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2009.4静安、杨浦、青浦、宝山四区(文理)


上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区 2008 学年第二学期高三年级

数学试卷
(文理合卷) (满分 150 分,答题时间 120 分钟) 2009.04 一、填空题(本大题满分 60 分)本大题共有 12 题,每题 5 分,考生应在答题纸上相应编号 的空格内直接填写结果. 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 .

2 2.已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 x ? 5 ? 0 , N ? x x ? 1 ,则

?

?

?

?

M ? (CU N ) =
3.若复数 z 满足 z ?



3?i ,则 z = i
3

. .

4.二项式 (1 ? 2 x) 6 展开式中 x 系数的值是

5. (理)市场上有一种“双色球”福利彩票,每注售价为 2 元,中奖概率为 6.71%,一注彩 票的平均奖金额为 14.9 元. 如果小王购买了 10 注彩票, 那么他的期望收益是 元. (文)高三(1)班班委会由 3 名男生和 2 名女生组成,现从中任选 2 人参加上海世博会的 志愿者工作,则选出的人中至少有一名女生的概率是 . 6. (理)把 cos 3? ? cos 5? 化为积的形式,其结果为 .

0? t 描述,那么音叉声波的频 (文)如果某音叉发出的声波可以用函数 f (t ) ? 0.001sin40
率是 赫兹.

7. (理)已知 P( x,y ) 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一个动点,则 x ? y 的最大值是 16 9



(文)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则实数 p 的值 6 2





8. (理)已知 值是

tan x 1 ? ( x ? [ 0, ,则 x 的 ? ]) 2 1 ? tan x 2


开始

A ?1

(文)方程 tan x ? ?

3 的解集是 3



N ?1

9.如图是输出某个数列前 10 项的框图,则该数列第 3 项的值是 .

N ? 10
10. (理)在极坐标系中,过圆 ? ? 6cos ? 的圆心,且 垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .
是 输出 A



(文)若经过点 P(-1,0)的直线与圆

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线的方程
是 .

A ? ( A ? 2) / (2 ? A ? 3)

N ? N ?1

11. (理)如图,用一平面去截球所得截面的面积为 2? cm2,已知球心到该截面的距离为 1 cm,则 该球的体积是 cm3.
第9题

结束

(文)计算: lim (
n ? ??

1 2 n ? 2 ??? 2 )= n ?1 n ?1 n ?1
2

.

12.在△ ABC 中, AB ? 5 , AC ? 7 , D 是 BC 边的中点,则

AD ? BC 的值是

.

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题 4 分.每 题只有一个正确答案,选择正确答案的字母代号并按照要求填涂 在答题纸的相应位置.

理第 11 题

?x ? y ? 4z ? 0 ? 13.线性方程组 ?3 x ? y ? 5 z ? 1 的增广矩阵是( ?x ? 6 y ? 8z ? 7 ? ?1 1 4 0 ? ? ? A. ? 3 1 5 1 ? ?1 6 8 7 ? ? ? ?1 1 4 0 ? ? ? B. ? 3 1 5 ? 1 ? ?1 6 8 ? 7 ? ? ?

) .

?1 1 4 ? ? ? C. ? 3 1 5 ? ?1 6 8 ? ? ?

?1 3 1 ? ? ? D. ? 1 1 6 ? ? 4 5 8? ? ?

14 . 在 直 角 坐 标 系 xo y 中 , 已 知 △ ABC 的 顶 点 A(?1 , 0) 和 C (1, 0) , 顶 点 B 在 椭 圆

x2 y2 ? ?1 4 3
上,则

sin A ? sin C 的值是( sin B
B. 3

) .

A.

3 2

C.2

D .4

15. 以 a、b、c 依次表示方程 2 x ? x ? 1、 2 x ? x ? 2、 3x ? x ? 2 的根,则 a、b、c 的大小 顺 序为( ) . A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? a ? c

(1 ? n ? 2009 ) ?1 , ? 16. (理)已知数列 ?an ? ,对于任意的正整数 n , a n ? ? ,设 S n 表 1 ? 2 ? ( ) n ?2009 . (n ? 2010 ) ? 3 ?
示数列 ?an ? 的前 n 项和.下列关于 lim S n 的结论,正确的是(
n ? ??

) .

