? b ? 2n?1 , (Cn?1 )2 ? Cn ? Cn? 2 , Cn , Cn?1 , Cn? 2 成等比数列, 得

(2 ? nb ? b ? b ? 2n )2 ? (2 ? nb ? b ? 2n?1 )(2 ? nb ? 2b ? b ? 2n?1 ) .
化简,得 b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 . (※) ………………………11 分

当 n ? 1 时, b ? 1 时,等式(※)成立,而 b ≥ 3 , 不成立. ………12 分 当 n ? 2 时, b ? 4 时,等式(※)成立.……………………………13 分 当 n ≥ 3 时, b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 ≥ 4b ,这与 b≥3 矛盾. 这时等式(※)不成立.…………………………………………………14 分 综上所述,当 b ? 4 时,不存在连续三 项成等比数列;当 b ? 4 时,数列 {Cn } 中的 第二、三、四项成等比 数列,这三项依次是 18,30,50.…………………16 分

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(23)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1.(14’)已知函数 f(x)=2sin2(

? ? ? +x)- 3 cos2x,x∈[ , ]. 4 4 2

(1)求 f(x)的最大值和最小值; (2)若存在 x∈[

? ? , ],使不等式|f(x)-m|≤2 成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

2.(14’)已知 数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn = 2n p + nq (n∈N+,p、q 为常数)且 x1,x4,x5 成等 差数列. (1)求 p、q 的值; (2){xn}前 n 项和为 Sn,计算 S10 的值.

3.(14’)函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)方程 f(x)=c 有三个不同的实数解,求 c 的取值范围.

4. (16’)设 数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-2n(n∈N+). (1)求 a2、a3 的值; (2)证明{an+1 -2an } 是等比数列; (3)求 Sn 关于 n 的表达式.

5.(16’)已知函数 f(x)=x2+alnx(a 为常数). (1)若 a=-4,讨论 f(x)的单调性; (2)若 a≥-4,求 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 的值; (3)若对任意 x∈[1,e],f(x)≤(a+2)x 都成立,求实数 a 的取值范围.

6.(16’)设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负实数 a,有一个最大正数 l (a),使得 x∈[0, l (a)]时,不等式|f(x)|≤5 都成立. (1)当 a=-2 时,求 l (a)的值; (2)a 为何值时, l (a)最大,并求出这个最大值,证明你的结论.

1.解:(1)f(x)=1-co s(2x+

? )- 3 cos2x 2

=1+sin2x- 3 cos2x=1+2sin(2x∴当 x=

? 5 时,f(x)取最小值 2;当 x= ? 时,f(x)取最大值 3. 4 12

? ? ? ? ? 2 ),x∈[ , ], ≤2x- ≤ ? 3 4 2 6 3 3

(2)由|f(x)-m|≤2 即 f(x)-2≤m≤f(x)+2 由 2≤f(x)≤3,由存在 x 使|f(x)-m|≤2, ∴所求 m 的取值范围是[0,5]. 2.解:(1)由 x1=3,则 3=2p+q ① 又 x1,x4,x5 成等差数列,则(3+32p+5q)=2(16p+4q) ② n 联①②得 p=1,q=1 ,xn=2 +n. (2)S10=2+22+…+210+1+2+…+10=210 1. 3.解:(1)f(x)=x3-3ax2+3bx,f ' (x)=3x2-6ax+3b,f ' (1)=3-6a+3b=-1 2,f(1)=1-3a+3b=-11, ∴a=1,b=-3. (2)f(x)=x3-3x2-9x,f ' (x)= 3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 当 x∈(-∞,-1),f ' (x)>0; x∈(-1,3),f ' (x)<0; x∈(3,+∞),f ' (x)>0. ∴f(x)在 x= -1 取极大值 5,在 x=3 时取极小值- 27. 根据三次函数 f(x)的图象得 f(x)=c 有三个不同的实数解时,c 的取值范围是(-27,5). 4.解:(1)由 Sn=2an-2n,S1=2a1-2,∴a1=2,a1+a2=2a2-4,∴a2=6,a1+a2+a3=2a3-8,∴a3=16, ∴a2=6,a3=16. (2)Sn=2an-2n, Sn+1 = 2an+1 -2n+1 ,∴ an+1 = 2an+1 - 2an - 2n , an+1 = 2an + 2n 即 an+1 -2an = +2n . ∴{an+1 - 2an }成等比数列,首项 a2-2a1=2,公比为 2. (3)记 an = tn 2n ,由② tn+1 - tn = ∴ tn =

1 ,t1=1 2

n 1 + ,∴ an = 2n-1(n +1) 2 2
n

2 (n∈N+). 于是 Sn = 2n(n +1)-2n 即 Sn =n·
5.解:(1)f(x)=x2-4lnx(x>0),f ' ( x)=2x-

4 2(x2 - 2) = x x

∴当 x∈(0, 2]时,f(x)是减函数; 当 x∈[ 2 ,+∞ ),f(x)是增函数.

(2)a≥-4 时,f(x)=x2+alnx,x∈[1,e],f ' (x)= 若 a≥-1,f(x)在[1,e] 上递增,f 小(1)=1;

2(x2 + a) . x

若-4≤a<-1,f(x)在[1,+ -a ]递减,在[ -a ,e]上递增, f 小(x)=f( -a )=-a+

1 aln(-a). 2

(3)对 x∈[1,e],f(x)≤(a+2)x 成立,即 x2+alnx≤(a+2)x,即 a(x-lnx)≥x2-2x,

x2 - 2x x2 - 2x 而 x∈[1,e],x>lnx,故 a ≥ ,记 ?(x)= ,x∈[1,e], x -lnx x -lnx

? (x)= '

(x -1)(x + 2 - 2lnx) ≥0(仅当 x=1 时取等号) (x -lnx)2
e2 - 2e e -1

∴ ?(x)≤ ?(e)=

e2 - 2e ∴所求 a 的取值范围是[ ,+∞]. e -1
6.解:(1)当 a=-2,f(x)=-2x2+8x+3 最大值 11,令|f(x)|=5 只须考虑-2x2+8x+3=5 得 x=2± 3 . 如图, l (a)=2- 3 . (2) f(x)=ax2+8x+3,∵a<0 ,对称轴 x = -

4 4 ? 3 ? a - 64 3a -16 > 0 ,f(x)的最大值 = , a 4a a



3a -16 -4 ? 16 + 2a > 5 即 a>-8 时,取 x2+8x+3=5 得 x= . a a
y

如图 l(a)=

-4 + 16 + 2a 2 1 = < , a 16 + 2a + 4 2



3a -16 ≤ 5 即 a≤-8 时 , a
x
2

-4 ? 16 - 8a 取-(ax +8x+3)=5 得 x = , a
取 l(a)=

-4 - 16 - 8a 8 8 5 +1 = ≤ = a 2 16 - 8a - 4 80 - 4

(当 a=-8 时取等号) ∴当 a=-8 时, l (a)最大,最大值是

5 +1 . 2

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(24)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1.在 ?ABC 中, BC ? 2, AC ? 2, AB ? 3 ? 1 . (1)求 AB ? AC 的值; ??? ? ??? ? ??? ? 3 ?1 (2)若 BP ? (1 ? ? ) BA ? ? BC (? ? 0) ,且 ?ABP 的面积为 ,求实数 ? 的值. 4
??? ? ????

AB ? AC , 点 D 2.如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
在边 BC 上, AD ? C1D . (1)求证: AD ? 平面 BCC1B1 ; (2) 如果点 E 是 B1C1 的中点, 求证:A 1E // 平面 ADC1 .

3.已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 6 ? 0 , O 为坐标 原点. (1)求过点 M (?5,11) 的圆 C 的切线方程; (2) 过点 N (2,3) 作直线与圆 C 交于 A、B 两点,求 ?ABC 的最大面积以及此时 直线 AB 的斜率.

4.如图所示,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 ? 角的射线 OZ 方向航行,而在离港 口 13 a ( a 为正常数)海里的北偏东 ? 角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛,其中

7 2 1 . 现指 挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m( m ? a )海 tan ? ? , cos ? ? 3 3 13
里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装运物资供给科考船,该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并 在 C 处相遇. 经测算当两船运行的航向与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积最小时, 这种 补给最适宜. ⑴ 求 S 关于 m 的函数关系式 S ( m) ; 北 Z ⑵ 应征调 m 为何值处的船只,补给最适宜. C A

O

B



5.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ?R. x

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围;
2 (3)设函数 h( x) ? x ? mx? 4 ,当 a ? 2 时,若 ?x1 ? (0,1) , ?x2 ? [1,2] ,总有

g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

6.已知函数 f ( x) 在其定义域上满足 xf ( x) ? 2af ( x) ? x ? a ? 1(a ? 0) . (1)函数 y ? f ( x) 的图象是否是中心对称图形?若是,请指 出其对称中心(不证明) ;
1 4 (2)当 f ( x) ?[ , ] 时,求 x 的取值范围; 2 5 (3)若 f (0) ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,那么:

①若 0 ? an ?1 ? f (an ) , 正整数 N 满足 n ? N 时, 对所有适合上述条件的数列 {an } ,an ? 恒成立,求最小的 N; ②若 an ?1 ? f (an ) ,求证: a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? ? ? an an?1 ?
3 7

1 10

1.解: (1)∵ cos A ?
1 . 2

2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 4 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)

?

??? ? ???? ??? ? ???? 2 ? , ∴ A ? , AB ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos A ? 3 ? 1 . 2 4

(2) ? ? 2.略

3.解: (1)圆 C 的标准方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 ,圆心为 C (?1,3) ,半径 r ? 4 设过点 M (?5,11) 的切方程为 y ? 11 ? k ( x ? 5) ,即 kx ? y ? 5k ? 11 ? 0 , 则

| ?k ? 3 ? 5k ? 11 | k ?1
2

3 ? 4 ,解得 k ? ? 切线方程为 3x ? 4 y ? 29 ? 0 4

当斜率不存在时, x ? ?5 也符合题意. 故求过点 M (?5,11) 的圆 C 的切线方程 为: 3x ? 4 y ? 29 ? 0 或 x ? ?5 . (2)当直线 AB 的斜率不存在时, S?ABC ? 3 7 , 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 3 ? 2k ? 0 , 圆心 C (?1,3) 到直线 AB 的距离 d ?

