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临漳县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临漳县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 A.1 B. 的渐近线的距离为( C. ) D.

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, M 是线段 A1C1 的中点,若四面体 M - ABD 的外接球体积为 36p , 则正方体棱长为( A.2 ) B.3 C.4 D.5 )

【命题意图】 本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题, 意在考查空间想象能力和基本运算能力. 3. 已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}的元素个数为( A.4 A. 251 B.5 C.6 D.9 ) D. 260 B. 253 C. 255 4. 在下面程序框图中,输入 N ? 44 ,则输出的 S 的值是(

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【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以 4 后按余数分类. 5. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主(正)视图和俯视图 如下,则它的左(侧)视图是( )

A.

B.

C.

D.

6. 已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,则下列不等 式中成立的是( )

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A.a<1<b  

B.a<b<1

C.1<a<b

D.b<1<a )

2(a-x) ,x<1 若 f(-6)+f(log 6)=9,则 a 的值为( 7. 已知函数 f(x)= log 2 x 2 ,x ≥ 1 A.4 B.3

{

)

C.2

D.1 ,

8. 两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是球面面积的 则这两个圆锥的体积之比为( ) ) A.2:1 B.5:2 C.1:4 D.3:1 9. 如果随机变量 ξ~N (﹣1,σ2),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则 P(ξ≥1)等于( A.0.1   10.以 A. C. B. D. 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) B.0.2 C.0.3 D.0.4

11.某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信 息,可确定被抽测的人数及分数在 ?90,100? 内的人数分别为( )

A.20,2 A.1   B.0 C.﹣1

B.24,4 D.0 或﹣1

C.25,2 )

D.25,4

12.设 a∈R,且(a﹣i)?2i(i 为虚数单位)为正实数,则 a 等于(

二、填空题
13.若双曲线的方程为 4x2﹣9y2=36,则其实轴长为      .

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14.已知椭圆 ,且 θ∈[ ,

+

=1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其左焦点,若 AF⊥BF,设∠ABF=θ

],则该椭圆离心率 e 的取值范围为      .

  15.袋中装有 6 个不同的红球和 4 个不同的白球,不放回地依次摸出 2 个球,在第 1 次摸出红球的条件下, 第 2 次摸出的也是红球的概率为      .   3 2 16.设函数 f ( x) ? x ? (1 ? a ) x ? ax 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,且对不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,则实数的取值范围是 恒成立,则实数 x 的取值范围为  .   18.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[﹣1,1)时,f(x)= ,则 f( )=      .   . 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,2an+1=an,若对于任意 n∈N*,当 t∈[﹣1,1]时,不等式 x2+tx+1>Sn

三、解答题
19. 设 M 是焦距为 2 的椭圆 E: + . =1(a>b>0) A、 B 是椭圆 E 的左、 上一点, 右顶点, 直线 MA

与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=﹣ (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知椭圆 E: +

=1(a>b>0)上点 N(x0,y0)处切线方程为

+

=1,若 P

是直线 x=2 上任意一点,从 P 向椭圆 E 作切线,切点分别为 C、D,求证直线 CD 恒过定点,并求出该定点坐 标.  

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20.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩,整理数据并 按分数段 , , , , , 该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下). 进行分组,假设同一组中的每个数据可用

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计高 一年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 和 的样本学生中随机抽取 2 人,求在 抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 的概率; (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 ,且分别在 , , 三组中,其中 .当数据 的方差 最大时,写出 的值.(结论不要求证明) (注: ,其中 为数据 的平均数)

21.已知函数 f(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x)(a>0,a≠1). (Ⅰ)判断 f(x)奇偶性,并证明; (Ⅱ)当 0<a<1 时,解不等式 f(x)>0.  

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22.设 a,b 互为共轭复数,且(a+b)2﹣3abi=4﹣12i.求 a,b 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 1111] 如图,点 C 为圆 O 上一点, CP 为圆的切线, CE 为圆的直径, CP ? 3 .

