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山东省滕州市第三中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

高二上学期期末考试数学(文)试题

1.下列四个命题:

①若 a ?| b |,则 a2 ? b2 ,
③若 a>b,c>d,则 ac>bd 其中正确命题的个数有

②若 a > b,c > d,则 a - c > b - d ,
④若 a ? b ? 0,c ? 0,则 c ? c , ab
()

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2.已知 x 与 y 之间的一组数据(如表所示):则关于 y 与 x 的线性回归方程 y=bx+a 必过

定点( )

x

0

1

2

3

A.(2,2)

y

1

B.(1.5,0)

3

5

C.(1,2)

7 D.(1.5,4)

3.椭圆 x2 ? y2 ? 1的焦距为( ) 43

A.1

B. 7

C.2

D. 2 7

4.下列求导运算正确的是

A. ( 1 )? ? 1 x x2

B. ( e x )? ? xe x ? e x

x

x2

C. (x2 cos x)? ? ?2x sin x

D. (log2

x)?

?

1 x ln 2

5.抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上有一点 M,它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线方

程为

A. y2 ? 8x
6.下列说法正确的是

B. y2 ? 8 x 3

A.函数的极大值大于函数的极小值

C. y2 ? 3x

D. y2 ? 10 x 3

B.若 f ' (x0 ) ? 0 ,则 x0 为函数 f (x) 的极值点
C.函数的最值一定是极值

D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

?2x ? y ? 4 7.设 x、y 满足 ??x ? y ? ?1 ,则目标函数 z=x+y
??x ? 2 y ? 2

A.有最小值 2,无最大值

B.有最小值 2,最大值 3

C.有最大值 3,无最小值

D.既无最小值,也无最大值

8.已知双曲线方程为 x2 ? y2 ? 1 ,则过点 (2,0) 且与该双曲线只有一个公共点的直线有 4

( )条。

A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知 P(x, y) 为函数 y ? x sin x ? cos x 上任意一点,f (x) 为点 P 处切线的斜率,则 f (x)

的部分图像是

10.已知直线:y ? kx ? 2(k为常数)过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 a2 b2

F,且被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 d ,若 d ? 4 5, 则椭圆离心率 e 的取值范围是 5

A.

????

0, 5 5

?
? ?

B.

? ???

0,2

5

5

?
? ?

C.

????

0,3

5 5

?
? ?

D.

????

0,4

5

5

?
? ?

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应横线上)

11.函数 f (x) ? 2x2 ? ln x 的单调减区间是___________.

12.函数 y ? f ? x? 在 x ? 5 处的切线方程是 y ? ?x ? 8 ,则 f ?5? ? f ??5? ?



13.已知向量 m ? (a ? 2,?2) , n ? (?2,b ? 2) , m ∥ n ,且 a ? 0,b ? 0 ,则 ab 的最小值
为___________.
14.已知函数 f (x) ? ln x ? ax 有零点,则 a 的取值范围是________。

15.对于等差数列{an}有如下命题:“若{an}是等差数列,a1=0,s、t 是互不相等的正整数,

则有(s-1)at=(t-1)as”.类比此命题,给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是: “____________________________________________________”. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卷的指定区域内。)
16.(12 分)已知 c ? 0 ,用分析法证明: c ?1 ? c ?1 ? 2 c .
17.(12 分)已知 p : 6 ? 1, q : x2 ? 2ax ? a2 ?1 ? 0 ,(其中 a ? R ,为常数)若 ? p 是
x?3
?q 的充分而不必要条件,求实数 a 的取值范围.
18.(12 分)用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面 的长比宽多 0.5 米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积.
19.(13 分)已知函数 f (x) ? 2ax ? 3 x2 ? 3ln x ,其中 a ? R ,为常数 2
(1)若 f (x) 在 x∈[1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围;

(2)若 x=3 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在 x∈[1,a]上的最大值。

20.(13 分)已知离心率为

3 2

的椭圆

C,其长轴的端点

A1 ,

A2

恰好是双曲线

x2 3

? y2

?1的

左右焦点,点 P 是椭圆 C 上不同于 A1, A2 的任意一点,设直线 PA1, PA2 的斜率分别为 k1, k2 .
(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)试判断乘积“ k1 ? k2 ”的值是否与点 P 的位置有关,并证明你的结论;

(3)当 k1

?

