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平面向量与空间向量知识点及理科高考试题


平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、考试内容要求: (一)、平面向量: (1)平面向量的实际背景及基本概念: ①了解向量的实际背景。 ②理解平面 向量的概念,理解两个向量的相等含义。 ③理解向量的几何表示.

(2)向量的线性运算: ①掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ② 掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示: ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、 减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积: ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解 平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面 向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系. (5)向量的应用: ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量 方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. (二)、(1)空间向量及其运算:①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定 理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运 算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积 判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用:①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量
1

③了解向量线

语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量 方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 。④能用向量 方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题,了解向量方法 在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳: (一)、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) ,记作 AB ;长度为零的向 量叫做零向量;长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与 任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. 2、 既有大小又有方向

2

2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 平行四边形减法法则. 2、 三角形减法法则和

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定: 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘.记作:? a , 它的长度和方向规定如下: ⑴ ?a ? ? a , ⑵当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使
b ? ?a .

?

?

§2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? , 则 :
a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ,
3

⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ,



⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? ,⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则:
AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? .

§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则
x y ?y ⑴线段 AB 中点坐标为 ?x ? , 2 , 2 ?
1 2 1 2

⑵△ABC 的重心坐标为 ?x ? x3 ? x , y ? y3 ? y ? .
1 2 3 1 2 3

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a ? b ? a b cos? . 3、 a ? a .
2 2

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? .
2

4、 a ? a .

5、 a ? b ? a ? b ? 0 .

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵ a ? x12 ? y12 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则: AB ? ?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 . 3、 两向量的夹角公式
cos ? ? a ?b a b ? x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2

4、点的平移公式 平移前的点为 P( x, y ) (原坐标) ,平移后的对应点为 P?( x?, y?) (新坐标) ,平移 向量为 PP? ? (h, k ) , 则?
? x? ? x ? h ? y? ? y ? k .

函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (h, k ) 平移后的图像的解析式为 y ? k ? f ( x ? h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接:空间向量
4

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几 何中证明,求值的应用进行总结归纳. 高考试题(2010―2014) 一、选择题(共 39 题)
V ABC 中, 1、 (2010 全国 2) 点 D 在 AB 上,CD 平方 ?ACB . 若 CB ? a ,CA ? b ,a ? 1 ,

uur

uur

uuu r b ? 2 ,则 CD ?

(A ) a ? b

1 3

2 3

(B) a ? b

2 3

1 3

(C) a ? b

3 5

4 5

(D) a ? b
1 2

4 5

3 5

答案:B

2. (2011 全国)设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a b = ? , a ? c, b ? c = 600 ,则 c 最大值等于 A.2 B. 3 C. 2 D.1 答案:A

3. (2011 全国新课标)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 A. P1 , P4 B. P 1, P 3 C. P2 , P3 D. P2 , P4 答案:A

4、 (2012 全国) ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 ,
| b |? 2 ,则 AD ?

(A) a ? b

1 3

1 3

(B) a ? b

2 3

2 3

(C) a ? b

3 5

3 5

(D) a ? b

4 5

4 5

答案:D

m ?n ? ,则 ? = 5. (2012 全国新课标)已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2? ,若 ? m ?n ? ? ?

(A) ?4

(B) ?3

(C) ?2

(D) -1

答案:B. )

6.(2014 全国)若向量 a, b 满足: | a |? 1 , (a ? b) ? a , (2a ? b) ? b ,则 | b |? (

5

A.2

B. 2

C .1

D.

2 2

答案:B. )

7、 (2014 全国新课标 2)设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 答案:A 8、 (2010 安徽)设向量 a ? (1,0), b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 (A) | a |?| b | (B) a ? b ?
2 (C) a ? b与b 垂直 (D) a // b 2
1 1 2 2

答案: C
3? 4

9、 (2012 安徽)在平面直角坐标系中,O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后,得向量 OQ 则点 Q 的坐标是(
( A) (?7 2, ? 2) ( B ) (?7 2, 2)


(C ) (?4 6, ?2) ( D ) (?4 6, 2)

答案: A

10、(2013 安徽)在平面直角坐标系中, o 是坐标原点,两定点 A, B 满足
OA ? OB ? OA OB ? 2, 则点集 P ? OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R | 所表示的区域的

面积是 (A) 2 2 (B) 2 3 (C) 4 2 (D) 4 3 答案:D

11.(2010 福建)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0)的中心 2 a

和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 op fp 的取值范围为 A. [3- 2 3 , ?? )B. [3+ 2 3 , ?? ) C. [ ? , ?? ) D. [ , ?? )答案:B.
?x ? y ? 2 ? 12. (2011 福建) 已知 O 是坐标原点, 点 A(-1, 1), 若点 M(x, y)为平面区域 ? x ? 1 ?y ? 2 ?
7 4 7 4

上的一个动点,则 OA ? OM 的取值范围是( A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2]

) D.[-1,2]
??? ???

