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江西省宜春市奉新一中2013-2014学年高二下学期第三次月考数学(理)试卷Word版含答案

宜春市奉新一中 2013-2014 学年高二下学期第三次月考数学 (理)试题

参考公式: k 2 ?

n(ad ? bc)2

,

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

n

? xi yi ? n ? x ? y

回归直线的方程是 y ? bx ? a ,其中 b ?

i ?1 n

, a ? y ? bx ,

? xi2 ? nx 2

i ?1

P(K 2 ? k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.789 10.828

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题纸上.)
1.已知 i 是虚数单位,则复数 1 ? 3i 的模为( ) 1? i
A.1 B.2 C. 5 D.5

2.随机变量 X 服从二项分布 X~ B?n, p?,且 EX ? 300, DX ? 200, 则 p 等于 ( )

A. 2

B. 0

3

C. 1

D. 1

3

3.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶

数点的概率为

(

)

A.1

B. 1 2

C. 1 3

D. 1 4

4.在极坐标系中,求过点 A(4,-23π)与极轴所在直线垂直的直线的极坐标方程 (

).

A. ? cos? ? ?2

B. ? cos? ? 2 C. ? sin? ? ?2

D. ? sin? ? 2

5.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋

友 1 本,则不同的赠送方法共有( )

A.4 种

B.10 种

C.18 种

D.20 种

6.马老师从课本上抄录一个随机变量? 的概率分布列如下表:

x
P?? ? x?

123
?!?

请小牛同学计算? 的数学期望。尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但 能肯定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 E? ? ( ).

A.1

B.4

C.3

D.2

7.把二项式 ( 3i ? x)10 展开,则展开式的第 8 项的系数是( )

A.135

B. ?135 C. ?360 3i D. 360 3i

8.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表:

(参考数据和公式见卷首)你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为( )

A. 80%

B. 90% C. 95% D. 97.5%

? 9. (2x ? a)5 的展开式中, x2 的系数等于 40,则 a (ex ? 2x)dx 等于( 0



A. e

B. e ?1 C. 1

D. e ?1

10.已知正四棱锥 P—ABCD 的四条侧棱,底面四条边及两条对角线共 10 条线段,现有一

只蚂蚁沿着这 10 条线段从一个顶点爬行到另一个顶点,规定: (1)从一个顶点爬行到另一

个顶点视为一次爬行;(2)从任一顶点向另 4 个顶点爬行是等可能的(若蚂蚁爬行在底面对

角线上时仍按原方向直行). 则蚂蚁从顶点 P 开始爬行 4 次后恰好回到顶点 P 的概率是( )

1
A.
16

9
B.
16

9
C.
64

13
D.
64

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。在答题卡上的相应题目的答题区 域内作答)
11.在一次数学考试中,某班学生的分数服从 X~ N (110,202 ) 且知满分为 150 分,这个班

的学生共 56 人,求这个班在这次数学考试中 130 分以上的人数大约是

.

12 . 若 对 于 任 意 的 实 数 x , 有 x3 ? a0 ? a1(x ? 2) ? a2 (x ? 2)2 ? a3 (x ? 2)3 , 则 a2 的 值



.

13.甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设

在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立.已知前 2

局中,甲、乙各胜 1 局.求再赛 2 局结束这次比赛的概率

.

14.口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球,有放回的每次摸取一个球,定义数列?an ?:

?? 1

an

?

? ?

1

第n次摸取红球 第n次摸取白球

,如果 Sn 为数列?an ?的前 n 项之和,那么 S7 ? 3 的概率为

.

15.设三位数 n ? abc ,若以 a, b, c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样

的三位数 n 有

个.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本题小满分 12 分)
在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系. 曲线 C1 ,曲线 C2 的极坐

标方程分别为

?

?

4 sin ?

,

?

sin

????

?

? 4

? ??

?

2

2.

(1) 求曲线C1 与C 2 的直角坐标方程,并分别指出是什么曲线? (2)求曲线C1 与C 2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ).

17.(本题小满分 12 分)

从 1 到 9 的九个数字中任取 7 个数组成没有重复数字的七位数. (1) 若要求偶数和奇数各至少有一个,能组成多少个七位数? (2) 若取三个偶数和四个奇数,且任意两偶数都不相邻的七位数有几个? (3) 偶数必须要在偶数位上的七位数有几个? (结果用数字作答)

18. (本小题满分 12 分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能

耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

(2)根据上表数据,利用最小二乘法,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;

(3)利用(2)中的线性回归方程,试估计生产 101 吨甲产品的生产能耗为多少吨标准 煤?

19.(.本小题满分 12 分)
甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为 1 ,乙,丙做对的概率分别为 m , 2

n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记? 为这三位学生中做对该题的人数,其分

布列为:

?

0

1

2

3

P

1

a

b

1

4

24

(1)求至少有一位学生做对该题的概率;
(2)求 m , n 的值;
(3)求? 的数学期望.

