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郑州智林学校高二12月考试数学


郑州智林学校高二12月考试数学 一、选择题(本题共12个小题, 每题5分共60分,每题只有一个正确答案) 1.在等差数列{an}中,若 a3 ? 2, a5 ? 8, ,则 a 9 等于 ( A.16 2.在 B.18 C.20 D.22 ,若 A ? 60 0 , B ? 45 0 , a ? )

中,角 A、B、C 所对的边长分别为 ) B. 2 C. 3

6则

b ?(
A. 5

D. 2 ( )

3.如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题,那么 A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题“非 p” 与命题“非 q”中至少有一个是假命题 C.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题

A.120

B.99

C.11

D.121 ) C. ) D.

5.若 a ? b ,则下列不等式中正确的是( A. 6.不等式

1 1 ? a b

B. 的解集是(

A.

B.

C.

D. []

?x ? y ? 0 ? 7. 已知不等式组 ? x ? y ? 0 表示平面区域的面积为 4,点 P( x, y ) 在所给的平面区域内,则 ?x ? a ?

z ? 2 x ? y 的最大值为(

) C.6 D.8

A.2

B.4

2 2 8 .不等式 x ? px ? q ? 0 的解集是 ? x | 2 ? x ? 3? ,则不等式 qx ? px ? 1 ? 0 的解集是

(

)

A、 ? ??, ?

? ?

1? ? 1 ? ? ? ? ? , ?? ? 2? ? 3 ?

B、 ? ?

? 1 1? ,? ? ? 2 3?

C、 ? ??, ? ? ? , ?? ? 9.对任意的实数

? ?

1? 2?

?1 ?3

? ?

D、 ?

?1 1? , ? ? 2 3?
2 2

,直线 y ? mx ? 1 与圆 x ? y ? 4 的位置关系一定是( B.相交且直线过圆心 D.相离 的左焦点为 ,顶点为 ,



A.相切 C.相交且直线不过圆心 10.双曲线 则分别以线段 (A)相交
2

是该双曲线右支上任意一点,

为直径的两圆一定( (B)内切
2

) (D)相离 )

(C)外切

11. 不等 式 (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为全体实数, 则实数 a 的取值范围是 (

A. ?

3 ? a ?1 5 3 C. ? ? a ? 1 5

B. ?

3 ? a ?1 5

D. a ? ?1或a ? 1

12.椭圆

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2 3 ) 与渐近线为 x ? 2 y ? 0 的双曲线有相同的焦点 F1 , F2 , 12 b 2
)

P 为它们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 90 ? ,则椭圆的离心率为(
(D) 15 6 6 6 6 二、填空题(每题5分共20分。把答案填在答题纸的横线上) (A) 6 (B) 21 (C) 30

2 2 13.设 m 为常数,若点 F(5,0)是双曲线 x ? y ? 1 的一个焦点,则 m =



9

m

14.向量 a=(0,2,1) ,b=(-1,1,-2) ,则 a 与 b 的夹角为 15.如图,120° 的二面角的棱上有 A,B 两点,AC,BD 分别是在这个二面角的两个半平面 内垂直于 AB 的线段,且 AB=4 cm ,AC=6 cm,BD=8 cm,则 CD 的长为________.

16. 若 x ?

5 1 ,则-( 4 x ? )的最大值为 4 4x ? 5

.

三、解答题 17.(10 分)在 ΔABC 中 ,已知, A ? 30? , B ? 30?, c ? 3 解三角形 ABC。

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 19.设 a 是实数,有下列两个命题:

p : 空间两点 A(?2, ? 2a, 7) 与 B (a ? 1, a ? 4, 2) 的距离 | AB |? 3 10 .

a2 q : 抛物线 y ? 4 x 上的点 M ( , a ) 到其焦点 F 的距离 | MF |? 2 . 4
2

已知“

? p ”和“ p ? q ”都为假命题,求 a 的取值范围.

20. 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BC⊥侧面 AA1C1C, AC=BC=1, CC1=2, ∠CAA1= D、E 分别为 AA1、A1C 的中点.



(1)求证:A1C⊥平面 ABC; (2)求平面 BDE 与平面 ABC 所成角的余弦值.

