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山东省山师附中2013-2014学年高二上学期期中考试数学含答案


2013~2014 学年第一学期期中学分认定考试(2012 级)

数学试题
本试卷分第Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 120 分。考试用时 120 分钟。答题前,请务 必将班级、姓名和考试号填写(或填涂)在答题卡和答题纸的规定位置

第Ⅰ卷(共 48 分)
注意事项:
1.第Ⅰ卷共 12 小题。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。 一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。每小题只有一个选项符合题意) 1 在△ ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A )

1

B

?1

C

2 3

D

?2 3


2.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 1? n ? 2? ,则 a5 为 ( A.7 B.15 C.30 D.31

3.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=λ,b= 3λ(λ>0),A=45° ,则 满足此条件的三角形个数是( A.0 4.已知 0 ? x ?
A.

) C.2 D.无数个 )

B.1

1 3

1 1 , 则y ? x ?1 ? 2 x ? 取最大值时 x 的值是( 2 2 1 1 2 B. C. D. 4 2 3
2

5.一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? ? A. 10 B. -10 C. 14 D. -14

? 1 1? , ? ,则 a ? b 的值是( ? 2 3?



6 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A

) D
2 2

300 或600

B

450 或600

C

1200 或600
2

300 或1500

7.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B 为( ) A

? 6

B

? 3

C

? 5? 或 6 6

D

? 2? 或 3 3


8.等差数列 {an } 中,已知前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a8 等于(

A.

45 2

B.12

C.

45 4

D.6 )

9.△ ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,则△ ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 2 4

10. 各项均为实数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , 若S10 ? 10, S30 ? 70, 则S40 ?( A.150 B.-200 C.150 或 200 D.-50 或 400



?x ? y ? 5 ? 0 ? 11. (理) .若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形, 则 a 的取值范围是 ( ?0 ? x ? 2 ?
A. a ? 5 B. a ? 7 C. 5 ? a ? 7 D. a ? 5或a ? 7 )



(文)在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C

A 直角三角形 B 等边三角形 C 钝角三角形 D 等腰直角三角形. 12.若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 的最小值是(
2

? ?

1? 2?



A.0

B. -2

C. ?

5 2

D.-3

.

第Ⅱ卷(共 72 分)
注意事项:
第Ⅱ卷所有题目的答案,考生需用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内,在 试卷上答题不得分。 二.解答题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。)

?y ? x ? 13.(理)x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 求 z ? 2 x ? y 的最大值_________ ? y ? ?1 ?
(文)在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, a2 ? a3 ? 6, 则数列 ?an ? 的通项 公式为 .

14.在等差数列 {an } 中, an ? 3n ? 28, 则 Sn 取得最小值时的 n=_______ 15 .若 lg x ? lg y ? 2 ,则

1 1 ? 的最小值为__________ x y

16.

?an ? 是等比数列,且 an ? 0, a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25, 则 a3 ? a5 为___________
三.解答题(共六个小题。共 56 分)

17.(本小题 8 分) 已知集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0
2

?

?

若 B ? x x ? 4ax ? 3a ? 0 ,
2 2

?

?

A ? B , 求实数 a 的取值范围.
18. (本小题 8 分) (1) .设 x,y 为正数, 求 ? x ? y ? ? 的条件。 (2).设 a. ? b ? c ,若 19.(本小题 10 分) (1)求 sin C 的值;

?1 4? ? ? 的最小值,并写出取得最小值 ?x y?

1 1 n ? ? 恒成立,求 n 的最大值. a ?b b?c a ?c 5 3 在 △ ABC 中, cos A ? ? , cos B ? . 13 5
(2)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积

20.(本小题 10 分) 已知:等差数列{ an }中, a4 =14, a7 ? 23 。 (1)求 an ; (2)将{ an }中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列, 求此数列的前 n 项和 Gn .
n

21. (本小题 10 分) 如图, △ ACD 是等边三角形, △ ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB=90° , BD 交 AC 于 E,AB=2。 (1)求 cos∠CBE 的值;(2)求 AE。
D C E

22. (本小题 10 分) (理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,
A B

已知 a1 ? 1,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N . n 3 3

(1)求 a2 的值。 (2)求证 ?

? an ? ? 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式。 ?n? 1 1 1 7 ? ? ...... ? ? 。 a1 a2 an 4

(3)证明:对一切正整数 n, 有

(文)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an ?1 . (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

2013-2014 学年第一学期期中考试学分认定考试参考答案
一、选择题 题 号 答 案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 B 6 D 7 A 8 D 9 D 10 A 11
(理)

12 C C

(文)B

二、填空题 13、(理) 3 (文) an 三、解答题 17、解: A ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0} ? {x ?2 ? x ? ?1} ……………………2 分
2

? 2n?1 ;

14、 9 ;

15、

1 ; 5

16、 5 ;

A ? {x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0} ? {x ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0} ……………………3 分
(1)若 a ? 0 ,则 B ? {x

a ? x ? 3a} ,此时 A ? B 不成立;…………………4 分

(2)若 a ? 0 ,则 B ? ? ,此时 A ? B 不成立;…………………………5 分 (3)若 a ? 0 ,则

B ? {x 3a ? x ? a}
?3a ? ?2 2 ? ?1 ? a ? ? ; 3 ?a ? ?1
2 3

…………………………6 分

若 A ? B ,则 ?