3| k | k ?1
2

,线段 AB 的长度 | AB |? 2 16 ? d 2 ,

所以, S?ABC ?

1 d 2 ? (16 ? d 2 ) | AB | d ? d 16 ? d 2 ? d 2 (16 ? d 2 ) ? ? 8, 2 2

2 当且仅当 d ? 8 时取等号,此时

9k 2 ? 8 ,解得 k ? ?2 2 k2 ?1

所以, ?ABC 的最大面积为 8,此时直线 AB 的斜率为 ? 2 2 . 4. 解: ⑴以 O 为原点, OB 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系, 则直线 OZ 方程为 y ? 3x . 设点 A?x 0 , y 0 ? , 则 x 0 ? 13a sin ? ? 13a ?

3 13

? 3a , y 0 ? 13a cos ? ? 13a ?

2 13

? 2a ,

即 A?3a,2a ? ,又 B?m,0? ,所以直线 AB 的方程为 y ? 上面的方程与 y ? 3x 联立得点 C(

2a ? x ? m? . 3a ? m

2am 6am , ) 3m ? 7a 3m ? 7a 1 3am 2 7 ? S (m) ? OB? | y C |? (m ? a) 2 3m ? 7 a 3

? ? ? 7 49a 2 14 ? 49a 2 14 28a 2 ? a ? ? a(2 ? a) ? ⑵ S ( m) ? a ? ( m ? a ) ? 7 3 3 ? 9 3 3 ? 9(m ? a) ? ? 3 ? ?

14 49a 2 时,即 m ? a 时取等号, 7 3 9(m ? a) 3 1 3am 2 7 (m ? a) 答:⑴S 关于 m 的函数关系式? S (m) ? OB? | y C |? 2 3m ? 7 a 3 14 ⑵ 应征调 m ? a 为何值处的船只,补给最适宜. 3
当且仅当 m ?

7 a? 3

5.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ' ( x) ?

x?a , x2

①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ; 故 f ( x) 在 (0,?a) 上单调递减,在 (?a,??) 上单调递增. (Ⅱ) g ( x) ? ax ?

a ? 5 ln x , g ( x) 的定义域为 (0,??) x

g ' ( x) ? a ?

a 5 ax2 ? 5 x ? a ? ? x2 x x2

因为 g ( x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ? (0,??) , g ' ( x) ? 0

? ax2 ? 5x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5x ? a ?

5x ? 5x ? ?a?? 2 ? x ?1 ? x ? 1? max
2

5 而 5x ? 5 ? 5 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, 所以 a ? 2 2 x ?1 x ? 1 2 x
2 2 x?2 ? 5 ln x , g ' ( x) ? 2 x ? 5 x x2 1 1 1 由 g ' ( x) ? 0 得 x ? 或 x ? 2 当 x ? (0, ) 时, g ' ( x) ? 0 ; 当 x ? ( ,1) 时, g ' ( x) ? 0 . 2 2 2 1 所以在 (0,1) 上, g ( x) max ? g ( ) ? ?3 ? 5 ln 2 2

(Ⅲ)当 a ? 2 时, g ( x ) ? 2 x ?

而“ ?x1 ? (0,1) , ?x2 ? [1,2] ,总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立”等价于 “ g ( x) 在 (0,1) 上的最大值不小于 h( x) 在 [1,2] 上的最大值” 而 h( x) 在 [1,2] 上的最大值为 max{ h(1), h(2)}

g ( ) ? h(1) 所以有 ? ? 2

?

1

? ? g ( 1 ) ? h ( 2) ? ? 2

?m ? 8 ? 5 ln 2 ?? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m ? ? m ? 8 ? 5 ln 2 ?? ?? 1 ?? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2m ?m ? (11 ? 5 ln 2) ? 2

所以实 数 m 的取值范围是 [8 ? 5 ln 2, ? ?) 6.解: (1)依题意有 ( x ? 2a) f ( x) ? x ? a ? 1 .若 x ? ?2a ,则 x ? a ?1 ? ?a ?1 ? 0 ,得 a ? ?1 , 这与 a ? 0 矛盾,∴ x ? ?2a ,∴ f ( x) ?
x ? a ?1 a ?1 ? 1? ( x ? ?2a) ,故 y ? f ( x) 的图象是 x ? 2a x ? 2a

中心对称图形,其对称中心为点 (?2a,1) .
? x ? a ?1 ? ? 1 4 ? ( 2)∵ f ( x) ?[ , ] ,∴ ? x ? 2a 2 5 ? x ? a ?1 ? ? ? x ? 2a 1 ? x?2 , ? ? 0, ? x ? ? 2a, 或x ? 2, 2 即 ? x ? 2a 又∵ a ? 0 ,∴ ? ? 4 x ? 3a ? 5 ??2a ? x ? 3a ? 5, , ? ? 0, ? 5 ? x ? 2a
a 1 1 x ? 2? ?1 , .由 0 ? an ?1 ? n 得 an ? 2 an ?1 an x?2

得 x ? [2,3a ? 5] . (3)① 由 f (0) ? 0 得 a ? 1 ,∴ f ( x) ? 即

b 1 1 1 ? 1 ? 2( ? 1) .令 bn ? ? 1 ,则 bn ?1 ? 2bn ,又∵ an ? 0 ,∴ bn ? 0 ,∴ n ?1 ? 2 . an ?1 an an bn
b b2 b3 ? ?? ? n ? 2 ? 2? ? ??? 2 ??? 2 ? 2n . ? b1 b2 bn ?1 ?? n个

∵ a1 ? 1 ,∴ b1 ? 2 ,∴当 n ? 2 时, bn ? b1 ?

【或∵ bn ? 2bn ?1 ,∴ bn ? 2bn ?1 ? 22 bn ?2 ? 23 bn ?3 ? ? ? 2n ?1 b1 ? 2n 】 又∵ b1 ? 2 也符合 bn ? 2n ,∴ bn ? 2n (n ? N* ) ,即 要 使 an ? 整数 N ? 3 . ② 由①知 an ?
1 1 ,∴ an an ?1 ? n (2 ? 1 ) (2 ? 2 ?1
n
n ?1

1 1 ? 1 ? 2 n ,得 an ? n (n ? N* ) . an 2 ?1

1 1 1 恒成立,只需 n ,即 2 n ? 11 ,∴ n ? 3 .故满足题设要求的最小正 ? 10 2 ? 1 10

1 ) ?

1 3 1 1 16 3 ,a1a2 ? ? , a1a2 ? a2 a3 ? ? ? ? , 3 7 3 21 42 7

∴当 n ? 1, 2 时,不等式成立. 证法 1: ∵ an an ?1 ?
1 1 1 1 ? n( n ? n ?1 ) , a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ? ∴当 n ? 3 时, n ?1 (2 ? 1) ? (2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1
n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? an an ?1 ? ? ? 3 ( 3 ? 4 )? 4 ( 4 ? 5 ) ??? n ( n ? n ?1 ) ? ? ? 3 21 2 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( 3 ? 4 )?( 4 ? 5 ) ??? ( n ? n ?1 )] ? ? ? 3 ( ? n ?1 ) 3 3 21 2 7 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 17 18 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 21 56 3 21 42 42 42 7

证法 2: ∵ an an ?1 ?

1 1 1 1 ? n( n ? n ?1 ) , a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ? ∴当 n ? 2 时, n ?1 (2 ? 1) ? (2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1
n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?an an?1 ? ? 2 ( 2 ? )? ( ? ) ??? n ( n ? ) ? ? [( ? 3 2 2 ? 1 23 ?1 23 23 ?1 24 ?1 2 2 ?1 2n ?1 ?1 3 22 22 ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 3 )?( 3 ? ) ??? ( n ? )] ? ? 2 ( ? n ?1 ) ? ? ? ? . 3 2 3 2 ?1 3 12 12 7 23 ? 1 2 ? 1 24 ?1 2 ?1 2n ?1 ?1

证法 3:∵ an an ?1 ?
?an an ?1 ? (

1 1 2 ? n ? n ?1 ,∴当 n ? 2 时, a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ? n ?1 (2 ? 1) ? (2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? n ) ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? ( 1 ? 2 ) ? ( 3 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1

1 1 2 2 1 1 1 2 5 2 2 5 3 ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? ( n ?1 ? n ?1 ) ? ? . 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 2 2 2 2 ?1 12 2 2 ?1 12 7
4

证法 4:当 n ? 2 时,∵

an an ?1 2n ?1 ? 1 1 2n ?1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ,∴ an an ?1 ? ? an ?1 an ? ( )2 ? an ?2 an ?1 an ?1an 2n ?1 ? 2 2 2n ? 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( )n ? 2 ? a2 a3 ? ? ( )n ? 2 ,∴ a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ? ? an an?1 ? ? ( 0 ? ? 2 ? ? ? n?2 ) 2 21 2 3 21 2 2 2 2
1 2 1 1 2 18 3 ? ? (1 ? n ?1 ) ? ? ? ? . 3 21 3 21 42 7 2

证法 5:∵ an an ?1 ?

1 1 1 ? ? (2 n ? 1) ? (2 n ?1 ?1) [2 n ?1 ? (2 n ?1 ?1)] ?[2 n ?(2 n ?1)] 2 n ?1 ?2

n

?

1 ,∴当 2 2 n ?1

1 1 1 1 1 16 1 16 1 18 3 n ? 3 时, a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ? ? ? ( 5 ? 7 ? ? ? 2n ?1 ) ? ? ? ? ? ? . 3 21 2 2 42 24 42 21 42 7 2

综上,对任意的 n ? N * ,都有 a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? ? ? an an?1 ?

3 . 7

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(25)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: ( 1)两数之和为 5 的概率; 2 2 (2)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率.

2. 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BC C1 B1; A1 BE1 (2)设 E 是 B1C1 上的一点,当 的值为多少时, 1

EC1

C1 1 B1 1

A1E∥平面 ADC1?请给出证明.

A D B

C

3.已知圆 C:x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 , 圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 圆心在第二象限, 半径为 2 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方 程。

4.已知数列 f ? n? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n2 ? 2n . (Ⅰ)求数列 f ? n? 通项公式; (Ⅱ) 若 a1 ? f ?1? , 求证数列 ? an ? 1 ? 是等比数列, 并求数列 ?an ? an?1 ? f ? an ? ? n ? N *? , 的前 n 项和 Tn .

