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河南省洛阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷-(Word版含解析)


河南省洛阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A={0,1,2,3},集合 B={x|x∈A 且 1﹣x?A},则集合 B 的元 素的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(﹣2,3) ,C(4,y)在同一条直线上,则 y 的 值为() A.﹣1 B。 C.1 D.

3. (5 分)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的 矩形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积为()

A.2π

B.

C.4π

D.5π

4. (5 分)设有直线 m、n 和平面 α 、β ,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B. 若 m? α , n?α , m∥β , n∥β , 则 α ∥β C.若 α ⊥β ,m?α ,则 m⊥β D.若 α ⊥β ,m⊥β ,m?α ,则 m∥α 5. (5 分)下列四个数中最小者是() A.log3 B.log32 C.log23 D. log( 3 log23) 的 π

6. (5 分)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 正三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为() A.8π B. C. D.8

7. (5 分)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0,则直线 PB 的方程是() A.x+y﹣5=0 B.2x﹣y﹣1=0
1

C. 2y﹣x﹣4=0

D.2x+y﹣7=0

8. (5 分)已知函数 f(x)=loga(2﹣ax)在(﹣∞,1]上单调递减,则 a 的取 值范围是() A.(1,2) B. (0,1) C. (0,1)∪(1,2) D. (0,1)∪(2,+∞) 9. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x∈R 有 f(x)=f(x+6) ,且 f (x)在(0,3)内单调递减,f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则下列正确的 结论是() A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) C.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5) 10. (5 分)已知圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和 最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为() A.10 B. 20 C. 30 D.40 11. (5 分) (理)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是()

A.90°

B. 60°

C. 45°

D.30°

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=t 有 3

个不等根 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 x3﹣x1 的取值范围为() A.(2, ] B. (2, ] C. (2, ] D. (2,3)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知长方形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,其水平放置的直观图如图所示, 则 A′C′=___________

14. (5 分)若点 P(x,y)在圆 C: (x﹣2)2+y2=3 上,则 的最大值是_______.
2

2 2 2 15. (5 分) 已知圆 (x﹣3) +y2=16 和圆 (x+1) + (y﹣m) =1 相切, 则实数 m=_____.

16. (5 分)将边长为 2 的正方形 ABCD(O 是正方形 ABCD 的中心)沿对角线 AC 折起,使得半平面 ACD 与半平面 ABC 成 θ (0°<θ <180°)的两面角,在折 起后形成的三棱锥 D﹣ABC 中,给出下列三个命题: ①不论 θ 取何值,总有 AC⊥BD; ②当 θ =90°时,△BCD 是等边三角形; ③当 θ =60°时,三棱锥 D﹣ABC 的体积是 .

其中正确的命题的序号是_________. (把你认为正确的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (10 分)已知直线 l1:x+my+6=0,直线 l2: (m﹣2)x+3my+18=0. (1)若 l1∥l2,求实数 m 的值; (2)若 l1⊥l2,求实数 m 的值. 18. (12 分) 如图, O 为矩形 ABCD 的中心, E, F 为平面 ABCD 同侧两点, 且 EF △CDE 和△ABF 都是等边三角形. (1)求证:FO∥平面 ECD; (2)设 BC= CD,求证:EO⊥平面 FCD. BC,

19. (12 分)如图,已知直线 l1:4x+y=0,直线 l2:x+y﹣1=0 以及 l2 上一点 P (3,﹣2) ,求圆心在 l1 上且与直线 l2 相切于点 P 的圆的方程.

20. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣

,g(x)=



(1)若函数 f(x)为奇函数,求 a 的值;
3

(2)若关于 x 的方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 有唯一的实数解,求实数 a 的取值 范围. 21. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值.

22. (12 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1, 且当 x>0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x2)<3 对任意的 x∈

4

2.考点: 三点共线. 专题: 直线与圆. 分析: 根据三点共线,结合斜率之间的关系进行求解. 解答: 解:若点 A(1,2) ,B(﹣2,3) ,C(4,y)在同一条直线上, 则满足 kAB=kAC, 即 即 , ,

则 y﹣2=﹣1,解得 y=1, 故选:C 点评: 本题主要考查三点共线的应用一件斜率公式的计算,根据斜率之间的关 系是解决本题的关键. 3. (5 分)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的 矩形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积为()

A.2π

B.