答案: C

13. (2010 湖北)已知 ?ABC 和点 M 满足 MA? MB + MC ? 0 .若存在实数 m 使得
AB? AC ? m AM 成立,则 m=
??? ??? ???

???

6

A.2

B. 3

C.4

D.5

答案:B.

14. (2011 湖北)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z) ,且 a⊥ b.若 x,y 满足不等 式 x ? y ? 1 ,则 z 的取值范围为 A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] 答案:D

15、 (2013 湖北)已知点 A ? ?1,1? 、 B ?1, 2 ? 、 C ? ?2, ?1? 、 D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方 向上的投影为( A.
3 2 2

) C. ?
3 2 2

B.

3 15 2

D. ?

3 15 2

答案: A

16. (2010 湖南在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 ,则 AB AC 等于 A. ?16 B. ? 8 C.8 D.16 答案:D

17.(2012 湖南) 在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB BC = 1 则 BC ? ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23 答案:A

18. (2013 湖南)已知 a, b 是单位向量, a b ? 0 .若向量 c 满足
c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是

A. ? , 2+1? ? 2-1, ?

B. ? , 2+2 ? ? 2-1, ?

C. ? , 2+1? ?1, ?

D. ? , 2+2 ? ?1, ?

答案:A

19. (2011 辽宁)若 a ,b ,c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 ,(a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大值为 A.
2 ?1

B .1

C. 2

D.2

答案:B.

20、(2013 辽宁)已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
3 4? (A) ? ? ,- ? ?5 5? 4 3? (B) ? ? ,- ? ?5 5? ? (C) ? ?? , ? 5 5 3 4 ? ? ? (D) ? ?? ,? 5 5 4 3 ? ?

答案:A

21、 (2014 辽宁)设 a, b, c 是非零向量,学科 网已知命题 P:若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 , 则 a ? c ? 0 ;命题 q:若 a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是(
7



A. p ? q

B. p ? q

C. (?p) ? (?q)

D. p ? (?q)

答案: C

22 、 ( 2010 山 东 ) 定 义 平 面 向 量 之 间 的 一 种 运 算 “ ⊙ ” 如 下 : 对 任 意 的
a ? (m, v), b ? ( p ? q) 。令 a ⊙ b ? m q ? np. 下面说法错误的是

(A)若 a 与 b 共线,则 a ⊙ b ? 0

(B) a ⊙ b ? b ⊙ a

(C)对任意的 ? ? R, 有(?a) ⊙ b ? ? (a ⊙ b) (D)(a ⊙ b) ? ? (a ? b) 2 ?| a |2 | b |2 答案:B. 23. (2011 山东)设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 R) ,A A1 A3 ? ? A1 A2 (λ∈ A A A ? 14 ? 12 (μ∈ R) ,且 ?
?
1 1

?

? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割

A1 , A2 ,已知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B 则下面说法正确的是

(A) .C 可能是线段 AB 的中点 (C) .C,D 可能同时在线段 AB 上 延长线上 答案:D

(B) .D 可能是线段 AB 的中点 (D) .C,D 不可能同时在线段 AB 的

24. (2011 陕西)设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则∣ a ∣= ∣ b ∣”的逆命题是 A.若 a ? ?b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ B.若 a ? ?b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ 答案:D

C.若∣ a ∣ ? ∣ b ∣,则 a ? ?b D.若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a = - b
b |?| a || b | ”是“a//b”的 25.(2013 陕西) 设 a, b 为向量, 则“ | a·

(A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案:C

26 、 ( 2011 上 海 ) 设 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 是 空 间 中 给 定 的 5 个 不 同 的 点 , 则 使 ( MA1 ? MA2 ? MA3 ? MA4 ? MA5 ? 0 成立的点 M 的个数为〖答〗 A 0 B 1 C 5 D 10 ) 答案:B.