A. lim S n ? ?1
n ? ??

B. lim S n ? 2008
n ? ??

C. lim S n ? ? n???

(1 ? n ? 2009 ) ?2009 , ( n ? N * ) D.以上结论都不对 ) ?? 1 . (n ? 2010

(文)如图,下列四个几何体中,它们的三视图(主视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个 相同,而另一个不同的两个几何体是( ) .

(1)棱长为 2 的正方体

(2)底面直径和高均为 2 的圆柱

(3)底面直径和高均为 2 的圆锥

(4)底面边长为 2、高为 3 的正四棱柱

A. (1) (2)

B. (1) (3)

C. (2) (3)

D. (1) (4)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸上与题号对 应的区域写出必要的步骤. 17.(本题满分 12 分) 动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的长方形熊猫居室 (如图 所示) .如果可供建造围墙的材料长是 30 米,那么宽 x 为多少 米时才能使所建造的熊猫居室面积最大?熊猫居室的最大面积 是多少平方米?

x 30?3x

18. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. (理)在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, AB ? 2 , AD ? 1 , AA? ? 1 .求: (1)顶点 D ? 到平面 B ?AC 的距离; (2)二面角 B ? AC ? B ? 的大小. (结果用反三角函数值表示)

D? A?
B?

C?

D A B

C

(文)已知某圆锥的体积是 12? cm3,底面半径等于 3cm. (1)求该圆锥的高; (2)求该圆锥的侧面积. 19.(本题满分 15 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 8 分. (理)设数列 ?an ? 的前 n 和为 S n ,已知 S 1 ?

1 13 16 64 , S2 ? , S3 ? , S4 ? , 3 3 3 3

? (n ? 1) 2 4 n ?1 ? (2 ? 1), (当n为奇数时) ? ? 12 3 一般地, S n ? ? (n? N *) . 2 n 4 n ? ? (2 ? 1). (当n为偶数时) ? ? 12 3
(1)求 a4 ; (2)求 a 2 n ; (3)求和: a1a2 ? a3 a4 ? a5 a6 ? ? ? a2n?1a2n .

bn ? ( ) (文) 已知等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 的通项公式分别为 an ? 2(n ? 1) 、
中n? N *) . (1)求数列 ?an ? 前 n 项的和; (2)求数列 ?bn ? 各项的和; (3)设数列 ?cn ? 满足 c n ? ?

1 2

n

, (其

?bn , (当n为奇数时) ?a n . (当n为偶数时)

,求数列 ?cn ? 前 n 项的和.

20.(本题满分 15 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 10 分. 已知 a 为实数,函数 f (? ) ? sin ? ? a ? 3 . (1)若 f (? ) ? cos? ( ? ? R ) ,试求 a 的取值范围; (2)若 a ? 1 , g (? ) ?

3( a ? 1) ,求函数 f (? ) ? g (? ) 的最小值. sin ? ? 1

21.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小 题满分 7 分. 已知 A、B 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的相异两点. (1)设过点 A 且斜率为?1 的直线 l1 ,与过点 B 且斜率为 1 的直线 l 2 相交于点 P(4,4), 求直线 AB 的斜率; (2)问题(1)的条件中出现了这样的几个要素:已知圆锥曲线?,过该圆锥曲线上的 相异两点 A、B 所作的两条直线 l1、l 2 相交于圆锥曲线?上一点;结论是关于直线 AB 的斜率的值.请你对问题(1)作适当推广,并给予解答; (3)若线段 AB(不平行于 y 轴)的垂直平分线与 x 轴相交于点 Q( x0, 0) . (理)若 x0 ? 5 ,试用线段 AB 中点的纵坐标表示线段 AB 的长度,并求出中点的纵坐 标的取值范围. (文)若 x0 ? 2 ,试用 x0 表示线段 AB 中点的横坐标.

2009 年 4 月静安区等四区联考高三数学参考答案与评分标准:

说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同 ,可参照解答中 评分标准的精神进行评分. 2. 评阅试卷, 应坚持每题评阅到底, 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅. 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3. 第 17 题至第 21 题中右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数. 4. 给分或扣分均以 1 分为单位.

答案及评分标准
1.

? ; 3

2. x x ? ?1 ;

?

?

