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数列的概念及表示知识点大全、经典高考练习题及解析


数列的概念及表示
【考纲说明】
1、了解数列的概念,学习数列常用的几种表示方法。 2、理解数列通项公式的意义,熟练掌握数列的通项公式、递推公式、前 n 项和公式。 3、能够根据递推公式写出数列的前几项。 4、理解数列的通项公式与前 n 项和的关系,并能够熟练运用前 n 项和求出数列的通项。 5、本部分在高考中占 5 分左右。

【趣味链接】
1、 一牧羊人赶着一群羊通过 36 个关口,每过一个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还一只,过完这些 关口后,牧羊人只剩下 2 只羊,问原来牧羊人赶多少只羊? 2、 一个商人有一个 40 磅重的砝码,由于跌落地面而碎成 4 块,后来称得每块碎片都恰是整数磅,并可用这四块 来称从 1 到 40 磅之间的任意整数磅的重物,问各块碎片的质量?

【知识梳理】
一、数列的概念与通项公式 1、数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有 关。排在第一位的数称为这个数列的的第一项(也叫做首项)往后各项一次叫做数列的第 2 项....第 n 项。 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,.....an,...,其中 an 是数列的第 n 项。我们把这样的数列简记为{an} 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项间的大 小关系分类 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准分类 摆动数列 满足条件 项数有限 项数无限

an+1>an an+1<an an+1=an
存在正数 M,使|an|≤M 其中 n∈N+

an 的符号正负相间, 1, 如 -1,1, ? -1,

1

3.数列的表示法 (1)列举法:如 a1,a2,a3,....an,.... (2)图象法:用(n, an)这样一群孤立的点表示。 (3)解析法:用通项公式或递推公式表示。 4.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数为定义域的函数 an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 5.数列的通项公式 数列的第 n 项与序号 n 之间的关系用一个式子来表示,这个式子即是该数列的通项公式。 二、递推公式 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与他的前一项 an-1(或前几项)可以用一个公式来表示, 这个公式即是该数列的递推公式。 三、数列前 n 项和与通项的关系 数列{an}及前 n 项和之间的关系:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
在数列{an}中,若 an 最大,则?

?S1 , (n ? 1) an ? ? ?Sn ? S n?1 , (n ? 2)
?an≥an-1, ? ? ?an≥an+1.

若 an 最小,则?

?an≤an-1, ? ? ?an≤an+1.

【经典例题】
3 【例 1】如果数列{an}的前 n 项和 Sn= an-3,那么这个数列的通项公式是 ( 2 A.an=2(n +n+1) 【解析】D 【例 2】 (2005 湖南)已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 3 (n ? N * ) ,则 a 20 =( 3an ? 1 A.0 【解析】B 【例 3】 (2008 北京理)已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ?N* 满足 a p?q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于( A. ?165 【解析】C B. ?33 C. ?30 D. ? 21 ) B. ? 3 C. 3 D.
3 2
2

)

B.an=3·2

n

C.an=3n+1

D.an=2·3

n



【例 4】 (2007 福建理) 数列{ a n }的前 n 项和为 Sn ,若 a n ? A.1 【解析】C 【例 5】 (2008 安徽文)在数列 {an } 在中, an ? 4n ? 则 ab ? 【解析】-1 . B.

1 ,则 S5 等于( n (n ? 1)



1 6

C.

5 6

D.

1 30

5 * 2 , a1 ? a2 ? ?an ? an ? bn , n ? N ,其中 a , b 为常数, 2

2

【例 6】 (2005 天津理)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) 则 S100 =__ 【解析】2600

_.

【课堂练习】
1、若数列的前四项为 1,0,1,0,则下列表达式不能作为该数列的通项公式的是( A. a n ? )

1 ? (?1) 2

n ?1

B. a n ? sin

2

n? 2

C. a n ? sin

n? 2

D. a n ?

1 ? cosn ? 2
)

2、(2010 烟台)数列{an}中,a1=a2=1,an+2=an+1+an 对所有正整数 n 都成立,则 a10 等于( A.34 B.55 C.89 D.100
x

3、(2010 海淀)已知 f(x)为偶函数,且 f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0 时,f(x)=2 ,若 n∈N ,an=f(n), 则 a2010=( ) 1 A.2010 B.4 C. D.-4 4 4、(2008 江西)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? 1 ) ,则 an ? ( n A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n ) )

*

5、 (2008 北京)已知数列 ?an ? 对任意的 p, q ? N * 满足 a p ? q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于( A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

6、(2010 辽宁理)已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为________. 7、(2007广东)已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n,则其通项an= ;若它的第k项满足5<ak<8,则k= ____ . n a (3 ? 1) 8、 (2004 江苏)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= 1 (对于所有 n≥1),且 a4=54, a1= . 2
2 9、 (2008 重庆理)设各项均为正数的数列{an}满足 a1 ? 2, an ? an?1an?2 (n ? N*) .若 a2 ? 3
2

an n

1 , 求 a3,a4,并猜想 a2008 的 4

值. 1 1 1 10、已知数列{an}满足 a1=1,an=a1+ a2+ a3+?+ a - (n>1). 2 3 n-1 n 1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 an=2010,求 n.

【课后作业】
1、已知数列,1, 3, 5, 7,?, 2n-1,?,则 3 5是它的 ( A.第 22 项
2

)

B.第 23 项

C.第 24 项

D.第 28 项 ) D.第 4 项或第 5 项

2、{an}中,an=n -9n-100,则最小值的项是 ( A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项

3

3、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于 ( A.9 B.8 C.7 D.6

2

)

4、 (2004 北京理)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数 列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值 为 ,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 . 5、(2007 江西理) 已知数列{an}对于任意 p,q∈N ,有 ap+aq=ap+q,若 a1=
*

6、 (2007 北京理) 若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 2,?) ,则此数列的通项公式为_________;数列 ,3,

1 ,则 a36=________. 9

?nan ? 中数值最小的项是第_____
n 项和的公式是_____________.

_____项.

7、 (2006 江苏)对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 {

an } 的前 n ?1

8、设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=________. 9、已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ? 2 ?
2

1 (n ? N * ) ,写出它的前五项,并猜想 {an } 的通项公式. an

10、数列{an}的通项公式是 an=n -7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?

4

【参考答案】
【课堂练习】 1、C 2、B 3、C 4、A 5、C 21 6、 2 7、2n-10;8 8、2 9、 24 ;2?8 ;2( ?2)
2007

1 1 1 10、解:(1)∵a1=1,且 an=a1+ a2+ a3+?+ an-1(n>1), 2 3 n-1 1 1 1 1 1 ∴a2=a1=1,an+1=a1+ a2+ a3+?+ an-1+ an(n≥1).∴an+1-an= an(n≥2). 2 3 n-1 n n ∴an+1= ∴ =

n+1 an+1 an an,∴ = (n≥2). n n+1 n

an an-1 a2 1 n =?= = ,∴an= (n≥2). n n-1 2 2 2

? n=1? , ?1 ? ∴an=?n ?2 ? n≥2? . ? (2)当 an=2010 时,n=4020. 【课后作业】 1、 B 2、 3、 D B 4、 52 3;
2

5、 4

6、 2n-11; 3

7、2

( n?1)

?2

8、

n(n ? 1) ?1 2

9、 2; ; ; ; ;

3 4 5 5 n ?1 2 3 4 6 n

10、解:(1)当 n=4 时,a4=4 -4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n -7n+6=150,解得 n=16,即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n -7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍) ∴从第 7 项起各项都是正数.
2 2

5


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