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高一数学(人教A版)必修1课件:指数函数性质的应用


数学人教A版 ·必修1

第二章
基本初等函数(Ⅰ)

第二章
2.1 指 数 函 数

第二章
2.1.2 指数函数及其性质

第二章
第 2 课时 指数函数性质的应用

温故知新 1.指数函数的定义
y=ax(a>0,a≠1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量. 函数

2.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

图象

a>1 定义域 性 质 值域 关键点 函数值 的变化

0<a<1 R (0,+∞) 过定点 (0,1) 当 x>0 时, y>1 ;当 x>0 时,0<y<1 ; 当 x<0, 0<y<1 . 当 x<0 时, y>1 .

a>1 性 质

0<a<1

单调性 是 R 上的 增函数 是 R 上的 减函数 奇偶性 非奇非偶函数

对称性 函数 y=a-x 与 y=ax 的图象关于 y 轴对称.

3.在同一坐标系中,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a,b,c, d>0,≠1),如图所示,则 a,b,c,d 的大小顺序为
c>d>1>a>b>0

.

新课引入 我们在学习指数函数的性质时,是利用指数函数的图象 的特点并且是利用类比归纳得出的,对于一些指数型的复合 函数,是否也根据图象的特点去得出呢?如何求指数型复合 函数的单调区间呢?

自主预习 问题 1:(1)指出下列函数的单调区间: ①y=x2;②y=2x.

解:(1)y=x2 在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增. (2)y=2 在(-∞,+∞)上递增,进一步探究 y=2 的单 调区间,设 y=2u,u=x2. ∵u1<u2,f(x)=2x 在 R 上是单调递增函数, ∴2 <2 ,即 2 <2 ,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)=2 在(0,+∞)内是单调递增函数.
x2 u1 u2 x2 1 x2 2
x

x2

同理,在(-∞,0)内任取 x1<x2,则有 u1>u2, 即有 2 >2 ,∴2 >2 ,∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)=2 在(-∞,0)上是单调递减函数.
x2 u1 u2 x2 1 x2 2

总结:函数 y=2x 在定义域(-∞,+∞)上为增函数,如 果 x=f(t)在 t∈[M,N]上为增函数,则函数 y=2f(t)在 t∈[M, N]上为 增函数 ;如果 x=f(t)在 t∈[M,N]上为减函数,则函 数 y=2f(t)在 t∈[M,N]上为 减函数. 上面的 y=2x 改为 y=ax(0<a<1), 其余不变, 相关结论为:
y=af(t)在[M,N]的增减性与 f(t)的增减性恰好相反



【归纳提升】 求形如 y=af(x)(a>1)的函数的值域. 一般来说,函数 y=af(x)形式的定义域就是 f(x)的定义域, 其值域不但考虑 f(x)的值域,还要考虑 a>1 还是 0<a<1.如 f(x) ∈[-4,+∞)时,若 a>1,则 af(x)∈[a-4,+∞),若 0<a<1, 则 af(x)∈(0,a-4].

函数 y=2

-x2+ax-1

在区间(-∞,3)内递增,则 a 的取值范

围是________.
[答案] [6,+∞)

[解析]

a 2 a2 对 u=-x2+ax-1=-(x- ) + -1, 增区间为 2 4

a a a (-∞, ], 的增区间为(-∞, ]. ∴a≥6. 2 ∴y 2 由题意知 3≤2,

问题 2:求下列函数的值域. (1)y=ax(a>1); (2)f(x)=x2+2x+2(x>0); (3)f(x)=(ax)2+2ax+2(a>0,且 a≠1).

探究:(1)y=ax(a>1)的值域为(0,+∞); (2)y=x2+2x+2=(x+1)2+1,对称轴为 x=-1. 函数在(0,+∞)上为增函数,x=0 时,ymin=2(此处取不 到). ∴y=x2+2x+2 的值域为(2,+∞).

(3)设 ax=t(t>0),换元后变为 f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1,f(t)>2, ∴f(x)=(ax)2+2ax+2 的值域为(2,+∞). 通过换元将 f(x)=(ax)2+2ax+2 化为二次函数的形式再求 二次函数在(0,+∞)上的值域,问题便得到解决.