3. 10 ;

4. ? 160 ;

5. (理) ? 10 .002 元; (注:

课本答案为 ? 8.66 ) (文)0.7; 6. (理) 2cos4 ? ? cos ? ; (文)200 赫兹; 8. (理) x ?

7. (理)5; (文)p=4.

?
8

或x ?

5? ? ? ? ; (文) ? x x ? k? ? , k ? Z ? 8 6 ? ?

9.

13 ; 21

10. (理) ? cos ? ? 3 ; (文)方程为 x ? y ? 1 ? 0 .

11. (理) 4 3? ; (文)

1 ; 2

12.12.

13——16:A; C ; C; 理 B 文 A 17.设熊猫居室的总面积为 y 平方米,由题意得: y ? x(30 ? 3x)

(0 ? x ? 10) .? 6 分

解法 1: y ? ?3( x ? 5) 2 ? 75,因为 5 ? (0,10) ,而当 x ? 5 时, y 取得最大值 75. 10 分 所以当熊猫居室的宽为 5 米时,它的面积最大,最大值为 75 平方米. ?? 12 分

1 1 3x ? (30 ? 3x) 2 ] =75 , 当 且 仅 当 解 法 2 : y ? x(30 ? 3 x) ? [3 x(30 ? 3 x)] ? [ 3 3 2
3x ? 30 ? 3x ,即 x ? 5 时, y 取得最大值 75.
所以当熊猫居室的宽为 5 米时,它的面积最大,最大值为 75 平方米. ?? 10 分 ?? 12 分

18.理:如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,0) 、 D(0,0,0) 、C (0,2,0) 、

A?(1,0,1) 、 B ?(1,2,1) 、 D ?(0,0,1) .

??2 分

设平面 B ?AC 的法向量为 n ? (u, v, w) ,则 n ? B?A , n ? B?C . 因为 B?A ? (0,?2,?1) , B?C ? (?1,0,?1) , ??3 分

n ? B?A ? 0 , n ? B?C ? 0 ,
所以 ?

?2v ? w ? 0, 解得 u ? 2v, w ? ?2v ,取 v ? 1 ,得平面 B ?AC 一个法向量 n ? (2,1,?2) , u ? w ? 0 . ?
??5 分

且 n ? 3.

( 1 )在平面 B ?AC 取一点 A ,可得 AD? ? (?1,0,1) ,于是顶点 D ? 到平面 B ?AC 的距离

d?

n ? AD ? n

?

4 4 ,所以顶点 D ? 到平面 B ?AC 的距离为 , 3 3

??8 分

(2)因为平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ,设 n 与 n1 的夹角为?,则

cos? ?

n ? n1

2 ?? , 3 n n1

??12 分

结合图形可判断得二面角 B ? AC ? B ? 是一个锐角,它的大小为 arccos

2 .??14 分 3

D? A?
B?

C?

D A B

C

文: (1)圆锥底面积为 9? cm2, 设圆锥高为 h cm,由体积 V ? 由 V ? 12? cm3 得 h ? 4 cm; (2)母线长 l ? 5 cm,

??1 分 ??5 分 ??8 分 ??9 分

1 ? 9? ? h , 3

设底面周长为 c ,则该圆锥的侧面积= 所以该圆锥的侧面积= 15? cm2.

1 cl , 2

??12 分 ??14 分

19. (理) (1) a4 ? 16 ; (2)当 n ? 2k 时, (k ? N *)

??3 分

a 2 k ? S 2 k ? S 2 k ?1 ?

( 2k ) 2 4 2 k ( 2k ) 2 4 2 k ? 2 ? (2 ? 1) ? [ ? (2 ? 1)] ? 2 2 k , ??6 分 12 3 12 3
??8 分

所以, a2n ? 4 n ( n ? N * ) . (3)与(2)同理可求得: a 2 n ?1 ?

1 (2n ? 1) , 3

??10 分

设 a1a2 ? a3 a4 ? a5 a6 ? ? ? a2n?1a2n = Tn , 则 Tn ?

1 [4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 1) ? 4 n ] , (用等比数列前 n 项和公式的推导方法) 3 1 4Tn ? [4 2 ? 3 ? 4 3 ? 5 ? 4 4 ? ? ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 ] ,相减得 3 1 ? 3Tn ? [4 ? 2(4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ) ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 ] ,所以 3 2n ? 1 n ?1 32 4 Tn ? ?4 ? ? (4 n ?1 ? 1) ? . ??14 分 9 27 9 n(0 ? 2n ? 2) ? n2 ? n . 2
??3 分

(文) (1)设数列前 n 项和为 S n ,则 S n ? (2)公比 q ?