21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 项 n 和 为 S n 且 有 a1 ? 2 ,

3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2, n ? N? )
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2n-1)a n 求数列 ?bn ? 的前项 n 和 Tn . (Ⅱ)令 bn ?
22. (本小题满分 12 分) 设同时满足条件: ① 叫 “ 嘉文 ” 数列 . 已知数列 ; ② ( ,

是与

无关的常数 ) 的无穷数列

的前

项和

满足:

( (Ⅰ)求

为常数,且



) .

的通项公式;

(Ⅱ)设 数列.

,若数列

为等比数列,求

的值,并证明此时

为“嘉文”

版权所有:()

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) CBDAD DCBCB BC 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.16;14.90°

16.-7 三、解答题 17.解:a=b=1,C= 120° 18.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)× (-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, n[1+ -2n 所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N,故 k=7. 19.【答案】

? p 和 p ? q 都是假命题,? p 为真命题, q 为假命题. …2 分

??2 ? a ? 2 .……………………10 分
故所求 a 的取值范围为 [?2,1) . ………………………………12 分

20.解: (1)证明:∵BC⊥侧面 AA1C1C,A1C 在面 AA1C1C 内,∴BC⊥A1C. 2 分 在△AA1C 中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1=

?

3



由余弦定理得 A1C2=AC2+ AA12 -2AC?AA1cos∠CAA1=12+22-2× 1× 2× cos ∴A1C= 3 ∴AC2+A1C2=AA12 ∴AC⊥A1C

?
3

=3 , 5分 6分

∴A1C⊥平面 ABC. (2)由(Ⅰ)知,CA,CA1,CB 两两垂直

?1 3 y?z ?0 ? x? 2 ?2 2 设平面 BDE 的法向 量为 n =(x,y,z),则有 ? 令 z=1,则 x=0,y= 3 3 ? y?z ?0 ? ? 2
∴ n =(0,

2 ,1) 3

9分

∵A1C⊥平面 ABC ∴ cos ? n, CA1 ??

∴ CA1 =(0, 3 ,0)是平面 ABC 的一个法向量

10 分

n ? CA1 n CA1

?

2 7 7
2 7 . 7
12 分

∴平面 BDE 与 ABC 所成锐二面角的余弦值为

20、.解: (1)由正弦定理, 1 ? 即

tan A 2c sin A cos B 2sin C , ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

sin( A ? B) 2sin C sin B cos A ? sin A cos B 2sin C ,∴ , ? ? sin B cos A sin B sin B cos A sin B
π 1 .∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? . 3 2

∴ cos A ?

(2)∵ m ? n ? (cos B,2cos2 ∴ m?n ∵A?

?

?

C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2

2

? cos 2 B ? cos 2 C ? cos 2 B ? cos 2 (

2? 1 ? ? B) ? 1 ? sin( 2 B ? ) 3 2 6

π 2π 2π π π 7π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) .从而 ? ? 2B ? ? . 3 3 3 6 6 6

2 2 1 π π ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时, m ? n 取得最小值 .所以, m ? n . ? min 2 3 6 2 21.(1)由 3Sn ? 5an ? an?1 +3Sn?1 得 3an ? 5an ? an? ( 1 n ? 2, n ? N? )……………2 分

?

?

?

an 1 ? an ?1 2

? 数列 ?an ? 是以 2 为首项

1 为公比的等比数列 2

? an = 2 2 ? n ………………………………………………5 分
(2) bn ? (2n ?1)22?n …………………………………………6 分

? Tn ? 1? 2 ? 3? 20 ? 5 ? 2?1 ? ... ? (2n ?1)22?n

①……………8 分

1 Tn ? 1? 20 ? 3 ? 2?1 ? 5 ? 2?2 ? ... ? (2n ? 1)21? n ② 2 1 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 20 ? 2 ? 2 ?1 ? ... ? 2 ? 2 2?n ? (2n ? 1)21? n ①-②得 2 1 ? ? = 2 ? 4 ?1 ? ( ) n ?1 ? ? (2n ? 1)21? n …………………………11 分 2 ? ? ? Tn ? 12 ? (2n ? 3)22?n ………………12 分
22.【答案】 (I)因为 所以 ,



时,

,

,即

以为 a 首项,a 为公比

的等比数列, ∴ .

(II)由(I)知,





为等比数列,则有

,而





, 解得

, 再将

代入得:

, 其为等比数列,

所 以

成 立 。 由 于 ①

, 所 以

也成立



,故存在



所以符合①②,故

为“嘉文”数列。


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