?

?

?

?

5.设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x +a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取 值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范 围; (3)是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在, 求出 m 的值,若不存在,说明 理由。

2

2

? .设 ?CBA ? ? , BC ? a ,它的内接正方形 DEFG 的一边 2 EF 在斜边 AB 上,D、G 分别在 AC、BC 上。假设 ?ABC 的面积为 S,正方形 DEFG 的面积为
6.如图,已知 ?ABC 中, ?C ? T 。 (1)用 a,? 表示 ?ABC 的面积 S 和正方形 DEFG 的面积 T; (2)设 f ?? ? ?

T ,试求 f ?? ? 的最大值 P,并判断此时 ?ABC 的形状; S

(3)通过对此题的解答,我们是否可以作如下推断:若需要从一块直角三角形的材料上裁剪 一整块正方形(不得拼接) ,则这块材料的最大利用率要视该直角三角形的具体形状而定, 但最大利用率不会超过第(2 )小题中的结论 P .请分析此推断是否正确,并说明理由. C D G

A

E

F

B

1.解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 ???3 分 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件,???6 分 所以 P(A)=

4 1 ? ; 36 9

???8 分

答:两数之和为 5 的概率为
2 2

1 . 9
???11 分 ???13 分

(2)点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事件 所以 P(C)=

8 2 ? . 36 9
2 2

答:点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率

2.解: (1)在正三棱柱中,C C1⊥平面 ABC,AD ? 平面 ABC, ∴ AD⊥C C1. 又 AD⊥C1D,C C1 交 C1D 于 C1,且 C C1 和 C1D 都在面 BC C1 B1 内, ∴ AD⊥面 BC C1 B1. ???7 分 (2)由(1) ,得 AD⊥BC.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点. 当

2 . 9

???14 分

BE1 ? 1 ,即 E 为 B1C1 的中点时,A1E∥平面 ADC1.???9 分 EC1

事实上,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 BC C1 B1 是矩形,且 D、E 分别是 BC、B1C1 的中 点,所以 B1B∥DE,B1B= DE. 又 B1B∥AA1,且 B1B=AA1, ∴DE∥AA1,且 DE=AA1. 所以四边形 ADE A1 为平行四边形,所以 E A1∥AD. 而 E A1 ? 面 AD C1 内,故 A1E∥平面 AD C1.???14 分 3. 解: (Ⅰ)由 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为 (? ∵圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称 ∴点 (?

D E ,? ) 2 2

D E , ? ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 2 2

D 2 ? E 2 ? 12 ? 2 --②???4 分 即 D+E=-2,--①且 4
又∵圆心 C 在第二象限 由①②解得 D=2,E=-4 ∴所求圆 C 的方程为: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ???? ?7 分
2 2

∴ D ? 0, E ? 0

(Ⅱ)? 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设 l : x ? y ? ?

? 圆 C: (x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? 2 ? 圆心 c(?1, 2) 到切线的距离等于半径 2 ,


?1 ? 2 ? ? ? 2 2

?? ? ?1或? ? 3 。
所求切线方程 x ? y ? 1或x ? y ? 3 ? 0

???????12 分 ???????14 分 ??????? 4 分

4.解: (Ⅰ)n≥2 时, f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1 . n=1 时, f (1) ? S1 ? 3 ,适合上式, ∴ f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ? n ? N *? . (Ⅱ) a1 ? f ?1? ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ? n ? N *? . 即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . ∴数列 ? an ? 1 ? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列.

??? 6 分 ??? 8 分

an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ?1 ? n ? N *? .?????? 14 分
Tn= (22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? n = 2n ? 2 ? 4 ? n . 5. 解: (1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即 m ? 记? ? ??? 16 分

x ln x

x ,则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x)min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ln 2 x
当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e .???????5 分 (2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3] 上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a,在[1,3] 上恰有两个相异实根。 令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x ) ? 1 ?

2 x

当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。 故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ???????10 分

(3)存在 m=

1 ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 2

f '( x) min ? 2 x ?

m 2x2 ? m ? ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 。 x x

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不 合题意; 若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x -m>0,解得 x>
2

m m 或 x<(舍去) 2 2

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2

单调递减区间为(0,

m ) 2
1 1 ),单调递增区间是( ,+∞) 2 2

而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,

故只需

m 1 1 = ,解之得 m= 2 2 2
1 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。????16 分 2

即 当 m=

6.⑴解:∵在△ABC 中,∴∠CBA=θ ,BC= a 。 ∴ AC ? a ? tg? 。 ∴S ?

1 a2 ? ?? ? a ? atg? ? tg? ,? ? ? 0, ? 。 2 2 ? 2?

设正方形 DEFG 边长为 m,则

m , sin ? m ? a。 ∴ BC ? m cos ? ? sin ? a sin ? ∴m ? , 1 ? sin ? ? cos ? a 2 sin 2 ? ? ?? 2 ∴T ? m ? ,? ? ? 0, ? 。???????6 分 2 (1 ? sin ? ? cos? ) ? 2? CG ? m cos ? , BG ?
⑵解:由⑴可得

T a 2 sin 2 ? 2 2sin ? ? cos ? f (? ) ? ? ? 2 ? 2 S (1 ? sin ? cos ? ) a tg? (1 ? sin ? cos)2 sin 2? 1 ? ?? ? ? , ? ? ? 0, ? , 1 2 sin 2? 1 ? 2? sin 2? ? sin 2? ? 1 ? ?1 4 4 sin 2? sin 2? 1 ? ? 1, sin 2? ? ?0,1? 。 令u ? 4 sin 2?

sin 2? 1 ? ? sin 2? ? ?2 ? ?0,1? , 4 sin 2? ∴当 sin 2? ? 1 时,u 取得最小值, 即 f (? ) 取得最大值。 T 4 ∴ f (? ) ? 的最大值为 。 S 9
∵当 此时 sin 2? ? 1 ? ? ?

?

4



∴△ABC 为等腰直角三角形。???????12 分 ⑶答:此推断不正确,若以如图方法裁剪,

S?

a2 tg? 。 2

设正方形边长为 m,

m atg? ? tg? ? m ? , a?m tg? ? 1
2 2

? atg? ? ?T ? m ? ? ? . ? tg? ? 1 ? ? f (? ) ? ? T a 2 tg 2? 2 ? ? S tg 2? ? 2tg? ? 1 a 2 tg? 2tg? tg ? ? 2tg? ? 1
2

?

1 , tg? 1 ? ?1 2 2tg?

? ?? ? ? ? 0, ? . 2 ? ?

tg? 1 ? , tg? ? (0,??) , 2 2tg? tg? 1 ? ? ? tg? ? 1 ? ? ? 时, 当 且仅当 2 2tg? 4
令u ?

u 取得最小值 1。
∴ f (?)最大值为

1 。 2

此时△ABC 为等腰直角三角形。 ∵

1 4 ? 2 9

∴材料的最大利用率超过了

4 , 9

∴该推断并不正确。

???????16 分

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(26)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。

1. 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , | a ? b |? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?

?

?

?

2 5 . 5

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

解: (Ⅰ)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? .
? a ?b ?


2 5 , ? 5

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2? 2 c o s ???? ??

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , 2 2 3 5 4 ? cos ?? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? , 5 13 5 , ?

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?

?

4 3 , ? cos ?? ? ? ? ? . 5 5

cos ? ?

12 13

? sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

4 12 3 ? 5 ? 33 . ? ? ? ?? ? ? ? 5 13 5 ? 13 ? 65

2.如图 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (Ⅰ)PA//平面 BDE; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE.

P E D O

C

证: (Ⅰ)连接 AC、OE,AC ? BD=O, 在△PAC 中,∵E 为 PC 中点,O 为 AC 中点.∴PA // EO, 又∵EO ? 平面 EBD ,PA ? 平面 EBD,∴PA //BDE. (Ⅱ)∵PO ? 底面 ABCD,∴ PO ? BD. 又∵BD ? AC,∴BD ? 平面 PAC.

A

B

又 BD ? 平面 BDE,∴平面 PAC ? 平面 BDE.
1 1 ,公比 q ? 的等比数列, , 4 4

3 .已知数列 {an } 是首项为 a1 ?

设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn .
4

(Ⅰ)求数 列 {bn } 的通项公式 ; (Ⅱ)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn.
n 解(Ⅰ)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) ,

1 4

又 bn ? 3log 1 an ? 2 ,故 bn ? 3n ? 2(n ? N *)
4
n (Ⅱ)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4
两式相减,得

3 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 4 4 4 4 4 4 2 4 2 3n ? 2 1 n ? Sn ? ? ? ( ) (n ? N *) 3 3 4
4.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? 0, y2 ? 0) 在抛物线上,且存在
??? ? ??? ? ??? ? 25 实数 λ ,使 AF ? ? BF ? 0, | AB |? . 4 (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)求△AOB 的外接圆的方程.

解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 x ? ?1 .
??? ? ??? ? ??? ? ∵ AF ? ? BF ? 0 ,∴A,B,F 三点共线.由抛物线的定义,得| AB |= x1 ? x2 ? 2 .

设直线 AB: y ? k ( x ? 1) ,而 k ?

y1 ? y2 , x1 ? x2 , y1 ? 0, y2 ? 0, ? k ? 0. x1 ? x2

? y ? k ( x ? 1), 由? 2 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 . y ? 4 x , ?

? 2(k 2 ? 2) ??? ? , 2(k 2 ? 2) 25 ? x1 ? x2 ? 16 ∴? | AB |= x1 ? x2 ? 2 = .∴ k 2 ? . ?2? k2 2 9 k 4 ? x ? x ? 1, ? 1 2

从而 k ?

4 4 ,故直线 AB 的方程为 y ? ( x ? 1) , 即 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 3 3

?4 x ? 3 y ? 4 ? 0, 1 (Ⅱ)由 ? 2 求得 A(4,4) ,B( ,-1) . 4 ? y ? 4 x,

设△AOB 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则
29 ? ? ?D ? ? 4 , ? F ? 0, ? ? 3 ? 解得 ?16 ? 16 ? 4 D ? 4 E ? F ? 0, ?E ? ? , 4 ?1 ? 1 ? ? 1 ? D ? (? E ) ? F ? 0. ? F ? 0. 4 ?16 ? ?