C.4π

D. 5π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;图表型. 分析: 由三视图知,此几何体是一个圆柱,其高为 2,半径为 ,由公式易求得 它的表面积,选出正确选项 解答: 解:由图知,此几何体是一个圆柱,其高为 2,半径为 , 它的表面积为 +2×2π × =

故选 B 点评: 本题考查由三视图求面积、体积,解题的关键是由三视图还原出实物图 的几何特征及其度量,再由公式求出表面积,本题考查了空间想像能力. 4. (5 分)设有直线 m、n 和平面 α 、β ,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m?α ,n?α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β
5

C.若 α ⊥β ,m?α ,则 m⊥β

D.若 α ⊥β ,m⊥β ,m?α ,则 m∥α

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断 A、B、D;由面面垂直的 性质定理判断 C. 解答: 解:A 不对,由面面平行的判定定理知,m 与 n 可能相交,也可能是异面 直线;B 不对,由面面平行的判定定理知少相交条件; C 不对,由面面垂直的性质定理知,m 必须垂直交线; 故选:D. 点评: 本题考查了线面的位置关系, 主要用了面面垂直和平行的定理进行验证, 属于基础题. 5. (5 分)下列四个数中最小者是() A.log3 (log23) 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性求解. 解答: 解:∵0=log31< = <log23<log24=2, ∴ <log3(log23)<log32<log23. . < = <log32<log33=1, B. log32 C.log23 D. log3

∴四个数中最小的是

故选:A. 点评: 本题考查四个数中的最小者的求法,是基础题,解题时要注意对数函数 的性质的合理运用. 6. (5 分)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 正三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为() A.8π 8 π B. C. D. 的

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出 球的半径即可求出球的体积.
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解答: 解: 由题意可知: 正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心, 因为△ABC 是边长为 的正三角形,所以底面中心到顶点的距离为:1; 因为 AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,所以外接球的半径为:r= = . 所以外接球的体积为:V= π r3= π ×( )3= .

故选:C. 点评: 本题给出正三棱柱有一个外接球,在已知底面边长的情况下求球的体 积.着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识,属于 中档题. 7. (5 分)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0,则直线 PB 的方程是() A.x+y﹣5=0 B. 2x﹣y﹣1=0 C.2y﹣x﹣4=0 D. 2x+y﹣7=0 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 求出 PA 的斜率, PB 的倾斜角, 求出 P 的坐标, 然后求出直线 PB 的方程. 解答: 解:由于直线 PA 的倾斜角为 45°,且|PA|=|PB|, 故直线 PB 的倾斜角为 135°, 又当 x=2 时,y=3,即 P(2,3) , ∴直线 PB 的方程为 y﹣3=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣5=0. 故选 A 点评: 本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,考查逻辑推理能力,计 算能力,转化思想的应用,是基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=loga(2﹣ax)在(﹣∞,1]上单调递减,则 a 的取 值范围是() A.(1,2) B. (0,1) C.(0,1)∪(1, 2) D. (0,1)∪(2,+∞) 考点: 复合函数的单调性;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分类讨论,利用复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质求得 a 的范围,综合可得结论. 解答: 解:当 a>1 时,由 2﹣a>0 求得 a<2,∴1<a<2. 当 0<a<1 时,由于 2﹣ax 在(﹣∞,1]上可能为负数,故不满足条件. 综上可得,1<a<2, 故选:A. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了 转化的数学思想,属于基础题.

7

9. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x∈R 有 f(x)=f(x+6) ,且 f (x)在(0,3)内单调递减,f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则下列正确的 结论是() A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) C.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5) 考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件可知函数 f(x)的周期为 6,利用函数周期性,对称性和单调性 之间的关系即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=f(x+6) , ∴f(x)在 R 上以 6 为周期, ∵函数的对称轴为 x=3, ∴f(3.5)=f(2.5) ,f(6.5)=f(0.5) ∵f(x)在(0,3)内单调递减,0.5<1.5<2.5 ∴f(2.5)<f(1.5)<f(0.5) 即 f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) 故选:C 点评: 本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用,利用周期性把所要 比较的变量转化到同一单调区间,利用函数的单调性比较函数值的大小,是解决 此类问题的常用方法. 10. (5 分)已知圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和 最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为() A.10 B. 20 C.30 D. 40 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据题意可知,过(3,5)的最长弦为直径,最短弦为过(3,5)且垂 直于该直径的弦,分别求出两个量,然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对 角线乘积的一半求出即可. 解答: 解:圆的标准方程为(x﹣3)2+(y﹣4)2=52, 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10, 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2 =4 ,且 AC⊥BD, =20 .