……………………7 分

故实数 a 的取值范围是 [ ?1, ? ] 18、解:(1)∵ x ? 0, y ? 0 ∴?x ?

…………………………8 分

?1 4? y 4x y? ? ? ? ? 1? ? ? 4 x y ?x y?

……………1 分

? 5? 2 4 ? 9
当且仅当

……………3 分

y 4x ? 即 y ? 2 x 时取得最小值…………………………4 分 x y

(2)∵ a ? b ? c ∴ a ? b ? 0, a ? c ? 0, b ? c ? 0 ………………………………5 分

1 1 n 1 1 ? ? ? )(a ? c) 可化为 n ? ( a ?b b?c a ?c a ?b b?c 1 1 1 1 ? )(a ? c) ? ( ? )[(a ? b) ? (b ? c)] 令t ? ( a ?b b?c a ?b b?c b?c a ?b ? 1? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ………………………………6 分 a ?b b?c


当且仅当

b?c a ?b ? 即 2b ? a ? c 时等号成立………………7 分 a ?b b?c

∴ n ? 4 ………………………………8 分 19、解:(1) ?ABC 中, sin A ? 0,sin B ? 0

5 12 ,∴ sin A ? ………………1 分 13 13 3 4 ∵ cos B ? ,∴ sin B ? …………………2 分 5 5
∵ cos A ? ?

sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ……………………3 分 ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B …………4 分
12 3 5 4 16 ? ? (? ) ? ? ……………………5 分 13 5 13 5 65 BC AB ? (2)由正弦定理得 sin A sin C BC 4 sin C ? …………………………8 分 故 AB ? sin A 3 1 8 ∴ S ?ABC ? ? AB ? BC ? sin B ? ……………………10 分 2 3 20、解:(1)设数列公差为 d 1 由 a4 ? 14, a7 ? 23 可得 d ? (a7 ? a4 ) ? 3 ……………………3 分 3 ?
于是 an

? a4 ? (n ? 4)d ? 3n ? 2 ………………………………5 分

(2) Gn

? a2 ? a4 ? a8 ? …? a2n ………………6 分

=(3 ? 2+2)+(3 ? 4+2)+(3 ? 8+2)+...+(3? 2n ? 2) ………………7 分 ? 3? (2 ? 4 ? 8 ? ... ? 2n ) ? 2n ……………………8 分
? 3? 2 ? (1 ? 2n ) ? 2n …………………………9 分 1? 2

? 6 ? (2n ?1) ? 2n ……………………10 分
21、解:(1)由已知得 CD ? CB ……………………1 分

?BCD ? 150 …………………………2 分
∴ ?CBE ? 15 …………………………3 分 ∴ cos ?CBE

? cos15 ?

6? 2 ……………………5 分 4

(2)由已知 AB ? 2 ∴ BC

? AC ? 2 ………………………………7 分

∴ CE ? BC ? tan15 ∴ AE ?

? 2 2 ? 6 …………………………9 分

2 ? (2 2 ? 6) ? 6 ? 2 ……………………10 分
1 n(n ? 1)(n ? 2) 3

22、(理科)解(1)由已知得 2 S n ? nan ?1 ? ∴ 2 S1 ? a2 ? ∵ S1

1 ? 1? 2 ? 3 3

? a1



a2 ? 4 ………………………………3 分

(2) 2 S n ? nan ?1 ?

1 n(n ? 1)(n ? 2) 3 1 2S n ?1 ? (n ? 1)an ? 2 ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 3

两式相减得 2an?1

? (n ? 1)an?2 ? nan?1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)(n ? 2)

∴ (n ? 1)an?2 ? (n ? 2)an?1 ∴

an ? 2 an ?1 ? ? 1 ……………………5 分 n ? 2 n ?1 a a 又∵ 2 ? 1 ? 1 2 1 a ∴ { n } 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列 n a ∴ n ? n ………………………………6 分 n
即 an

? n2 ………………………………7 分
1 7 ? 1 ? ……………………8 分 a1 4

(3)当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时,

1 1 1 5 7 ? ? 1 ? ? ? ………………9 分 a1 a2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ? ...... ? ? 1 ? ? ? ... ? a1 a2 an 4 2?3 (n ? 1)n

当 n ? 3 时,

? 1?

1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? ………………………………10 分 4 2 n 4 n 4

(文科)∵

Sn ? 2an ? 1,

Sn?1 ? 2an?1 ? 1

………………………………1 分



an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 2an …………………………2 分

即 an?1 ∵ a1

?1

∴ {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列……………………4 分 ∴

an ? 2n?1 ………………………………5 分
Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ... ? n ? 2n?1 2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ... ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ……………………6 分

(2)

∴ ?Tn

? (20 ? 21 ? 22 ? ... ? 2n?1 ) ? n ? 2n …………………………7 分
? 2n ? 1 ? n ? 2n

? ?(n ?1)2n ?1 ………………………………9 分
∴ Tn

? (n ?1)2n ? 1………………………………10 分


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