20.(本小题满分 13 分)
若 (ax ? 2b)6 的展开式中 x3 与 x4 的系数之比为 4 : 3 ,其中 a ? 0, b ? 0 (1)当 a ? 1时,求 (ax ? 2b)6 的展开式中二项式系数最大的项; (2)令 F (a, b) ? b3 ?16 ,当 a, b 为何值时,求 F (a,b) 的最小值. a

21.(本小题满分 14 分)

盒子中装有大小相同的 2 只红球,4 只黑球, n ( n ? 3 )只白球.规定:一次摸出 3 只球,
如果这 3 只球是同色的,就奖励 10 元,否则罚款 2 元.某人摸一次球,他获奖励 10 元的概
率为 p .

(1)当 n ? 4 时,
(i)若某人摸一次球,求他获奖励 10 元的概率;
(ii)若有 10 人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回,记随机变量? 为获奖励的人数.



P(?

? 1)

,和这

10

人所得总钱数的期望.(结果用分数表示,参考数据:???

14 15

10
? ??

?

1 2



(2)记某人三次摸球恰有一次中奖 10 元的概率为 f ( p) ,问当 n 为何值时, f ( p) 取得

最大值。

奉新一中 2015 届高二下学期第三次月考数学试卷(理) 参考答案
二、填空题
三、解答题

17.(本小题满分 12 分)1 到 9 的九个数字中任取 7 个数组成没有重复数字的七位数.

(1) 若要求偶数和奇数各至少有一个,能组成多少个七位数? (2) 若取三个偶数和四个奇数,且任意两偶数都不相邻的七位数有几个? (3) 偶数必须要在偶数位的七位数有几个? (结果用数字作答) 解 :(1) 7 个数分为 3 个奇数 4 个偶数,或 4 个奇数 3 个偶数,或 5 个奇数 2 个偶数,

共有 C53C44 A77 ? C54C43 A77 ? C55C42 A77 ? 181440 个……………………4 分
(2)偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5 个空档,

共有

A54

C

3 4

A53

?

28800

个。……………………8



(3) 7 个数分为 2 个偶数 5 个奇数,或 3 个偶数 4 个奇数,

共有 C42C55 A32 A55 ? C43C54 A33 A44 ? 7200 个……………………12 分
18. (本小题满分 12 分)

19.(.本小题满分 12 分)
甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为 1 ,乙,丙做对的概率分别为 m , 2

n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记? 为这三位学生中做对该题的人数,其分

布列为: (1)求至少有一位学生做对该题的概率;
(2)求 m , n 的值;
(3)求? 的数学期望.

?

0

1

2

3

P

1

a

b

1

4

24

解:(1) p ? 1 ? P(? ? 0) ? 3 4

(2)

P(?

?

0) ?

1 (1 ? m)(1 ? n) ? 2

1 ,P(? 4

?

3) ?

1 mn 2

?

1 24

解得 m ? 1 ,n ? 1

3

4

(3)

P(?

? 1) ?

11 ,P(? 24

?

2) ?

1 4

所以? 的数学期望为 E? ? 0? P(? ? 0) ?1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) ? 13 12
20.(本小题满分 13 分)

21.(本小题满分 14 分)
盒子中装有大小相同的 2 只红球,4 只黑球, n ( n ? 3 )只白球.规定:一次摸出 3 只球,
如果这 3 只球是同色的,就奖励 10 元,否则罚款 2 元.某人摸一次球,他获奖励 10 元的概
率为 p .
(1)当 n ? 4 时,(i)若某人摸一次球,求他获奖励 10 元的概率;

(ii)若有 10 人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回,记随机变量? 为获奖励的人数.



P(?

? 1)

,和这

10

人所得总钱数的期望.(结果用分数表示,参考数据:???

14 15

?10 ??

?

1 2



(2)记三次摸球恰有一次中奖 10 元的概率为 f ( p) ,当 n 为何值时, f ( p) 取最大值。

(2)摸一次球中奖

10

元的概率为

p

?

C43 ? Cn3 C3
n?6

(n

?

3)

三次摸球恰有一次中奖 10 元的概率为 f ( p) ? C31 p(1? p)2 ? 3 p3 ? 6 p2 ? 3 p, 0 ? p ? 1

f ?( p) ? 9 p2 ?12 p ? 3 ? 3( p ?1)(3 p ?1), 0 ? p ? 1

所以 f ( p) 在 (0, 1) 是增函数,在 (1 ,1) 是减函数,

3

3

将 n ? 3, 4,5

分别代入

p

?

C43 ? Cn3 C3
n?6

知:当 3 ?

n

? 13 时,

p 的值递增,

且当 n

? 13 时,

p

?

C43 ? C133 C139

?

0.299 ,

f

(0.299)

?

C310.299? (1? 0.299)2

?

0.441

当n

? 14 时,

p

?

C43 ? C134 C230

?

0.323 ,

f

(0.323)

? C310.323? (1? 0.323)2

? 0.444

所以当 n ? 14 时, f ( p) 取最大值。……………………14 分


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