1 2

,在椭圆

C

上求点

Q,使该点到直线

PA2

的距离最大。

21.(13 分)已知函数 f (x) ? x3 ? 2x ? sin x ,( x ? R )

(1)证明:函数 f (x) 是 R 上的单调递增函数;

(2)解关于 x 的不等式 f (ax2 ? x) ? f (1? ax) ? 0 ,其中 a ? R .

2014-2015 学年度山东省滕州市第三中学高二第一学期期末考试 数学试题(文)参考答案

? ? ? ? 三、16.要证原式成立,只需证明

2

2

c ?1 ? c ?1 ? 2 c

即证 2c ? 2 c2 ?1 ? 4c

即证 c2 ?1 ? c

而 c ? 1,故只需证明 c2 ?1 ? c2
而此式成立,所以原不等式得证。

18.解:设容器底面宽为 x m,则长为( x +0.5)m,高为(3.2-2 x )m.

由???3.2-2x>0, ??x>0,

解得 0< x <1.6,

设容器的容积为 ym3,则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, y′=-6x2+4.4x+1.6, 令 y′=0,即-6x2+4.4x+1.6=0, 解得 x=1,或 x=-145(舍去). ∵在定义域(0,1.6)内只有一个点 x=1 使 y′=0,且 x=1 是极大值点,

∴当 x=1 时,y 取得最大值为 1.8. 此时容器的高为 3.2-2=1.2m. 因此,容器高为 1.2m 时容器的容积最大,最大容积为 1.8m3.

19.解: f '(x) ? 2a ? 3x ? 3 ? ? 3x2 ? 2ax ? 3

x

x

(1)由题意知 f '(x) ? 0 对 x ??1,??? 恒成立,即 ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0
x

又 x ? 0 ,所以 ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立 即 3(x ? 1 ) ? 2a 恒成立, 6 ? 2a ,所以 a ? 3
x (3)依题意 f '(3) ? 0 即 ? 3?32 ? 2a ?3 ? 3 ? 0 ,解得 a ? 5
3

此时 f '(x) ? ? 3x2 ?10x ? 3 ? ? (x ? 3)(3x ?1) ,

x

x

易知 x ??1,3?时 f '(x) ? 0 ,原函数递增, x ??3,5?时, f '(x) ? 0 ,原函数递减;

所以最大值为 f ?3? ? 33 ? 3ln 3
2

(2)设

P(x0

,

y0

)



x0 2 4

?

y02 1

? 1,即 y0 2

? 1? x02 4

? 4 ? x02 4

k1

? k2

?

y0 ? 0 x0 ? (?2)

?

y0 x0

?0 ?2

?

y02 x02 ?

4

?

?

1 4

.所以 k1

? k2 的值与点 P

的位置无关,恒

为? 1 . 4

(3)当 k1

?

1 2

时, k2

?

?1 2

,故直线 PA2 的方程为

y

?

? 1 (x ? 2) 即 x ? 2 y 2

?2

?

0,

设与 PA2 平行的椭圆 C 的切线方程为 x ? 2 y ? m ? 0 ,与椭圆 C 联立得

? x2 ?

?

y2

?1

?4

消去 x 得 8y2 ? 4my ? m2 ? 4 ? 0 ................. ???

??x ? 2 y ? m ? 0

? ? 由 ? ? ?4m?2 ? 4 ?8? m2 ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 2 或 m ? ?2 2 (舍去),

代入 ??? 可解得切点坐标 ???? ?

2,?

2 2

????

即为所求的点

Q.

21.解:(1) f '?x? ? 3x2 ? 2 ? cos x ,因为 2 ? cos x ? 0,3x2 ? 0 ,所以 f '?x? ? 0

所以函数 f (x) 是 R 上的单调递增函数


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