16 ,求 CE 的长; 5 (2)若连接 OP 并延长交圆 O 于 A, B 两点, CD ? OP 于 D ,求 CD 的长.
(1)若 PE 交圆 O 于点 F , EF ?

24.(本小题满分 10 分)

? x ? 2 ? t, x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : (为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t ,
(1)写出曲线 C 的参数方程,直线的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与夹角为 30 的直线,交于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.
?

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临漳县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:因为抛物线 y2=8x,由焦点公式求得:抛物线焦点为(2,0) 又双曲线 .渐近线为 y= =1.

有点到直线距离公式可得:d= 故选 A.

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法.其中应用到点到直线的距离公式,包含知识 点多,属于综合性试题.   2. 【答案】C

3. 【答案】B 【解析】解:①x=0 时,y=0,1,2,∴x﹣y=0,﹣1,﹣2; ②x=1 时,y=0,1,2,∴x﹣y=1,0,﹣1; ③x=2 时,y=0,1,2,∴x﹣y=2,1,0; ∴B={0,﹣1,﹣2,1,2},共 5 个元素. 故选:B.   4. 【答案】B

5. 【答案】A 【解析】解:由题意可知截取三棱台后的几何体是 7 面体,左视图中前、后平面是线段,

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上、下平面也是线段,轮廓是正方形,AP 是虚线,左视图为:

故选 A.

【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法,三视图是常考题型,值得重视.   6. 【答案】A 【解析】解:由 f(x)=ex+x﹣2=0 得 ex=2﹣x, 由 g(x)=lnx+x﹣2=0 得 lnx=2﹣x, 作出计算 y=ex,y=lnx,y=2﹣x 的图象如图: ∵函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b, ∴y=ex 与 y=2﹣x 的交点的横坐标为 a,y=lnx 与 y=2﹣x 交点的横坐标为 b, 由图象知 a<1<b, 故选:A.

【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用函数转化为两个图象的交点问题,结合数形结合是解决本题的 关键.   7. 【答案】 【解析】选 C.由题意得 log2(a+6)+2log26=9. 即 log2(a+6)=3, ∴a+6=23=8,∴a=2,故选 C.

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8. 【答案】D 【解析】解:设球的半径为 R,圆锥底面的半径为 r,则 πr2= ∴球心到圆锥底面的距离为 ∴两个圆锥的体积比为 : 故选:D.   9. 【答案】A 【解析】解:如果随机变量 ξ~N(﹣1,σ2),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4, ∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) = ∴ ∴P(ξ≥1)= . ×4πR2= . ,∴r= .

= .∴圆锥的高分别为 和 =1:3.

【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服 从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位.   10.【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣4)和(0,4). ∴椭圆的焦点坐标是为(0,﹣2 ∴椭圆方程为 故选 D. 【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质.   11.【答案】C 【解析】 . )和(0,2 ),顶点为(0,﹣4)和(0,4). 的顶点为(0,﹣2 )和(0,2 ),焦点为(0,

考 点:茎叶图,频率分布直方图.

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12.【答案】B 【解析】解:∵(a﹣i)?2i=2ai+2 为正实数, ∴2a=0, 解得 a=0. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题.  

二、填空题
13.【答案】 6 . 【解析】解:双曲线的方程为 4x2﹣9y2=36,即为: ﹣ =1,

可得 a=3, 则双曲线的实轴长为 2a=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查双曲线的实轴长,注意将双曲线方程化为标准方程,考查运算能力,属于基础题.   14.【答案】 [ , ﹣1] . );

【解析】解:设点 A(acosα,bsinα),则 B(﹣acosα,﹣bsinα)(0≤α≤ F(﹣c,0); ∵AF⊥BF, ∴ =0, 即(﹣c﹣acosα,﹣bsinα)(﹣c+acosα,bsinα)=0, 故 c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0, cos2α= 故 cosα= 而|AF|= |AB|= =2﹣ , , =2c, ,

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而 sinθ= = ∵θ∈[ , ], ], ≤ ≤ , , = ,

∴sinθ∈[ , ∴ ≤ ∴ ≤ +









解得,

≤e≤

﹣1; , ﹣1].