1 ? 1 ,所以由无穷等比数列各项的和公式得: 2 1 数列 ?bn ? 各项的和为 2 =1. 1 1? 2

??7 分

(3)设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为奇数时, Tn ? b1 ? a2 ? b3 ? ? ? an?1 ? bn =

2 1 (1 ? ( ) 3 4

n ?1 2

(n ? 1) 2 )? ; 2 2 1 n2 (1 ? ( ) 2 ) ? . 3 4 2
n

??11 分

当 n 为偶数时, Tn ? b1 ? a2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? an =

??14 分

? 2 1 ( n ?1) (n ? 1) 2 2 ? ( ) ? ? , 当n为奇数时 ? ? 3 2 2 3 即 Tn ? ? . 2 2 1 n 2 n ?? ( ) ? ? , 当n为偶数时 ? 2 3 ? 3 2
20. (1) f (? ) ? cos? 即 sin ? ? cos ? ? ?3 ? a ,又 sin ? ? cos ? ? 所以 ? 2 ? a ? 3 ?

??15 分

2 sin(? ?

?
4

) ,2 分

2 ,从而 a 的取值范围是 [?3 ? 2,?3 ? 2 ] .

??5 分

( 2 ) f (? ) ? g (? ) ? (sin ? ? 1) ?

a ? 1 ,所以 x ?


3(a ? 1) ? 2 3(a ? 1) ,当且仅当 x ? 3(a ? 1) 时,等号成立,8 分 x 7 7 3(a ? 1) ? 2 解 得 a ? , 所 以 当 1 ? a ? 时 , 函 数 f (? ) ? g (? ) 的 最 小 值 是 3 3
??11 分

3(a ? 1) ? a ? 2 ,令 sin? ? 1 ? x ,则 0 ? x ? 2 ,因为 sin ? ? 1

2 3(a ? 1) ? a ? 2 ;
下面求当 a ?

7 时,函数 f (? ) ? g (? ) 的最小值. 3 7 3(a ? 1) 当 a ? 时 , 3(a ? 1) ? 2 , 函 数 h( x) ? x ? 在 (0,2] 上 为 减 函 数 . 所 以 函 数 3 x 3(a ? 1) 5(a ? 1) ?a?2? f (? ) ? g (? ) 的最小值为 2 ? . ??12 分 2 2 7 3(a ? 1) 当 a ? 时,函数 h( x) ? x ? 在 (0,2] 上为减函数的证明:任取 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 3 x

h( x2 ) ? h( x1 ) ? ( x2 ? x1 )[1 ?

3(a ? 1) ] , 因 为 0 ? x2 x1 ? 4 , 3(a ? 1) ? 4 , 所 以 x2 x1

1?

3(a ? 1) 3(a ? 1) ? 0 ,h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ,由单调性的定义函数 h( x) ? x ? 在 (0,2] 上为 x x2 x1

减函数.

7 7 时,函数 f (? ) ? g (? ) 的最小值是 2 3(a ? 1) ? a ? 2 ;当 a ? 时,函 3 3 5(a ? 1) 数 f (? ) ? g (? ) 的最小值 . ??15 分 2
于是,当 1 ? a ?

21. (1)由 ?

? x ? y ? 8 ? 0,
2 ? y ? 4 x.

解得 A(16,?8) ;由 ?

? x ? y ? 0,
2 ? y ? 4 x.

解得 B(0,0) .

由点斜式写出两条直线 l1、l 2 的方程, l1 : x ? y ? 8 ? 0; l 2 : x ? y ? 0 ,

1 . 2 (2)推广的评分要求分三层
所以直线 AB 的斜率为 ?