总结:一个函数的解析式中若含有指数式,即这个指数 式为中间变量, 这类题通常的解法是用换元法作变量替换. 如 y=4x+1,设 4x=t,则 y=t+1,容易出错和忽略的是 t 的范 围应该是 4x 的值域,而不是 t∈R,应该是 t>0,也就是要注 意换元后新的自变量的 取值范围 .

求 y=4x+2x 1+1 的值域.



[解析]

y=4x+2x 1+1=(2x)2+2·x+1=(2x+1)2. 2



∵2x>0,∴2x+1>1,∴(2x+1)2>1. ∴y=4x+2x+1+1 的值域为{y|y>1}.

1

单调性的判断

学法指导:涉及复合函数的单调性问题,首先要弄清 函数是由哪些基本函数复合得到的,它们的单调性如何,根 据“同增异减”来判断复合函数的单调性,函数的单调性一 般要用定义进行严格证明.

[例 1] [分析]

1 x -2x 讨论函数 f(x)=( ) 的单调性,并求其值域. 3
2

1 x -2x 分析一:对于 x∈R,( ) >0 恒成立,因此可 3
2

以通过作商讨论函数 f(x)的单调区间. 分析二:此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函 数,因此可以通过逐层讨论它的单调性,综合得一以结果.

[解析]

1 x -6x+17 求函数 f(x)=(2) 的定义域、值域、单调区间.
2

[解析]

函数 f(x)的定义域为 R.令 t=x2-6x+17,则 f(t)

1t =(2) .∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8 在(-∞,3)上是减函数, 1t 而 f(t)=( ) 在其定义域内是减函数,∴函数 f(x)在(-∞,3) 2

上为增函数.又∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8 在[3,+∞)上 1t 为减函数.∵t=x -6x+17=(x-3) +8≥8,而 f(t)=(2) 在
2 2

1 x -6x+17 1 8 1 其定义域内是减函数,∴f(x)=( ) ≤( ) = ,∴函数 2 2 256
2

1 f(x)的值域为(0,256].

2

函数的最值

[例 2]

已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2×3x 1-9x 的



最大值和最小值. [分析] 令 ax=t,则函数 f(x)=A·2x+B·x+C 的最值问 a a

题转化为二次函数在区间上的最值问题.

[解析]

1 设 t=3 ,∵-1≤x≤2,∴ ≤t≤9,则 f(x)=g(t) 3
x

=-(t-3)2+12,故当 t=3,即 x=1 时,f(x)取得最大值 12, 当 t=9,即 x=2 时,f(x)取得最小值-24.

规律总结:类似于本题中的函数是很常见的一种函数, 用换元法解法非常简便(令 t=ax),但要注意换元后新变量 t 的取值范围.

求函数 y=4x-2x+1-5 在[-1,2]上的值域.

[解析]
x

y=(2x)2-2·x-5=(2x-1)2-6, 2 因为 x∈[-1,2],

1 所以 2 ∈[2,4],故当 2x=1,即 x=0 时,ymin=-6;当 2x =4,即 x=2 时,ymax=3,所以函数 y=4x-2x 1-5 在[-1,2] 上的值域是[-6,3].


3

指数函数图象的变换

[例 3] 象.

利用函数 f(x)=2 x 的图象, 作出下列各函数的图



(1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1; (4)-f(x);(5)|f(x)-1|;(6)f(-x);

[解析]

(1)将 y=2 x 的图象右移一个单位



(2)将函数 y=2-x 的图象在 y 轴左侧部分去掉,然后将右 侧部分作关于 y 轴对称的图形即得. (3)将 y=2-x 的图象下移一个单位. (4)作 y=2-x 的图象关于 x 轴对称图形.

(5)将 y=2-x 的图象先向下平移一个单位,再将 x 轴下方 图象翻折到 x 轴上方. (6)将 y=2-x 的图象作关于 y 轴对称的图形.

规律总结:

可依据 f(x)=2

-x

依次求出各函数,再作

??1?x ?? ? ?x≥0? -|x| 图.例如,y=f(|x|)=2 =??2? . ?2x ?x<0? ?