故△AOB 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ?

29 3 x? y ?0. 4 4

5.已知 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? cx ? 4 , g ( x) ? e x ? e 2? x ? f ( x) ,且 f(x)在 x ? 1 ? 2 处取 3

得极值。 (Ⅰ)试求 c 的值和 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)如右图所示,若函数 y ? f ( x) 的图象在 [ a, b] 连续光 滑, 则有拉格朗日中值定理:即一定存在 m ? (a, b), 使得

f (b ) ? f (a ) , 利用这条性质证明: 函数 y ? g ( x) 图 b?a 象上任意两点的连线斜率不小于 2e ? 4 f ?(m) ?
解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 x ? 4 x ? c ,
' 2

依题意,有 f ' (1 ? 2 ) ? 0 ,即

c ? ?2(1 ? 2 ) 2 ? 4(1 ? 2 ) ? ?2 .

? f ( x) ?
'

2 3 x ? 2 x 2 ? 2 x ? 4 , f ' ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 . 3

令 f ( x) ? 0, 得 x ? 1 ? 2或x ? 1 ? 2 , 从而 f(x)的单调增区间为: (??,1 ? 2 ]及[1 ? 2 ,??) ;
' (Ⅱ) f (c) ?

f (b) ? f (a) ; b?a

g ( x) ? e x ? e 2? x ? f ( x) ? ? e x ? e 2? x ?

2 3 x ? 2x 2 ? 2x ? 4 , 3

g ' ( x) ? e x ? e 2? x ? 2 x 2 ? 4 x ? 2
? ex ?
2 e2 2 x e ? 2( x ? 1) ? 4 ? 2 e ? ? 2 ? 0 ? 4 ? 2e ? 4. ex ex

由 (Ⅱ) 知, 对于函数 y=g(x)图象上任意两点 A、 B, 在 A、 B 之间一定存在一点 C (m, g ' (m)) , 使得 g ' (m) ? K AB ,又 g ' ( x) ? 2e ? 4 ,故有 K AB ? g ' (m) ? 2e ? 4 ,证毕.

6.对 于定义在 R 上的函数 f ( x) ,可以证明点 A ( m , n ) 是 f ( x) 图像的一个对称点的充要 条件是 f (m ? x) ? f (m ? x) ? 2n , x ? R . (1)求函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 图像的一个对称点; (2)函数 f ( x) ? ax ? ?b ? 2? x
3 2

? a, b ? R? 在 R 上是奇函数,求 a,b 满足的条件;并讨论

是否存在常数 a ? ?? 1,1? ,使得 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 2 恒成立? 串题:并讨论是否存在 x ? ?? 1,1? ,使得 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 2 恒成立? (3)试写出函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? m 对称的充要条件(不用证明) ;研究函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a, b ? R ? 图像的对称性。
20. 解: (1)解:设 A ( m , n ) 为函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 图像的一个对称点,则

f (m ? x) ? f (m ? x) ? 2n 对于 x ? R 恒成立.
即 (m ? x)3 ? 3(m ? x)2 ? (m ? x)3 ? 3(m ? x)2 ? 2n 对于 x ? R 恒成立,

?6 m ? 6 ? 0 ?m ? ?1 ?? ?(6m ? 6) x2 ? (2m3 ? 6m2 ? 2n) ? 0 由 ? 3 , 2 ? 2m ? 6m ? 2n ? 0 ? n ? 2
故函数 f ( x) 图像的一个对称点为 ( ? 1 , 2 ) . (2)是否存在常数 a ? ?? 1,1? ,使得 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 2 恒成立?
2
3 2 3 因为 f ( x) 是奇函数,所以 b ? 2 , f ( x) ? ax ,则 ax ? ? x ? 4 x ? 2 恒成立。

特殊值赋值法:取 x ? 1 ,则 a ? 1 ,所以只能取 a ? 1 。
3 2 现在说明当 a ? 1 时,上式不恒成立。即 x ? ? x ? 4 x ? 2 ,

比如取 x ? ?4 ,上式为 ? 64 ? ?16 ? 16 ? 2 ? ?34 不成立。

故不存在符合题意的常数 a 。 串题:并讨论是否存在常数 a ,使得 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?? 1,1? )恒成立? 分析: (1)当 x ? ?? 1,0? 时,则 f ( x) ? ax3 ? ? x2 ? 4 x ? 2 , a ? (

? x 2 ? 4x ? 2 ) min x3

令 g ( x) ?

? x 2 ? 4x ? 2 x 2 ? 8x ? 6 ? , g ( x ) ? ? 0, ? x ? 4 ? 10 x3 x4

? x ? ?? 1,0? 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 单调递增,所以 g ( x) min ? g (?1) ? 7
?a ? 7

? x 2 ? 4x ? 2 ) max (2)当 x ? ?0,1? 时, a ? ( x3
当 x ? (0,4 ? 10)时, g ?( x) ? 0, g ( x) 递增;当 x ? (4 ? 10,1)时, g ?( x) ? 0, g ( x) 递减。

? g ( x) max ? g (4 ? 10) ?
综合上述可知: a ? ?

14 ? 5 10 14 ? 5 10 (该值小于 7)? a ? 27 27

?14 ? 5 10 ? ,7 ? 27 ? ?

(3)函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? m 对称的充要条件是 f (m ? x) ? f (m ? x) ① a ? b ? 0 时, f ( x) ? 0 ? x ? R ? ,其图像关于 x 轴上任意一点成中心对称;关于平行于 y 轴的任意一条直线成轴对称图形;

② a ? 0, b ? 0 时, f ( x) ? bx

2

? x ? R? ,其图像关于 y 轴对称图形;

③ a ? 0, b ? 0 时, f ( x) ? ax ,其图像关于 原点中心对称;
3

④ a ? 0, b ? 0 时, f ( x) ? ax ? bx 的图像不可能是轴对称图形。
3 2

(可以画出函数的草图) 设 A ( m , n ) 为函数 f ( x) ? ax ? bx 图像的一个对称点,则
3 2

f (m ? x) ? f (m ? x) ? 2n 对于 x ? R 恒成立.
即 a(m ? x)
3

? b(m ? x)2 ? a(m ? x)3 ? b(m ? x)2 ? 2n 对于 x ? R 恒成立,

b ? m ? ? ? ?3am ? b ? 0 ? 3a , (3am ? b) x2 ? (am3 ? bm2 ? n) ? 0 由 ? 3 ?? 2 3 ?am ? bm ? n ? 0 ?n ? 2b ? 27 a 2 ?
故函数 f ( x) 图像的一个对称点为 ( ?

b 2b3 , ). 3a 27a 2

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(27)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 m ? (2cos A, 3sin A) ,

??

?? ? ? (1)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; n ? (cos A, ?2cos A) , m ? n ? ?1 .
(2)求

b ? 2c 的值. a cos(60? ? C )

2.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC, ?A1 AC ? 60? , AA 1 ? AC ? BC ? 1,

A1 B ? 2 .
(1)求 证:平面 A 1BC ? 平面 ACC1 A 1; (2)如果 D 为 AB 的中点,求证: BC1 ∥平面 ACD . 1

3.某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围 均是宽为 1 米的小路(阴影部分所示) ,大棚所占地面积为 S 平方米,其中 a : b ? 1: 2 . (1)试用 x, y 表示 S ; (2)若要使 S 最大,则 x, y 的值各为多少?

4.设椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 , a2 2

?

?

直线 l : x ?

a2 a2 ? 2

O 为坐标原点) 与 x 轴交于点 A ,若 OF . 1 ? 2 AF 1 ? 0 (其中

????

???? ?

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、
2

F 为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

5.设函数 f ( x) ? x( x ? 1) .
2

(1)求 f ( x ) 的极值; (2)讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 x ? x ? 2ax ln x 零点的个数,并说明理由;
2

(3) 设函数 g ( x) ? e ? 2 x ? 4 x ? t (t 为常数) , 若使 3 ? f ( x) ? x ? m ? g ( x) 在 [0, ??) 上
x 2
7 3 恒成立的实数 m 有且只有一个,求实数 t 的值. ( e ? 10 )

6.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2011 ,公比 q ? ?

1 ,数列 {an } 前 n 项和记 为 Sn ,前 n 2

项积记为 Tn . (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ; (2)判断 Tn 与 Tn ?1 的大小,并求 n 为何值时, Tn 取得最大值; (3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若 所有这些等差数列的公差按从小 到大的顺序依次记为 d1 , d2 ,?, dn ,则数列 {dn } 为等比数 列.

1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 m ? (2cos A, 3sin A) ,

??

?? ? ? n ? (cos A, ?2cos A) , m ? n ? ?1 .
(1)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积;

(2)求

b ? 2c 的值. a cos(60? ? C )
2

(1)由 2cos A ? 2 3sin Acos A ? ?1 可知, sin ? 2 A ?

? ?

??

? ? 1 ,???? ?4 分 6?

因为 0 ? A ? ? ,所以 2 A ?

?

? ? 11? ?? ? , 6 ? 6 6

? ? ? ? ? ,所以 2 A ? 6 ? 2 ,即 A ? 3 ??6 分 ?

由正弦定理可知: 所以 C ?

a c 1 ? 2? ? ? ,所以 sin C ? ,因为 C ? ? 0, ? sin A sin C 2 ? 3 ?

?
6

,所以 B ?

?
2

????????8 分

所以 S ?ABC ?

1 ?2?2 3 ? 2 3 ????????10 分 2

(2)原式 ?

sin(1200 ? C ) ? 2sin C sin B ? 2sin C sin B ? 2sin C ? ? = 3 3 sin A cos ? 600 ? C ? cos ? 600 ? C ? cos ? 600 ? C ? 2 2

3 3 cos C ? sin C 3 cos 600 ? C 2 2 ? =? ? 2 ????????14 分 3 3 0 0 cos ? 60 ? C ? cos 60 ? C 2 2

? ?

? ?