四边形 ABCD 的面积 S=| AC|?|BD|= ×10×4

故选 B 点评: 考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力,掌握对角线垂直的四 边形的面积计算方法为对角线乘积的一半. 11. (5 分) (理)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是()
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A.90°

B.

60°

C.45° D. 30°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;证明题;空间角. 分析: 设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长等于 2, 延长 MC1 到 N 使 MN=BB1, 连接 AN. 可 得∠AB1N(或其补角)就是异面直线 AB1 和 BM 所成角,然后在△AB1N 中分别算出 三条边的长,利用余弦定理得 cos∠AB1N=0,可得∠AB1N=90°,从而得到异面直 线 AB1 和 BM 所成角. 解答: 解:设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长等于 2,延长 MC1 到 N 使 MN=BB1,连接 AN,则 ∵MN∥BB1,MN=BB1,∴四边形 BB1NM 是平行四边形,可得 B1N∥BM 因此,∠AB1N(或其补角)就是异面直线 AB1 和 BM 所成角 ∵Rt△B1C1N 中,B1C1=2,C1N=1,∴B1N= ∵Rt△ACN 中,AC=2,CN=3,∴AN= 又∵正方形 AA1B1B 中,AB1=2 ∴△AB1N 中,cos∠AB1N= 即异面直线 AB1 和 BM 所成角为 90° 故选:A =0,可得∠AB1N=90°

点评: 本题在所有棱长均相等的正三棱柱中,求异面直线所成的角大小,着重 考查了正三棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识,属于基础题.

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=t 有 3

个不等根 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 x3﹣x1 的取值范围为() A.(2, ] (2,3) 考点: 根的存在性及根的个数判断.
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B.

(2, ]

C.(2,

]

D.

专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 作函数 f(x)= ﹣t,x3= 从而解得. 解答: 解:作函数 f(x)= 与 y=t 的图象如下, =1+ 与 y=t 的图象,从而可得 0<t<1,x1= ;从而可得 x3﹣x1=1+ +t=﹣( ﹣ )2+ ;

结合图象可知,0<t<1; x1=﹣t,x3= 故 x3﹣x1=1+ 故 2<x3﹣x1≤ ; 故选:B. 点评: 本题考查了学生作图的能力及数形结合的思想应用,同时考查了配方及 换元法的应用,属于中档题. 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知长方形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,其水平放置的直观图如图所示, 则 A′C′= . =1+ +t=﹣( , ﹣ )2+ ;

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考点: 余弦定理的应用;平面图形的直观图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,A′B′= ,A′D′=3,∠A′D′C′=135°,利用余弦定理可 得 A′C′. 解答: 解:由题意,A′B′= ,A′D′=3,∠A′D′C′=135°, ∴A′C′= = .

故答案为: . 点评: 本题考查平面图形的直观图,考查余弦定理,比较基础. 14. (5 分)若点 P(x,y)在圆 C: (x﹣2)2+y2=3 上,则 的最大值是 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设 k= ,即 y=kx,根据直线和圆相切即可得到结论. 解答: 解:设 k= ,即 y=kx, 则∵点 P(x,y)在圆 C: (x﹣2)2+y2=3 上, ∴圆心(2,0)到直线 kx﹣y=0 的距离 d , 即 , .