故答案为:[

【点评】 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用, 同时考查了三角函数的应用.   15.【答案】   . 【解析】解:方法一:由题意,第 1 次摸出红球,由于不放回,所以袋中还有 5 个不同的红球和 4 个不同的白 球 故在第 1 次摸出红球的条件下,第 2 次摸出的也是红球的概率为 方法二:先求出“第一次摸到红球”的概率为:P1= , = ,

设“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率是 P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为 P= = ,

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根据条件概率公式,得:P2= 故答案为:

= ,

【点评】本题考查了概率的计算方法,主要是考查了条件概率与独立事件的理解,属于中档题.看准确事件之 间的联系,正确运用公式,是解决本题的关键.   16.【答案】 ( ??, ?1] ? ? , 2 ? 2 【解析】
3 3

?1 ?

? ?

试题分析:因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故得不等式 x1 ? x2 ? ?1 ? a ? x1 ? x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,即
2 2

?

?

x ?x ? x1 ? x2 ? ? ?? 1 2 ?

? 3 x1 x2 ? ? ?1 ? a ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,由于 ? ? ? 2 2 f ' ? x ? ? 3 x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ,令 f ' ? x ? ? 0 得方程 3 x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ? 0 ,因 ? ? 4 ? a 2 ? a ? 1? ? 0 , 故
2 2

2 ? x ? x ? ? ?1 ? a ? 1 2 ? 1 ? 3 2 , 代入前面不等式,并化简得 ?1 ? a ? ? 2a ? 5a ? 2 ? ? 0 ,解不等式得 a ? ?1 或 ? a ? 2 , ? 2 ?x x ? a 1 2 ? 3 ? 1 ?1 ? 因此, 当 a ? ?1 或 ? a ? 2 时, 不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,故答案为 ( ??, ?1] ? ? , 2 ? . 2 ?2 ?
考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法. 【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法,属于难题.要解答本 题首先利用求导法则求出函数 f ? x ? 的到函数,令 f ' ? x ? ? 0 考虑判别式大于零,根据韦达定理求出

x1 ? x2 , x1 x2 的值,代入不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,得到关于的高次不等式,再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 17.【答案】 (﹣∞, ]∪ [ ,+∞) .

【解析】解:数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,2an+1=an, ∴数列{an}是以 1 为首项,以 为公比的等比数列, =2﹣( )n﹣1,

Sn=

对于任意 n∈N*,当 t∈[﹣1,1]时,不等式 x2+tx+1>Sn 恒成立, ∴x2+tx+1≥2,

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x2+tx﹣1≥0, 令 f(t)=tx+x2﹣1, ∴ 解得:x≥ 或 x≤ , , ]∪[ ,+∞).

∴实数 x 的取值范围(﹣∞,   18.【答案】 1 .

【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, ∴ 故答案为:1. 【点评】本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往往都能把握住,在 高考中,属于“送分题”.   =1.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(1)解:设 A(﹣a,0),B(a,0),M(m,n),则 即 n2=b2? 由 k1k2=﹣ 即有 ,即 =﹣ , ? , =﹣ , + =1,

即为 a2=2b2,又 c2=a2﹣b2=1, 解得 a2=2,b2=1. 即有椭圆 E 的方程为 +y2=1;

(2)证明:设点 P(2,t),切点 C(x1,y1),D(x2,y2), 则两切线方程 PC,PD 分别为: +y1y=1, +y2y=1,

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由于 P 点在切线 PC,PD 上,故 P(2,t)满足 得:x1+y1t=1,x2+y2t=1, 故 C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程 x+ty=1, 即 x+ty=1 为 CD 的直线方程. 令 y=0,则 x=1, 故 CD 过定点(1,0).