2.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC, ?A1 AC ? 60? , AA 1 ? AC ? BC ? 1,

A1 B ? 2 .
(1)求证:平面 A 1BC ? 平面 ACC1 A 1; (2)如果 D 为 AB 的中点,求证: BC1 ∥平面 ACD . 1

(1)在

? 1, ????????2 分 ?A1 AC中,?A1 AC ? 600 , AA1 ? AC ? 1, ? AC 1
?A1BC中,BC ? 1, AC ? 1, A1B ? 2,? BC ? AC 1 1 ,????????4 分

又 AA 1 ? BC,? BC ? 平面ACC1 A 1 , ????????6 分

? BC ? 平面A1BC
.?平面A 1BC ? 平面ACC1 A 1 . ????????8 分 (2)连接 AC 1 , 交AC1于O ,连接 DO, 则由 D 为 AB 中点,O 为 AC 1 中点得, OD ∥ BC1 , ????????11 分

OD ? 平面 A1 DC, BC1 ? 平面 A1 DC ,∴ BC1 ∥平面 A1 DC ????????14 分

3.某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均 是宽为 1 米的小路(阴影部分所示) ,大棚所占地面积为 S 平方米,其中 a : b ? 1: 2 . (1)试用 x, y 表示 S ; ( 2)若要使 S 最大,则 x, y 的值各为多少?(1) 由题可得: xy ? 1800, b ? 2a , 则

y ? a ? b ? 3 ? 3a ? 3 ??????????4 分

S ? ( x ? 2)a ? ( x ? 3) ? b ? (3x ? 8)a ? (3x ? 8)
(2)方法一: S ? 1808 ? 3 x ? ?

y ?3 8 ? 1808 ? 3 x ? y .??8 分 3 3

8 1800 4800 ? 1808 ? (3x ? ) ?????10 分 3 x x 4800 ? 1808 ? 2 3x ? ? 1808 ? 240 ? 1568, ?????12 分 x 4800 1800 ? 45 . 当且仅当 3 x ? ,即 x ? 40 时取等号, S 取得最大值.此时 y ? x x
所以当 x ? 40, y ? 45 时, S 取得最大值 ??????????14 分

方法二:设 S ? f ( x) ? 1808 ? (3 x ?

4800 ) ( x ? 0) ,?????10 分 x 4800 3(40 ? x)(40 ? x) f ?( x) ? 2 ? 3 ? ?????12 分 x x2 , 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 40 , 当 0 ? x ? 40 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 40 时, f ?( x) ? 0 . ∴当 x ? 40 时, S 取得最大值.此时 y ? 45 所以当 x ? 40, y ? 45 时, S 取得最大值. ??????????14 分

4.设椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? a2 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,

O 为坐标原点) 若 OF . 1 ? 2 AF 1 ? 0 (其中
(1)求椭圆 M 的方程; ( 2 )设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径
2

????

???? ?

( E 、 F 为直径 的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值. (1)由题设知, A ?

?

? , 0 ? , F1 2 ? a ?2 ? a2
2

?

a2 ? 2,0 ,ZZZxxxxxxkkk?????????1 分

?

? 由 OF 1 ? 2 AF 1 ? 0 ,得 a ? 2 ? 2
2 解得 a ? 6 .

????

????

? a2 ? ? a2 ? 2 ? ? ? .??? ?4 分 2 ? a ?2 ?

所以椭圆 M 的方程为 M :

x2 y2 ? ? 1 .???? ????6 分 6 2
2

(2)方法 1:设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N , 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

?

??

?
?

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP

?

??

??? ?2 ??? ?2 ??? ?2 ? NP ? NF ? NP ?1 .???????? ??10 分

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值. 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P?x0 , y0 ?

2

所以

x0 y 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2
2 2 2 2

2

2

因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 . 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.?????15 分
2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.??????????????????16 分 方法 2:设点 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) , 因为 E , F 的中点坐标 为 (0, 2) ,所以 ?

? x2 ? ? x1 , ???????????6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ??????????7 分

??? ? ??? ?

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .?????????????9 分 2 因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3 .????10 分
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 .???????11 分 ? 6 ? 3 y0 6 2

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.???????????12 分

??? ? ??? ?

因为 y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

?

??? ? ??? ?

?

min

? 11 .??????14 分

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,???????6 分 由?

? y ? kx ? 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

,解得 x ? ?

1 k 2 ?1

.??????????????7 分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y0 ? ,

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .? ???8 分 6 2

2

2

所以 PE ? ?

??? ? ?

1

2 ? k ?1

? x0 ,

? ? 2 ? y0 ? , k 2 ?1 ? k

??? ? ? ? 1 k PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? k 2 ?1 k 2 ?1 ? ?
??9 分 所以

PE ? PF ? x0


2

1 k2 2 2 ? 2 ? (2 ? y 0 ) ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11 k ?1 k ?1
????????????10 分

因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 , 由?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或 y ? 3 .

不妨设, E ? 0,3? , F ? 0,1? .???????? ?12 分 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y0 ? ,

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 ??? ? ??? ? 所以 PE ? ? ? x0 ,3 ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,1 ? y0 ? . ??? ? ??? ? 2 2 2 所以 PE ? PF ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1) ?11.
因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????13 分

2

2

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.?????? ?????14 分

5.设函数 f ( x) ? x( x ? 1) .
2

(1)求 f ( x ) 得极小值;

(2)讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 x2 ? x ? 2ax ln x 零点的个数,并说明理由? (3) 设函数 g ( x) ? e x ? 2 x2 ? 4 x ? t (t 为常数) , 若使 3 ? f ( x) ? x ? m ? g ( x) 在 [0, ??) 上 恒成立的实数 m 有且只有一个,求实数 t 的值. ( e7 ? 103 ) (1) f ( x ) 的极大值为 f ( ) ?

1 3

4 ; f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 0 .????????3 分 27

(2)当 0 ? a ? e 时,函数零点的个数为 0 ; 当 a ? 0 或 a ? e 时,函数零点的个数为 1 ; 当 a ? e 时,函数零点的个数为 2 . (3) t ? 2 .

????????11 分 ????????16 分

6. 已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2011 , 公比 q ? ? 积记为 Tn . (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ;

1 , 数列 {an } 前 n 项和记为 Sn , 前n项 2

(2)判断 Tn 与 Tn ?1 的大小,并求 n 为何值时, Tn 取得最大值; (3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等 差数列; 若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 d1 , d2 ,?, dn , 则数列 {dn } 为等 比数列.

1 a2 [1 ? (? )n ?1 ] 1 1 2 (1)证: Sn ? S1 ? ? S1 ? a1 [1 ? (? )n ?1 ] ≤ S1 ,当 n = 1 时,等号成立 1 3 2 1 ? (? ) 2
??????2 分

1 a3 [1 ? (? )n ? 2 ] 1 1 2 Sn ? S2 ? ? S2 ? a1 [1 ? (? )n ? 2 ] ≥ S2 ,当 n = 2 时,等号成立 1 6 2 1 ? (? ) 2
∴S2≤Sn≤S1. (2)解:
| Tn ?1 | | a1 a2 ? an an ?1 | 2011 ? ?| an ?1 |? n | Tn | | a1 a2 ? an | 2

??????4 分

2011 2011 ? 1 ? 10 ,∴当 n≤10 时,|Tn + 1| > |Tn|,当 n≥11 时,|Tn + 1| < |Tn| 211 2 故|Tn| max = |T11| ??????7 分 又 T10 < 0, ,T11 < 0,T9 > 0,T12 > 0,∴Tn 的最大值是 T9 和 T12 中的较大者





T12 1 ? a10 a11 a12 ? [2011(? )10 ]3 ? 1 , ∴T12 > T9 T9 2

因此当 n = 12 时,Tn 最大.

??????10 分

1 (3)证:∵ an ? 2011(? )n?1 ,∴| an |随 n 增大而减小,an 奇数项均正,偶数项均负 2

①当 k 是奇数时,设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak ?1 , ak ? 2 , ak ,则

a a 1 1 1 , 2ak ?2 ? 2a1 (? )k ?1 ? 1 , ak ?1 ? ak ? a1 (? )k ? a1 (? )k ?1 ? 1 k 2 2 2 2 2k
∴ ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak ?1 , ak ? 2 , ak 成等差数列,

3a 1 1 公差 dk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? a1 [(? )k ?1 ? (? )k ] ? k ?11 2 2 2

??????12 分

②当 k 是偶数时,设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak , ak ? 2 , ak ?1 ,则

a a 1 1 1 , 2ak ? 2 ? 2a1 (? )k ?1 ? ? 1 , ak ?1 ? ak ? a1 (? )k ? a1 (? )k ?1 ? ? 1 k 2 2 2 2 2k
∴ ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak , ak ? 2 , ak ?1 成等差数列,

3a 1 1 公差 dk ? ak ? 2 ? ak ? a1 [(? )k ?1 ? (? )k ?1 ] ? k ?11 2 2 2

??????14 分

综上可知, {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列 ,且

dk ?

3a1 2
k ?1



d n ?1 ? 2 ,∴数列{dn}为等比数列. dn

??????16 分

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(28)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
2 1 . ( 本题满分 14 分 ) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 P( , cos ? ) 在角 ? 的终边上,点

1 2

Q(sin 2 ? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?
⑴求 cos 2? 的值;⑵求 sin(? ? ? ) 的值。

1 2

2.(本题满分 14 分)在 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

A1

C1 B1

AA 1 ? BC, ?A1 AC ? 60? , AA1 ? AC ? BC ? 1,

A1 B ? 2
⑴求证:平面 A 1BC ? 平面 ACC1 A 1; ⑵如果 D 为 AB 的中点,求证 : BC1 ∥平面 ACD . 1
A D B C

3.(本题满分 15 分) 已知三次函数 f ( x ) 的最高次项系数为 a,三个零点分别为 ?1,0,3 .

f ( x) ? 2 x ? 7 a ? 0 有两个相等的实根,求 a 的值; x a 2 ⑵若函数 ? ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 (?? , ) 内单调递减,求 a 的 取值范围. 3
⑴ 若方程 4.(本题满分 15 分) 在 ?ABC 中,三边 a,b,c 满足: a ? a ? 2b ? 2c ? 0, a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 .
2

⑴探求 ?ABC 的最长边; ⑵求 ?ABC 的最大角.

5.(本题满分 16 分) 一束光线从点 A(?1,0) 出发,经过直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上的一点 D 反射后,经过点

B(1,0) .
⑴求以 A,B 为焦点且经过点 D 的椭圆 C 的方程; ⑵过点 B(1,0) 作直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点,以 AP、AQ 为邻边作平行四边形 APRQ, 求对角线 AR 长 度的取值范围。

6.(本题满分 16 分) 对于数列 ??n ? ,若存在常数 M>0,对任意 n ? N ,恒有 | ?n?1 ? ?n | ? | ?n ? ?n?1 | ??
?