??4 分

一层:点 P 到一般或斜率到一般,或抛物线到一般(3 分,问题 1 分、解答 2 分) 例:1.已知 A、B 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的相异两点.设过点 A 且斜率为?1 的直线 l1 ,与过 点 B 且斜率为 1 的直线 l 2 相交于抛物线 y 2 ? 4 x 上的一定点 P (

t2 , t ) ,求直线 AB 的斜率; 4

2.已知 A、B 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的相异两点.设过点 A 且斜率为?k 1 的直线 l1 ,与过点

B 且斜率为 k 的直线 l 2 相交于抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点 P(4,4) ,求直线 AB 的斜率;
3.已知 A、B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的相异两点.设过点 A 且斜率为?1 的直线 l1 ,

t2 与过点 B 且斜率为 1 的直线 l 2 相交于抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的一定点 P ( , t ) ,求直 2p
2

线 AB 的斜率; AB 的斜率的值. 二层:两个一般或推广到其它曲线(4 分,问题与解答各占 2 分) 例:4.已知点?是抛物线 y 2 ? 4 x 上的定点.过点 P 作斜率分别为 k 、 ? k 的两条直线

l1、l 2 ,分别交抛物线于 A、B 两点,试计算直线 AB 的斜率.
三层:满分(对抛物线,椭圆,双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法. )(7 分,问题 3 分、 解答 4 分) 例如:5.已知抛物线 y 2 ? 2 px 上有一定点 P,过点 P 作斜率分别为 k 、 ? k 的两条直线

l1、l 2 ,分别交抛物线于 A、B 两点,试计算直线 AB 的斜率.
过 点 P ( x0 , y0 ), 斜 率 互 为 相 反 数 的 直 线 可 设 为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,

y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,其中 y0 ? 2 px0 。
由?

2

? y ? k ( x ? x0 ) ? y 0 ? y ? 2 px
2

得 ky 2 ? 2 py ? 2 py0 ? ky0 ? 0 ,所以

2

2p ? y0 ) 2 2p A( k , ? y0 ) 2p k ( 2p ? y0 ) 2 2p k ,? ? y 0 ) ,所以 同理,把上式中 k 换成 ? k 得 B ( 2p k (
当 P 为原点时直线 AB 的斜率不存在,当 P 不为原点时直线 AB 的斜率为 ? (3) (理)点 Q( x0, 0) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 yi ? 4xi (i ? 1,2) . 设线段 AB 的中点是 M ( xm , ym ) ,斜率为 k ,则 k ?
2

p 。 y0

y 2 ? y1 4 2 = .12 分 ? x2 ? x1 y1 ? y 2 y m

所以线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y ? y m ? ?

ym ( x ? xm ) , 2 ym (5 ? x m ) , 而 y m ? 0 , 于 是 2
??13 分

0) 在 直 线 l 上 , 所 以 ? y m ? ? 又 点 Q(5,

xm ? 3 .
(斜率 k MQ ?

ym ? 0 x ?5 2 ,AB ? MQ, ? ? m ,则 x m ? 3 --------------------------------13 分) xm ? 5 ym ym

线段 AB 所在直线的方程为 y ? y m ?
2

2 ( x ? 3) , ym

??14 分

代入 y ? 4 x ,整理得 4x 2 ? 24x ? y m 4 ? 12y m 2 ? 36 ? 0
x1 ? x 2 ? 6 , x1 ? x 2 ?

??15 分

y m 4 ? 12 y m 2 ? 36 。设 AB 线段长为 l ,则 4

l 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ?

4 ym
2

)[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] =

2 2 (4 ? y m )(? y m ? 12) ? ? y m 4 ? 8 y m 2 ? 48
2 因为 0 ? y m ? 4 x m ? 12 ,所以 y m ? (? 2 3, 0) ? (0, 2 3)

??16 分 ??18 分

即: l ?

4 2 ? ym ? 8 ym ? 48 . ( ? 2 3 ? ym ? 2 3 )

(文)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 yi ? 4xi (i ? 1,2) . 设线段 AB 的中点是 M ( xm , ym ) ,斜率为 k ,则 k ?

2

??13 分

y 2 ? y1 4 2 = ,??15 分 ? x2 ? x1 y1 ? y 2 y m
??17 分

线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y ? y m ? ?

ym ( x ? xm ) , 2

又点 Q( x0, 0) 在直线 l 上,所以 ? y m ? ?

ym ( x0 ? x m ) , 2
??18 分

而 y m ? 0 ,于是 xm ? x0 ? 2 .故线段 AB 中点的横坐标为 x0 ? 2 .


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