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复数代数形式的四则运算(人教A选修1-2)


1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b ?R )的数 称为 复数,

z=a+bi ,其中a叫做复数 z 的 实部 、b叫 记作: 做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记为 C .

3. 由于i2= (-i) = -1,知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i 一般地,a(a>0)的平方根为 ? a 、 - a (a>0)的平方根为 ? a i

2

;

?实数(b ? 0) ? 4.复数a+bi? a ? ,b ? ?纯虚数(a? 00,b? 00) 虚数(b ? 0)? ? a ? ,b ? ?非纯虚数(a? 00,b? 00) ?
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R ? C. ?

5. 两个复数相等 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d?R),则 z1=z2? ? a ? c , 即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地,a+bi=0? a=b=0 .
? ?b ? d

注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.

思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?

答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 ? z1,z2∈R且z1>z2.

复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别,最主要的 是在运算中将i2??1结合到实际运算过 程中去。

1、复数的加法与减法 ?a ? bi ? ? ?c ? di ? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例.计算 解:

(5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)

(5 ? 6 i ) ? (?2 ? i ) ? (3 ? 4 i ) ? (5 ? 2 ? 3) ? (?6 ? 1 ? 4) i ? ?11i

2、复数的乘法法则: 设 z1 ? a ? bi ,2 ? c ? di是任意两个复数, z
那么它们的积

?a ? bi ??c ? di ? ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
任何 z1 , z 2 , z 3 ? C , 交换律 z1 ? z2 ? z2 ? z1 结合律 ( z1 ? z 2 ) ? z 3 ? z1 ? ( z 2 ? z 3 ) 分配律 z1 ( z 2 ? z 3 ) ? z1 z 2 ? z1 z 3

3、复数的乘方:
z, z1 , z2 ? C 及 m, n ? N ? ,有 对任何

z ?z ? z
m n
m n

m?n

(z ) ? z n n n ( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2
mn

特殊的有: i 1
3 2

? i i ? ?1
2

?Z 一般地,如果 n ? N ?,有

i ? i ? i ? ?i
4 n?1

i ? i ? i ? ?i ? i ? 1
4 3

i ? 1,  i
4n

? i ,  i

4 n? 2

? ?1,  i

4 n? 3

? ?i

复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.

例.计算 (1 ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i)

解:

(1 ? 2i )(3 ? 4i )( ?2 ? i ) ? (11 ? 2i )( ?2 ? i ) ? ?20 ? 15i

例证明: (a ? bi)(a ? bi) ? a ? b (a, b ? R). .
2 2

两个复数的和与积都是实数的充要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念:共轭复数:实部相等,虚部互为相反数 的两个复数。

共轭虚数:虚部不为0的共轭复数。
特别地,实数的共轭复数是实数本身。

在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表 示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z 关于实轴对称. Z:a+bi y

y

Z:a+bi
b b x -b
Z :a-bi

o

o

x

-b

Z :a-bi



已知复数

x ? x ? 2 ? ( x ? 3x ? 2)i
2 2

是 4 ? 20i 的共轭复数,求x的值. 解:因为 4 ? 20i 的共轭复数是 4 ? 20i, 根据复数相等的定义,可得

? x ? x ? 2 ? 4, ? 2 ? x ? 3 x ? 2 ? 20. ? x ? ?3或x ? 2 解得 ? ? x ? ?3或x ? 6
2

所以 x ? ?3 .

4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母 实数化).即

a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? c2 ? d 2 (c ? di)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i (c ? di ? 0). 2 2 c ?d c ?d
分母实数化

例.计算 (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i )
1 ? 2i (1 ? 2i)(3 ? 4i) 解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i ) ? ? 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i)
3 ? 8 ? 6 i ? 4 i ? 5 ? 10 i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 3 ?4 25 5 5
先写成分式形式

然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘 以分母的共轭复数)
化简成代数形式就得结果.

-2i 2i 练习.计算: (1+i)2= ___; (1-i)2= ___;

1? i 1 ? i -i i ? ____; ? ____; 1? i 1? i 1 ? i 2000 1 ( ) ? ______ . 1? i

1.复数加减法的运算法则 2、复数的乘法法则 3、复数的乘法运算律 4、复数的除法法则 5、复数的一个重要性质
两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一 个复数的模的平方,即z z=|z|2=|z|2.

6、一些常用的计算结果
1 如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.

2

1 1? i 1? i (1 ? i ) ? ?2i; ? ?i; ? i; ? ?i. i 1? i 1? i
2


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