? | ?2 ? ?1 |? M ,则称数列 ??n? 为 ? ? 数列.
求证:⑴设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 ?Sn ? 是 ? ? 数列,则 ?an ? 也是 ? ? 数列. ⑵若数列 ?an?,?bn? 都是 ? ? 数列,则 ?anbn ? 也是 ? ? 数列.

1、 (1) cos 2? ?

1 , 3 1 1 2 2 2 (2)由 cos 2? ? 得 sin ? ? , cos ? ? , 3 3 3

3 1 3 1 2 1 4 ,s in? ? ? ? P( , ), Q( , ?1),? sin ? ? , cos ? ? ,cos ? ? 5 10 10 2 3 3 5 ? s in(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
0

1 10

? 1, 中,?A1 AC ? 60 , AA1 ? AC ? 1, ? AC 2、 (1)在 ?A 1 1 AC
?A1BC中,BC ? 1, AC ? 1, A1B ? 2,? BC ? AC 1 1 ,又 AA1 ? BC,? BC ? 平面ACC1 A1,? BC ? 平面A1BC ,
.?平面A 1BC ? 平面ACC1 A 1. (2)连接 AC 1 , 交AC1于O ,连接 DO, 则由 D 为 AB 中点,O 为 AC 1 中点得: OD ∥ BC1 ,

OD ? 平面 A1 DC, BC1 ? 平面 A1 DC ,∴ BC1 ∥平面 A1 DC
3、 (1)依 题意,设 f ( x) ? ax( x ? 1)( x ? 3) ∵
2

f ( x) ? 2 x ? 7 a ? 0 有两个相等实根, x
2

即 ax ? (2a ? 2) x ? 4a ? 0 有两个相等实根,∴ ? ? (2a ? 2) ? 4a ? 4a ? 0 , 即a ?

1 或 a ? ?1 。 3

a 3 a ? ??( x) ? 3ax2 ? 2(2a ? 2) x ? 3a ? 0 在 (?? , ) 恒成立, 3

3 2 (2)?? ( x) ? ax ? (2a ? 2) x ? 3ax 在 (?? , ) 内单调递减,

?a ? 0 ? ? a ? 0或 ? a ? a ? 0或a ? ?1 a a ??( ) ? 3a( )2 ? 2(2a ? 2)( ) ? 3a ? 0 ? 3 3 ? 3
1 ? b ? (a 2 ? 2a ? 3)① ?a 2 ? a ? 2b ? 2c ? 0 ?2b ? 2c ? a 2 ? a ?2b ? 2c ? a 2 ? a ? ? 4 即? ,? ? 即? ? ?a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ?2b ? 2c ? ?a ? 3 ?2b ? 2c ? ?a ? 3 ?c ? 1 (a 2 ? 3)② 4. ? ? 4 1 2 1 b ? (a ? 2a ? 3) ? (a ? 1)(a ? 3) ? 0,? a ? 3 由① 4 4 1 2 1 c ? a ? (a ? 3) ? a ? (a ? 1)(a ? 3) ? 0 4 4

1 1 1 c ? b ? (a 2 ? 3) ? (a 2 ? 2a ? 3) ? (2a ? 6) ? 0 , 4 4 4
(2)由已 知

?(a ? 2b) ? 2c ? a 2 ? (a ? 2b)2 ? 4c 2 ? ?3a 2 ,即a 2 +b2 -c2 +ab=0, ??C=1200 ? ( a ? 2 b ) ? 2 c ? ? 3 ?
5.(1)点 A(?1,0) 关于直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 的对称 点为 A' ( ? ∴ 2a ?| A' B |?

9 2 , ), 5 5

9 2 (1 ? (? ))2 ? (0 ? ) 2 ? 2 2 , c ? 1,?b2 ? 1 ,所以, 5 5
x2 ? y2 ? 1. 2

所求椭圆方程为:

(2) 设直线 l : x ? my ? 1,(m ? R) , P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 )

? x ? my ? 1 ? 2 2 联立方程组 ? x ? 2 y ? 1 ,消去 x 得: (my ? 1)2 ? 2 y 2 ? 2 ,
即 (m2 ? 2) y 2 ? 2my ?1 ? 0

? y1 ? y2 ? ?

2m 2m 2 4 , x ? x ? m ( y ? y ) ? 2 ? ? ?2? 2 1 2 1 2 2 2 m ?2 m ?2 m ?2

??? ? ??? ? ??? ? ? AR ? AP ? AQ ? ( x1 ?1, y1) ? ( x2 ?1, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )
??? ? ? | AR |2 ? ( x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( 4 4m2 2 5 2 ? 2) ? 2 ? 4( 2 ? 2 ? 1) 2 2 2 m ?2 (m ? 2) (m ? 2) (m ? 2)

1 1 ??? ?2 ??? ?2 ??? ? ? t (0 ? t ? ), 2 令m ?2 2 则 | AR | ? 8t ? 20t ? 4,?4 ?| AR | ? 16,2 ?| AR |? 4.
2

6.证明:(1)∵{Sn}为 ? ? 数列,∴存在 M>0, 使

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M
∴ | an | ? | an?1 | ??? | a2 |? M ,又 | an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |?

| an | ?2 | an?1 | ?? ? 2 | a2 | ? | a1 |? 2M ? | a1 | . | an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |? M ,

∴{an}也是 ? ? 数列.

(2) ∵数列{an} {bn}都是 ? ? 数列,∴存在 M, M'使得:

| bn?1 ? bn | ? | bn ? bn?1 | ??? | b2 ? b1 |? M ' 对任意 n ? N 都成立.

考虑 | ai ?1bi ?1 ? aibi |?| ai ?1 (bi ?1 ? bi ) ? bi (ai ?1 ? ai ) |?| ai ?1 || bi ?1 ? bi | ? | bi || ai ?1 ? ai |

| ai ? a1 |?| (ai ? ai ?1 ) ? (ai ?1 ? ai ?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) | ?| ai ? ai ?1 | ? | ai ?1 ? ai ?2 | ??? | a2 ? a1 | ? M
同理, | bi |?| b1 | ?M ' ? M1 ' ∴ | ai ?1bi ?1 ? ai bi |? M1 ∴ | ai |?| a1 | ?M ? M1

?| bi?1 ? bi | ? M '1 ?| ai?1 ? ai | ? M1M '? M1 ' M
i ?1 i ?1

n

n

∴{anbn}也是 ? ? 数列.

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(29)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. π? (1) 若 sin? ?A+6?=2cos A,求 A 的值; 1 (2) 若 cosA= ,b=3c,求 sinC 的值. 3

2. (本小题满分 14 分) 如图,已知四面体 ABCD 的四个面均为锐角三角形,E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、 DA 上的点,BD∥平面 EFGH,且 EH=FG. (1) 求证:HG∥平面 ABC; (2) 请在面 ABD 内过点 E 作一条线段垂直于 AC,并给出证明.

3. (本小题满分 14 分) 如图, △A BC 为一个等腰三角形形状的空地, 腰 CA 的长为 3(百米), 底 AB 的长为 4(百米). 现 决定在该空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形, 设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为 S1 和 S2. (1) 若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; S1 (2) 求 的最小值. S2

4. (本小题满分 16 分)

已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1中心为 O , 右顶点为 M , 过定点 D(t , 0)(t ? ?2) 作直线 l 交椭圆于 A 、 4

B 两点.
(1)若直线 l 与 x 轴垂直,求三角形 OAB 面积的最大值;

6 ,直线 l 的斜率为 1 ,求证: ?AMB ? 90o ; 5 (3)在 x 轴上,是否存在一点 E ,使直线 AE 和 BE 的斜率的乘积为非零常数?若存在, 求出点 E 的坐标和这个常数;若不存在,说明理由.
(2)若 t ?

5. (本小题满分 16 分) x+a 1 1? 已知函数 f(x)= 2 是定义在 R 上的奇函数,其值域为? ?-4,4?. x +b (1) 试求 a、b 的值; (2) 函数 y=g(x)(x∈R)满足: 条件 1: 当 x∈[0,3)时,g(x)=f(x);条件 2: g(x+3)=g(x)lnm(m≠1). ① 求函数 g(x)在 x∈[3,9)上的解析式; ③ 若函数 g(x)在 x∈[0,+∞)上的值域是闭区间,试探求 m 的取值范围,并说明理由.

6. (本题满分 16 分) 对于数列 { xn } , 如果存在一个正整数 m , 使得对 任意的 n( n ? N ? ) 都有 xn ? m ? xn 成 立, 那么就把这样一类数列 { xn } 称作周期为 m 的周期数列,m 的最小值称作数列 { xn } 的最 小正周期,以下简称周期.例如当 xn ? 2 时 { xn } 是周期为 1 的周期数列,当 yn ? sin(

?
2

n) 时

{ yn } 是周期为 4 的周期数列.
(1)设数列 { an } 满足 an ? 2 ? an ?1 ? an ( n ? N ? ) , a1 ? a, a2 ? b ( a , b 不同时为 0) ,求 证:数列 { an } 是周期为 6 的周期数列,并求数列 { an } 的前 2012 项 的和 S2012 ; (2)设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? (an ? 1)2 . ①若 an ? 0 ,试判断数列 { an } 是否为周期数列,并说明理由; ②若 an an ?1 ? 0 ,试判断数列 { an } 是否为周期数列,并说明理由; (3) 设数列 { an } 满足 an ? 2 ? an ?1 ? an ? 1( n ? N ? ) ,a1 ? 2 ,a2 ? 3 , 数列 { an } 的前 n 项 和为 Sn , 试问是否存在实数 p, q , 使对任意的 n ? N 都有 p ? (?1) 求出 p, q 的取值范围;不存在,说明理由.
?

n

Sn ? q 成立, 若存在, n

1.(1)A=60°

(7 分 ) (2)

1 3

(7 分)

2. (1) 证明:因为 BD∥平面 EFGH,平面 BDC∩平面 EFGH=FG,所以 BD∥FG. 同理 BD∥EH,又 EH=FG, 所以四边形 EFGH 为平行四边形, 所以 HG∥EF. 又 HG?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 HG∥平面 ABC. (6 分) (2) 解:在平面 ABC 内过点 E 作 EP⊥AC,且交 AC 于点 P, 在平面 ACD 内过点 P 作 PQ⊥AC,且交 AD 于点 Q, 连结 EQ,则 EQ 即为所求线段. (10 分) EP⊥AC 证明如下: PQ⊥AC

? ? AC⊥平面EPQ ? ? ??EQ⊥AC. ?? ? EQ ? 平面 EPQ ? EP∩PQ=P? ?