已知函数

?1? + y=?2?|x 2|①作出其图象;②指出其单调区间; ? ?

③确定 x 取何值时,y 有最值.

[解析]



②增区间(-∞,-2];减区间[-2,+∞) ③x=-2 时,ymax=1,无最小值.

[例 4] [错解]
2x

解不等式:a2x+1<ax 2+ax 2(a>0). 原不等式变形为:
2 x





1 x 1 x 2x 2 a +1<a · + 2· ,a -(a + 2)a +1<0,(ax-a2)(ax- a a a a 1 1 x 2 a2)<0,∴a2<a <a ,故-2<x<2.

[辨析]

1 1 ①当得到(a -a )(a - 2)<0 后,因 2与 a2 的大小 a a
x 2 x

关系并不确定,因而需要分类讨论. 1 x 2 ②解 2<a <a 时,应依据 a 的取值进行讨论. a

[正解]
x 2

原不等式变形为:
x

1 (a -a )(a -a2)<0. 1 2 x 1 当 0<a<1 时,a < 2,∴a <a < 2=a-2, a a
2

又∵y=ax 在 R 上是减函数,∴2>x>-2; 1 1 x 2 当 a>1 时,a > 2,∴ 2<a <a , a a
2

又∵y=ax 在 R 上是增函数,∴-2<x<2;

当 a=1 时,无解. ∴当 a≠1 时,不等式的解集为{x|-2<x<2} 当 a=1 时,不等式的解集为?.

1.函数 y=2x+1 的图象是(

)

[答案]

A

2.若函数 y=(1-2a)x 是实数集 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( 1 A.(2,+∞) 1 C.(-∞, ) 2
[答案] [解析] B 1-2a>1,∴a<0,故选 B.

) B.(-∞,0) 1 1 D.(- , ) 2 2

1a 1b 3.已知(π) >(π) ,则 a、b 的大小关系是( A.1>a>b>0 C.a>b B.a<b D.1>b>a>0

)

[答案]

B

4.(2012~2013 邯郸馆陶中学月考试题)函数 y=34-5x- x2 的单调增区间是( 5 A.(-∞,-2) 5 C.(- ,+∞) 2
[答案] A

) 5 B.(-∞,2) 5 D.( ,+∞) 2

[解析]

令 u=4-5x-x2,y=3u,由于 u 在 x∈(-∞,-

5 )上是增函数. y=3u 是增函数, 而 ∴所求函数的递增区间为(- 2 5 ∞,-2).

5.(2012~2013 重庆市风鸣山中学月考)设函数 f(x)=
- ?2 x-1?x≤0?, ? ?1 若 f(x)>1,则 x 的取值范围是( ?2x?x>0?. ?

)

A.(-∞,-1) C.(-1,2)
[答案] D

B.(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

[解析]

由 f(x)>1

?x≤0, ? 可得? -x ?2 -1>1 ?

?x>0, ? 或?1 ?2x>1, ?

?x≤0, ? ∴? ?x<-1 ?

?x>0, ? 或? ?x>2. ?

∴x<-1 或 x>2.

2x+1 6.函数 y= x 是( 2 -1 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶

)

D.既是奇函数又是偶函数

[答案]

A

7.下列四个方程中有实数解的是( A.2 =0 C.0.1x=3
x

)

1x B.( ) =-1 3 D.3-x=-3

[答案]

C

8.设 y1=a2x 3,y2=a1 x(a>0,且 a≠1).当 x 取何值时, 有(1)y1=y2,(2)y1>y2,(3)y1<y2. [分析] y1、y2 可看作指数函数 y=ax 的两个函数值,故欲





判断 x 取何值时,y1<y2,y1=y2,与 y1>y2,须从 y=ax 的单调 性入手.

[解析]

(1)∵y1=y2,∴a2x+3=a1-x,

2 ∴2x+3=1-x,∴x=- . 3 (2)∵y1>y2,∴a2x+3>a1-x, 2 当 a>1 时,2x+3>1-x,∴x>- , 3 2 当 0<a<1 时,2x+3<1-x,∴x<-3.

(3)仿照(2)可得: 2 当 a>1 时,解为 x<- , 3 2 当 0<a<1 时,解为 x>-3.


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