+y1y=1,

+y2y=1,

【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系,导数的几何意义等基本知识,考查运算能力 和综合解题能力.解题时要注意运算能力的培养.   20.【答案】 【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型 【试题解析】(Ⅰ)由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 人,

所 以 该 校 高 一 年 级 学 生 中 , “ 体 育 良 好 ” 的 学 生 人 数 大 约 有 人. ( Ⅱ ) 设 “ 至 少 , 有 1 人 体 育 成 绩 在 , , , . , , , , ” , , 为 事 件 ,

记体育成绩在

的数据为

,体育成绩在

的数据为

则从这两组数据中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 10 种,它们是: , 而事件 , , , , , , , , ,

的结果有 7 种,它们是:

因此事件 的概率 . (Ⅲ)a,b,c 的值分别是为 , 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由





,得



即﹣1<x<1,即定义域为(﹣1,1), 则 f(﹣x)=loga(1﹣x)﹣loga(1+x)=﹣[loga(1+x)﹣loga(1﹣x)]=﹣f(x), 则 f(x)为奇函数. (Ⅱ)当 0<a<1 时,由 f(x)>0, 即 loga(1+x)﹣loga(1﹣x)>0, 即 loga(1+x)>loga(1﹣x), 则 1+x<1﹣x,

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解得﹣1<x<0, 则不等式解集为:(﹣1,0). 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解, 利用定义法以及对数函数的单调性是解决本 题的关键.   22.【答案】 【解析】解:因为 a,b 互为共轭复数,所以设 a=x+yi,则 b=x﹣yi,a+b=2x,ab=x2+y2, 所以 4x2﹣3(x2+y2)i=4﹣12i, 所以 所以 a=1+ 或 a=1﹣ 或 a=﹣1+ 或 a=﹣1﹣ i,b=1﹣ i,b=1+ i,b=﹣1﹣ i,b=﹣1+ i; i; i; i. ,解得 ,

【点评】本题考查了共轭复数以及复数相等;正确设出 a,b 是解答的关键.   23.【答案】(1) CE ? 4 ;(2) CD ? 【解析】 试题分析:(1)由切线的性质可知 ?ECP ∽ ?EFC ,由相似三角形性质知 EF : CE ? CE : EP ,可得 CE ? 4 ; (2)由切割线定理可得 CP ? BP (4 ? BP ) ,求出 BP, OP ,再由 CD ? OP ? OC ? CP ,求出 CD 的值. 1
2

6 13 . 13

试题解析: (1)因为 CP 是圆 O 的切线, CE 是圆 O 的直径,所以 CP ? CE , ?CFE ? 90 ,所以 ?ECP ∽ ?EFC ,
0

设 CE ? x , EP ? 所以 x ?
2

x 2 ? 9 ,又因为 ?ECP ∽ ?EFC ,所以 EF : CE ? CE : EP ,

16 2 x ? 9 ,解得 x ? 4 . 5

考点:1.圆的切线的性质;2.切割线定理;3.相似三角形性质.

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24.【答案】(1) ? 【解析】

? x ? 2 cos ? 22 5 2 5 , y ? ?2 x ? 6 ;(2) , . 5 5 ? y ? 3sin ?

试题分析:(1)由平方关系和曲线 C 方程写出曲线 C 的参数方程,消去参数作可得直线的普通方程;(2) 由曲线 C 的参数方程设曲线上 C 任意一点 P 的坐标,利用点到直线的距离公式求出点 P 直线的距离,利用正 弦函数求出 PA ,利用辅助角公式进行化简,再由正弦函数的性质求出 PA 的最大值与最小值. 试题解析:(1)曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ,(为参数),直线的普通方程为 y ? ?2 x ? 6 . ? y ? 3sin ?

5 | 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 | . 5 d 2 5 4 ? | 5sin(? ? ? ) ? 6 | ,其中 ? 为锐角,且 tan ? ? ,当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, | PA | 取 则 | PA |? ? sin 30 5 3 22 5 2 5 得最大值,最大值为 .当 sin(? ? ? ) ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为 . 5 5
(2)曲线 C 上任意一点 P (2 cos ? ,3sin ? ) 到的距离为 d ? 考点:1、三角函数的最值;2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.

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