27. (2013 上海)在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶 点为终点的向量分别为 a1, a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别
8

为 d1, d2 , d3 , d4 , d5 . 若 m, M 分别为 (ai ? a j ? ak ) ? ( dr ? ds ? dt)的最小值、最大值,其中
{i, j, k} ? {1, 2,3, 4,5} , {r , s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M

满足(

). (D) m ? 0, M ? 0 答案:D.

(A) m ? 0, M ? 0

(B) m ? 0, M ? 0

(C) m ? 0, M ? 0

28 、 ( 2010 四 川 ) 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 , 则 B C ? 1 6? , A B? A C ? ? ?A B? A C ? ??AM?? (A)8 (B)4 (C) 2 (D)1 答案:C
2

29、(2011 四川)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF = 30、(A)0 (B) BE (C) AD (D) CF 答案:D
a b 成立的充 ? |a| |b|

30 (2012 四川) 、设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 分条件是( A、 a ? ?b ) B、 a // b C、 a ? 2b D、 a // b 且 | a |?| b |

答案:C

31. (2014 四川)平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角 等于 c 与 b 的夹角,则 m ? A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 答案:D 32、 (2012 天津)已知△ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB ,
3 AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP = ? ,则 ? = 2

(A)

1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3 ? 2 2 2

答案:A

33、 (2014 天津) 已知菱形 ABCD 的边长为 2,? BAD 120 , 点 E , F 分别在边 BC, DC 上, BE = l BC , DF = mDC .若 AE ? AF 1 , CE ?CF (A)
1 2 2 ,则 l + m = ( 3



(B)

2 3

(C)

5 6

(D)

7 12

答案:C

34. (2012 浙江)设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

9

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 答案:C
1 4

35. (2013 浙江)设 ?ABC, P0 是边 AB 上一定点,满足 P0 B ? AB ,且对于边 AB 上任 一点 P ,恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0C 。则 A.
?ABC ? 900

B. ?BAC ? 900

C. AB ? AC

D. AC ? BC

答案:D )

36、 (2010 重庆)已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ,则 | 2a ? b |? ( A、0 B、 2 2 C、4 D、8 答案:B.

37、 (2012 重庆)设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b c ,则 a ? b ? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D)10 答案:B.
1 2

38、 (2013 重庆)在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? , 则 OA 的取值范围是( ) A、 ? ? 0,
? ? 5? ? 2 ?

B、 ? ?

? 5 7? , ? ? 2 2 ?

C、 ? ?

? 5 ? , 2? ? 2 ?

D、 ? ?

? 7 ? , 2? ? 2 ?

答案:D

39、 (2014 重庆).已知向量 a ? (k,3), b ? (1, 4), c ? (2,1) ,且 ? 2a ? 3b? ? c ,则实数 k=
A. ? 9 2

B.0

C.3 题)

D.

15 2

答案:B.

二、填空题(共

,2 a ?b ? 1 0 ;则 b ? _____ 1、 (2012 全国新课标)已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1

答案: 3 2 2、 (2013 全国新课标 1)已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60° , c ? ta ? (1 ? t )b .若
b ? c =0,则 t =____________.答案:2

3、 ( 2013 全国新课标 2 )已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则
AE ? BD ? _______。答案: 2

10

4、 (2014 全国新课标 1) 已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? ( AB ? AC ) , 则 AB 与 AC 的夹角为 答案.
? 2

1 2

5、 (2011 安徽)已知向量 a,b 满足(a+2b)?(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为 答案:
? 3

6、 (2014 安徽)已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1,x2,x3,x4,x5 和 y1, y2, y3, y4, y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成.记 S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5, Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 有正确命题的编号). ①S 有 5 个不同的值 ②若 a⊥b,则 Smin 与 a 无关 ④若 b ? 4 a ,则 Smin>0
? 4

(写出所

③若 a∥b,则 Smin 与 b 无关
2

⑤若 b ? 2 a ,Smin= 8 a ,则 a 与 b 的夹角为

答案;②④

7.(2011 北京)已知向量 a=( 3 ,1) ,b=(0,-1) ,c=(k, 3 ) 。若 a-2b 与 c 共线,则 k=___________________。答案:1 8. (2012 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为________, DE ? DC 的最大值为______。答案:1,1 9、 (2013 北京)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ, μ∈R),则 =
? ?