(14 分)

3 3. 解:(1) ∵ E 为 AC 中点,∴ AE=CE= . 2 3 3 ∵ +3< +4,∴ F 不在 BC 上.(2 分) 2 2 若 F 在 AB 上,则 AE+AF=3-AE+4-AF+3,∴ AE+AF=5. 7 ∴ AF= < 4.(4 分) 2 2 在△ ABC 中, cosA= .(5 分) 3 9 49 3 7 2 15 在△ AEF 中,EF2=AE2+AF2-2AE· AFcosA= + -2× × × = , 4 4 2 2 3 2 30 30 ∴ EF= .(6 分) 即小路一端 E 为 AC 的中点时小路的长度为 (百米).(7 分) 2 2 (2) 若小道的端点 E、F 点都在两腰上,如图,设 CE=x,CF=y, 则 x+y=5, S1 S△ CAB-S△ CEF S△ CAB = = -1(8 分) S2 S△ CEF S△ CEF 1 CA· CBsinC 2 = -1 1 CE· CFsinC 2 9 9 11 5 = -1≥ -1 = (当 x=y= 时取等号);(10 分) xy 25 2 x+y 2 ? ? 2 若小道的端点 E、F 分别在一腰(不妨设腰 AC)上和底上, 设 AE=x,AF=y,则 x+y=5, S1 S△ ABC-S△ AEF S△ ABC 12 12 23 5 = = -1= -1≥ -1= (当 x=y= 时取等号).(13 分) S2 S△ AEF S△ AEF xy 25 2 x+y 2 ? ? 2 11 答:最小值是 .(14 分) 25 4. 解:设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) . (1)把 x ? t 代入

x2 1 4 ? t2 , ? y 2 ? 1可得: y ? ? 2 4

(2 分) (4 分)

则 S ?OAB ? OD ? AD ?

1 ? t ? 4 ? t 2 ? 1 ,当且仅当 t ? ? 2 时取等号 2

6 ? y ? x? ? 44 48 ? 5 (2)由 ? 2 得 125x2 ? 240 x ? 44 ? 0 , x1 x2 ? , x1 ? x2 ? (6 分) 125 25 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

所以 k AM k BM

6 ?? 6? ? x1 ? ?? x2 ? ? x1 x2 ? 6 ? x1 ? x2 ? ? 36 ? y1 y2 5 ?? 5? 5 25 ? ? ?? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

44 6 48 36 ? ? ? ?64 ? ?1 ? ?AMB ? 90o ? 125 5 25 25 ? 44 48 64 ? 2? ? 4 125 5
(3) (理)当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设直线方程为: y ? k ( x ? t ) ,

(9 分)

? y ? k(x ? t) ? 由 ? x2 消去 y 整理得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2tx ? 4k 2t 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
? ?? ? 0 ? 8k 2 t ? 则 ? x1 ? x2 ? 4k 2 ? 1 ? ? 4k 2t 2 ? 4 x x ? ? 1 2 4k 2 ? 1 ?



又 ?

? y1 ? k ( x1 ? t ) ? y2 ? k ( x2 ? t )



),则 若存在定点 E (m,0) 符合题意,且 k AE ? k BE ? s(s为非零常数
k AE kBE ? y1 y2 k 2 ( x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ) ? ?s ( x1 ? m)( x2 ? m) x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2
(11 分)

把①、②式代入上式整理得
2 2 2 k2 ? ?4s(t ? m) ? (t ? 4)? ? ? s(m ? 4) ? 0 (其中 m、t、s 都是常数)

要使得上式对变量 k (k ? 0) 恒成立,当且仅当
2 2 ? ?4 s (t ? m) ? (t ? 4) ? 0 ,解得 m ? ?2 ? 2 s ( m ? 4) ? 0( s ? 0) ? ?

(13 分)

当 m ? 2 时,定点 E 就是椭圆 的右顶点 (2, 0) ,此时, s ?

t?2 ; 4(t ? 2) t ?2 ; (15 分) 4(t ? 2)

当 m ? ?2 时,定点 E 就是椭圆的左顶点 (-2, 0) ,此时, s ?

?x ? t ? 当直线 l 与 x 轴垂直时,由 ? x 2 ,解得两交点坐标为 2 ? ? y ?1 ?4
A(t ,

t ?2 t?2 1 1 4 ? t 2 ), B(t , ? 4 ? t 2 ) ,可验证: k AE kBE ? 或 2 2 4(t ? 2) 4(t ? 2)

所以,存在一点 E (2, 0) (或 (-2, 0) ) ,使直线 AE 和 BE 的斜率的乘积为

非零常数

t?2 t ?2 (或 ). 4(t ? 2) 4(t ? 2)

(16 分)

5. 解:(1) 由函数 f(x)定义域为 R,∴ b>0. 又 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x)对 x∈R 恒成立,得 a=0.(2 分) x 因为 y=f(x)= 2 的定义域为 R,所以方程 yx2-x+by=0 在 R 上有解. x +b 1 1 1 1 1 1 - , ?,所以 当 y≠0 时,由 Δ≥0,得- ≤y≤ ,而 f(x)的值域为? = ,解得 b=4; 4 4 ? ? 2 b 2 b 2 b 4 当 y=0 时,得 x=0,可知 b=4 符合题意. 所以 b=4.(5 分) x (2) ① 因为当 x∈[0,3)时,g(x)=f(x)= 2 , x +4 ?x-3? ln m 所以当 x∈[3,6)时,g(x)=g(x-3)lnm= ;(6 分) 2 ?x-3? +4 ?x-6? ? ln m?2 当 x∈[6,9)时,g(x)=g(x-6)(lnm)2= , ?x-6?2+4 ?x-3? ln m ? ??x-3? +4,x∈[3,6?, 故 g(x)=? ?x-6? ? ln m? ? ? ?x-6? +4 ,x∈[6,9? .
2 2 2

(9 分)

x 1 ② 因为当 x∈[0,3)时,g(x)= 2 在 x=2 处取得最大值为 ,在 x=0 处取得最小值为 0, 4 x +4 ?x-3n? ? ln m?n 所以当 3n≤x<3n+3(n≥0,n∈Z)时,g(x)= 分别在 x=3n+2 和 x=3n 处 2 ?x-3n? +4 n ? ln m? 取得最值为 与 0. (11 分) 4 ? ln m?2n (ⅰ) 当|lnm|>1 时,g(6n+2)= 的值趋向无穷大,从而 g(x)的值域不为闭区间; 4 (ⅱ) 当 lnm=1 时,由 g(x+3)=g(x)得 g(x)是以 3 为周期的函数,从而 g(x)的值域为闭区间 ?0,1?; ? 4? (ⅲ) 当 lnm=-1 时,由 g(x+3)=-g(x)得 g(x+6)=g(x),得 g(x)是以 6 为周期的函数, -?x-3? 1 ? ? 1 1? 且当 x∈[3,6)时 g(x)= 值域为? ?-4,0?,从而 g(x)的值域为闭区间?-4,4?; ?x-3?2+4 1 ? ln m?n 1 0, ?; (ⅳ) 当 0<lnm<1 时,由 g(3n+2)= < ,得 g(x)的值域为闭区间? ? 4? 4 4 lnm 1? lnm ? ln m?n 1 (ⅴ) 当-1<lnm<0 时, 由 ≤g(3n+2)= ≤ , 从而 g(x)的值域为闭区间? ?- 4 ,4?. 4 4 4 (15 分)

1 ? 综上知,当 m∈? ?e,1?∪(1,e],即 0<lnm≤1 或-1≤lnm<0 时 ,g(x)的值域为闭区间。 (16 分) 6. (1)证明: ?

? an ? 2 ? an ?1 ? an ? an ?3 ? ?an 又 an ? 6 ? ?an ?3 ? an , ?an ? 3 ? an ? 2 ? an ?1

所以 { a n } 是周期为 6 的周期数列,??????2 分

an ?3 ? ?an ? an?3 ? an ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 0 . 所以 S2012 ? 335? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ) ? a1 ? a2 ? a ? b .???4 分
解: (2)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ,又 4 S1 ? ( a1 ? 1) 2 得 a1 ? 1 .???6 分 当 n ? 2 时,

4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? (an ? 1) 2 ? (an?1 ? 1) 2 ? (an ? 1) 2 ? (an?1 ? 1) 2 , 即 an ? an?1 ? 2 或 an ? ?an?1 (n ? 2) .????6 分 ①由 an ? 0 有 an ? an?1 ? 2 (n ? 2) ,则 { an } 为等差数列,即 an ? 2n ? 1,
由于对任意的 n 都有 an ? m ? an ,所以 { an } 不是周期数 列.????8 分 ②由 an an ?1 ? 0 有 an ? ?an?1 (n ? 2) ,数列 { a n } 为等比数列,即 an ? (?1)n ?1 , 存在 m ? 2 使得 an ? 2 ? an 对任意 n ? N 都成立,
?

即当 an an ?1 ? 0 时 { a n } 是周期为 2 的周期数列.????10 分 (3)假设存在 p, q ,满足题设.

? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 1 ? an ? 3 ? an ? 2 又 an ? 6 ? an ?3 ? 2 即 an ? 6 ? an , ?an ? 3 ? an ? 2 ? an ?1 ? 1 所以 { a n } 是周期为 6 的周期数列, { a n } 的前 6 项分别为 2,3,2,0,?1,0 ,?12 分 ( n ? 6k ) ? n ? n ? 1 (n ? 1或6k ? 1) ? ? 则 Sn ? ? (k ?N ) ,??14 分 n ? 3 ( n ? 2 或 6 k ? 2 ) ? ? ? n ? 4 (n ? 6k-3) n S 当 n ? 6k 时, (?1) n ? 1 , n 3 5 n S n S 当 n ? 2或6k ? 2 时, ( ?1) n ? 1 ? ? 1 ? ( ?1) n ? , n n n 2 S 1 n n S 当 n ? 1或6k ? 1 时, ( ?1) n ? ?1 ? ? ?2 ? (?1) n ? ?1 , n n n S 4 7 S n n 当 n ? 6k ? 3 时, (?1) n ? ?1 ? ? ? ? (?1) n ? ?1 , n n 3 n 7 5 7 5 n S n S 所以 ? ? (?1) n ? ,为使 p ? (?1) n ? q 恒成立,只要 p ? ? , q ? 即可, 3 n 2 n 3 2 7 5 综上,假设存在 p, q ,满足题设, p ? ? , q ? .??16 分 3 2
于是 ?

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(30)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1.(本小题满分 14 分) 设函数 f(x)= a ? b ,其中向量 a =(2cosx,1), b =(cosx, 3 sin2x),x∈R. π (1) 若 f(x)=0 且 x∈(-2,0), 求 tan2x; (2) 设△ABC 的三边 a,b,c 依次成等比数列,试求 f(B)的取值范围.

? ?

2.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,且 AB= 2,BC=1,E,F 分别为 AB,PC 中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)若平面 PAC⊥平面 ABCD,求证:平面 PAC⊥平面 PDE.
P

F

D

C

A

E (第 16 题)

B

3. (本小题满分 14 分) 某商店经销一种青奥会纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务部 门上交 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的日售价为 x 元(35≤x≤41) ,根据 x 市场调查, 日销售量与 e ( e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为 40 元时, 日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值.

4.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值 ? 3 ? c ,其中 a,b,c 为常数。 (1)试确定 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调增区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f(x)≥-(c-1)4+(c-1)2-c+9 恒成立,求 c 的取值范围.

5.(本小题满 分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,A(2a,0),B(a,0),a 为非零常数,动点 P 满足 PA= 2PB,记 点 P 的轨迹曲线为 C. (1)求曲线 C 的方程; → → (2)曲线 C 上不同两点 Q (x1,y1),R (x2,y2)满足 AR =λ AQ ,点 S 为 R 关于 x 轴的对称点. ①试用 λ 表示 x1,x2,并求 λ 的取值范围; ②当 λ 变化时,x 轴上是否存在定点 T,使 S,T,Q 三点共线,证明你的结论.

6.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,Sn= tan+1 (n∈N+,t∈R). (1)求数列{Sn}的通项公式; 2)求数列{nan}的前 n 项和为 Tn.

1. 解:f(x)= a ? b =(2cosx,1) (cosx, (1) ∵f(x)= 0,∴sin(2x+ (2) ∵a,b,c 成

? ?

3sin2x)=2cos2x+ 3sin2x= 3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π 5π π π ? 1 ? ? π )=-2,x∈(-2,0) ∴2x+ ∈(- 6 ,6) ∴2x+ =-6,∴x=-6,tan2x=- 3 6 6 6 等 比 数 列 , ∴b2=ac 由 余 弦 定 理

? )+1 6



∴cosB= ∴0<B≤

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2 ac ? ac 1 = ≥ = 2 ac 2 2ac 2ac


? 3

? ? 5? <2B+ ≤ 6 6 6



1 ? ≤sin(2B+ )≤1,∴2≤f(B)≤3 2 6

P

2.证明: (1)方法一:取线段 PD 的中点 M,连结 FM,AM. 1 因为 F 为 PC 的中点,所以 FM∥CD,且 FM=2CD. 因为四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 1 所以 EA∥CD,且 EA=2CD. 所以 FM∥EA,且 FM=EA. 所以四边形 AEFM 为平行四边形. 所以 EF∥AM. ????????? 5 分
A E B D C D F M P C F

A

E

B

又 AM?平面 PAD ,EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. ??? 2 分 方法二:连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N,连结 PN. 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD∥BC, 所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE. 又 AE=EB,所以△CEB≌△NEA.所以 CE=NE. 又 F 为 PC 的中点,所以 EF∥NP.???? 5 分 又 NP?平面 PAD,EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 方法三:取 CD 的中点 Q,连结 FQ,EQ. 在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,所以 AE=DQ,且 AE∥DQ. 所以四边形 AEQD 为平行四边形,所以 EQ∥AD. 又 AD?平面 PAD,EQ?平面 PAD,所以 EQ∥平面 PAD. 因为 Q,F 分别为 CD,CP 的中点,所以 FQ∥PD. 又 PD?平面 PAD,FQ?平面 PAD,所以 FQ∥平面 PAD. A D
N

P

F

Q E B

C

????? 2 分

??????2 分

又 FQ,EQ?平面 EQF,FQ∩EQ=Q,所以平面 EQF∥平面 PAD.????? 3 分 因为 EF?平面 EQF,所以 EF∥平面 PAD. ???????????? 2 分

(2)设 AC,DE 相交于 G. DA CD 在矩形 ABCD 中,因为 AB= 2BC,E 为 AB 的中点.所以 AE =DA= 2. 又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE=∠DCA. 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,所以∠DCA+∠CDE=90°. 由△DGC 的内角和为 180°,得∠DGC=90°.即 DE⊥AC. ????????? 2 分 因为平面 PAC⊥平面 ABCD 因为 DE?平面 ABCD,所以 DE⊥平面 PAC, ?????????????? 3 分 又 DE?平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. ?????????? 2分

说明:第一问,方法 1 和 2,下结论时:不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行,一 律扣 2 分;方法 3,直接由线线平行→面面平行,扣 3 分; 第二问,不用平几证明 DE⊥AC,扣 2 分;

3.

4.解: (1)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 .
3 4 又对 f ( x ) 求导得 f ' ? x ? ? 4ax ln x ? ax ?

1 ? 4bx 3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 . (2)由(1)知 f ?( x) ? 48x3 ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 因此 f ( x ) 的单调递增区间为 (1 ,∞ ? ). (3)由(2)知, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值, 要使 f(x)≥-(c-1)4+(c-1)2-c+9( x ? 0 )恒成立, 即-3-c(≥-(c-1)4+(c-1)2-c+9( x ? 0 )恒成立, 解得 c∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 5.解 (1)设点 P 坐标为(x,y).由 PA= 2PB,得 (x-2a)2+y2= 2 (x-a)2+y2,平方整 理,得 x2+y2=2a2. 所以曲线 C 的方程为 x2+y2=2a2. → → → → (2)① AQ =(x1-2a,y1), AR =(x2-2a,y2),因为 AQ =λ AR ,
?x2-2a=λ(x1-2a) ?x2-λx1=2a (1-λ)?① 且? ,即? y = λ y . ? 2 ? y2=λy1.?② 1 ?x12+y12=2a2,?③ 因为 Q,R 在曲线 C 上,所以? 2 2 2 ?x2 +y2 =2a .?④

消去 y1,y2,得 x2+λx1=a (1+λ),?⑤ 3-λ 3λ-1 由①,⑤得 x1= 2 a,x2= 2λ a. 3-λ 3λ-1 因为- 2a≤x1,x2≤ 2a,所以- 2a≤ 2 a≤ 2a,- 2a≤ 2λ a≤ 2a,且 λ>0 解得 3-2 2≤λ≤3+2 2. 又 Q,R 不重合,所以 λ≠1. 故 λ 的取值范围为[3-2 2,1)∪(1,3+2 2]. ②存在符合题意的点 T(a,0) ,证明如下: → → TS =(x2-a,-y2), TQ =(x1-a,y1), → → 要证明 S,T,Q 三点共线,只要证明 TQ ∥ TS ,即(x2-a) y1-(x1-a)(-y2)=0 因为 y2=λy1.又只要(x2-a) y1+λ(x1-a)y1=0, 若 y1=0,则 y2=0,成立, 若 y1≠0,只要 x2+λx1-a(1+λ)=0,由⑤知,此式成立. 所以存在点 T(a,0) ,使 S,T,Q 三点共线. 探究方法:假设存在符合题意的点 T(m,0) . → → → → 则 TS =(x2-m,-y2), TQ =(x1-m,y1),由 S,T,Q 三点共线,得 TQ ∥ TS , 从而(x2-m) y1=-y2(x1-m),即(x2-m) y1+λy1(x1-m)=0, 若 y1=0,则 y2=0,成立, 若 y1≠0,则(x2-m)+λ(x1-m)=0,即 x2+λx1-m (1+λ)=0,

又 x2+λx1=a (1+λ),所以(a-m)(1+λ)=0,因为 A 在圆 C 之外,所以 λ>0,所以 m=a. 6.(1)∵Sn= tan+1,∴S1= a1 =ta2=1,∴t≠0. t+1 ∴Sn= t(Sn+1-Sn) ,∴Sn+1= t Sn, ∴当 t=-1 时,Sn+1=0,S1= a1=1, t+1 当 t≠-1 时,{Sn}为等比数列,Sn=( t )n-1,

?1 ? 综上 Sn=? t+1 n-1 ?( t ) ?

n=1, n≥2. (1)

(2)∵Tn=a1+ 2a2+3a3+??+nan. ∴T1=1 t+1 1 n≥2 时,又由(1)知 an+1= t an,a2= t t+1 t+1 ∴ t Tn= t a1+ (1)-(2)得 1 1

2a3 +3a4+??+(n-1)an+nan+1 (2)

- t Tn=- t +2a2+a3+??+an- nan+1
1 n =- t -a1+a2+(a1+a2+a3+??+an)-nan+1 =-1+Sn- n(Sn+1-Sn)=-1+Sn- t Sn t-n t-n t+1 = t Sn-1= t ( t )n-1-1 t+1 ∴Tn=(n-t)( t )n-1+t t+1 当 t≠-1 时,T1=1 也适合上式,故 Tn=(n-t)( t )n-1+t 当 t=-1 时,T1=1,Tn+1=-1. 解毕. n=1, n≥2. (n∈N+).

?1 ? t+1 也可综合为:Tn=? (n-t)( t )n-1+t ? ?
另解:先求出 an 再求 Sn

1 ? ?1 分 t=-1 和 t≠-1 情形,再综合 a =? t 1 t+1 ? ?t( t )
n

n=1, n≥2,
n-2

n≥3.

再回到 Sn 和 Tn


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