答案:4 10 、 ( 2014 北京)已知向量 a 、 b 满足 a ? 1 , b ? ? 2,1? ,且 ? a ? b ? 0 ? ? ? R? ,则
? ? ________.答案: 5

11

11. (2011 福建)设 V 是全体平面向量构成的集合.若映射 f:V→R 满足: 对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ∈R,均有 f(λa+(1 -λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b),则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质 P 的映射 的序号 答案:①③
b ?? a ? b? ? ? , 12. (2014 湖北) 设向量 a ? (3,3) , 若 ?a ? ? 则实数 ? ? ________. b ? (1, ?1) ,

答案:±3 13 、 ( 2011 湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2BD, CA ? 3CE ,则
AD ? BE ? ________ 。答案: ?
1 4

14. (2014 湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点 A(?1,0), B(0, 3), C(3 0)动点 D 满足 CD ? 1 ,则 OA ? OB ? OD 的最大值是__________。答案: 2 3 15. (2010 江西) 已知向量 a ,b 满足 a ? 1 ,b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°, 则 a ?b ? 答案: 3
(a ? b ) 16. (2011 江西)已知 a ? b ? 2 , (a ? 2b) ? =-2,则 a 与 b 的夹角为

答案:

? 3

17、 (2013 江西).设 e1 ,e2 为单位向量。且 e1 ,e2 的夹角为 ,若 a ? e1 ? 3e2 ,b ? 2e1 , 则向量 a 在 b 方向上的射影为 答案:5/2
1 3

? 3

18、 (2014 江西).已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? ,且 cos ? ? ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 与
b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? ,则 cos ? =

19、 (2013 山东)已知向量 AB 与 AC 的夹角为120 ,且 | AB |? 3,| AC |? 2, 若
AP ? ? AB ? AC, 且 AP ? BC ,则实数 ? 的值为

答案:
?
6

7 12

20、 (2014 山东) 在 ?ABC 中, 已知 AB ? AC ? tan A , 当A? 答案:1/6
12

?ABC 的面积为 时,

.

21.(2010 陕西)已知向量 a=(2,-1) ,b=(-1,m) ,c= (-1,2) ,若(a+b)∥c,则 答案: m=-1
?2
4 ? y2 ? 1

22。 (2010 上海) 如图所示, 直线 x=2 与双曲线 ? :

的渐近线交于 E1 , E2 两点,记 OE1 ? e1, OE2 ? e2 ,任取双曲 线 ? 上的点 P,若 OP ? ae1, ?be2 (a、b ? R) ,则 a、b 满足的 一个等式是 答案: 4ab=1

23 . ( 2012 上海)若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示) 。 24. (2012 上海)在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且满足
?
3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,
? | CN | | CD |

| BM | | BC |

,则 AM ? AN 的取值范围

是 (2,5) 。 25、 (2013 四川) 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO , 则 ? ? ____________。答案:2 26 、 ( 2010 天 津 ) 如 图 , 在 ABC 中 ,
A D? A B , BC ? 3 BD ,

AD ? 1 ,则 AC AD ?

.答案: 3
?BAD ? 60? ,

27、 (2013 天津)在平行四边形 ABCD 中, AD = 1,
AD· BE ? 1 ,

E 为 CD 的中点. 若

则 AB 的长为

答案:1/2

28、 (2010 浙江) 已知平面向量 a, ? (a ? 0, a ? ? ) 满足 ? ? 1, 且a与? ? a 的夹角为 120° 则 a 的取值范围是 。答案: (0,
2 3 ] 3

29. (2011 浙江)若平面向量α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量α ,β 为邻边 的平行四边形的面积为 ,则α 与β 的夹角 ? 的取值范围是
1 2

。答案:

13

? 5? [ , ] 6 6

30. (2013 浙江)设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角 为 ,则
? 6
|x| |b|

的最大值等于________。答案:2 答

31. (2011 重庆)已知单位向量 e1 ,e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________ 案: 3
32、 (2011 江苏)已知 e1 , e 2 是夹角为
? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 3

的值为 答案:5/4 33. (2012 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,

D

F

C

AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,
E 点 F 在边 CD 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 ▲ .答案: 2 . A D P B

34、(2014 江苏) 如图,在平行四边形 ABCD 中, 35、已知 AB ? 8 , AD ? 5 , CP ? 3PD , AP ? BP ? 2 , 36、则 AB ? AD 的值是 ▲ . 答案:22 A

C

三、解答题 1、 (2010 江苏) (本小题满分 14 分)

(第 12 题)

B

在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )? OC =0,求 t 的值。 2. (201 江苏本小题满分 14 分)已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

14


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