平方得 4k2≤3+3k2, 即 k2≤3, 解得﹣ , 故 的最大值是 ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据点到直线的距离公式和 半径之间的关系是解决本题的关键. 15. (5 分)已知圆(x﹣3)2+y2=16 和圆(x+1)2+(y﹣m)2=1 相切,则实数 m=3 或﹣3. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据两个圆的方程,分别求出两圆半径与圆心的坐标,再根据两圆位置 关系与数量关系间的联系即可求解,注意圆相切的两种可能性. 解答: 解:根据题意得:圆 C: (x﹣3)2+y2=16 的圆心坐标为 C(3,0) ,半径 r=4; 圆 D: (x+1)2+(y﹣m)2=1 的圆心坐标为 D(﹣1,m) ,半径 R=1. 当两圆相外切时,圆心距 CD=R+r=5,即
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=



所以 m2=9,解得 m=3 或 m=﹣3. 当两圆内切时,圆心距 CD=R﹣r=3,即 = =9 此时方程

无解, 综上 m=3 或 m=﹣3. 故答案为:3 或﹣3. 点评: 本题主要考查圆与圆位置关系的知识点还考查两点之间的距离公式,圆 与圆的位置关系与数量关系间的联系.注意要进行讨论. 16. (5 分)将边长为 2 的正方形 ABCD(O 是正方形 ABCD 的中心)沿对角线 AC 折起,使得半平面 ACD 与半平面 ABC 成 θ (0°<θ <180°)的两面角,在折 起后形成的三棱锥 D﹣ABC 中,给出下列三个命题: ①不论 θ 取何值,总有 AC⊥BD; ②当 θ =90°时,△BCD 是等边三角形; ③当 θ =60°时,三棱锥 D﹣ABC 的体积是 .

其中正确的命题的序号是①②③. (把你认为正确的序号都填上) 考点: 棱锥的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 通过证明 AC⊥平面 BOD,证明 AC⊥BD,可得①正确; 过 D 作 DO⊥AC 于 O,连接 BO,利用勾股定理求得 BD 长,可得②正确; 利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积,可得③正确. 解答: 解:过 D 作 DO⊥AC 于 O,连接 BO,由题意知:BO⊥AC, ∵DO∩BO=O,∴AC⊥平面 BOD,∴AC⊥BD, ∴BD=1,即△BCD 为等边三角形,②正确; ∵O 为 AC 的中点,AB=BC,∴BO⊥AC,∴AC⊥平面 BOD,BD?平面 BOD,∴AC⊥BD, ①正确; ∵VD﹣ABC= 故答案为:①②③. = ,∴③正确;

点评: 本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法,考查了学生的空 间想象能力与计算能力. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (10 分)已知直线 l1:x+my+6=0,直线 l2: (m﹣2)x+3my+18=0. (1)若 l1∥l2,求实数 m 的值;
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(2)若 l1⊥l2,求实数 m 的值. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直 关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)对 m 分类讨论,利用两条直线平行与斜率、截距的关系即可得出; (2)对 m 分类讨论,利用两条直线垂直与斜率的关系即可得出. 解答: 解: (1)当 m=0 时,两条直线分别化为:x+6=0,﹣x+9=0,此时两条直 线不平行,因此 m=0; 当 m≠0 时,两条直线分别化为: ∵l1∥l2,∴ , , ,无解. ,

综上可得:m=0. (2)由(1)可得:m=0 时两条直线平行, m≠0,∵l1⊥l2,∴ 解得 m=﹣1 或 . ∴m=﹣1 或 . 点评: 本题考查了分类讨论、两条直线平行垂直与斜率之间的关系,属于基础 题. 18. (12 分) 如图, O 为矩形 ABCD 的中心, E, F 为平面 ABCD 同侧两点, 且 EF △CDE 和△ABF 都是等边三角形. (1)求证:FO∥平面 ECD; (2)设 BC= CD,求证:EO⊥平面 FCD. BC, =﹣1,

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 CD 中点 M,证明四边形 EFOM 为平行四边形,得到 FO∥EM,从 而证明 FO∥平面 CDE. (Ⅱ) 证明平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM,证明 CD⊥平面 EOM,可得 CD⊥EO,进而证得 EO⊥平面 CDF. 解答: 证明: (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连接 OM. 在矩形 ABCD 中,OM∥ BC,且 OM= BC,又 EF∥ BC,且 EF= BC,
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则 EF∥OM,EF=OM,连接 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. ∴FO∥EM. 又 FO 不在平面 CDE 内,且 EM 在平面 CDE 内, ∴FO∥平面 CDE. (Ⅱ)证明:连接 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE 中,CM=DM,EM⊥CD, 且 EM= CD= BC=EF, 因此, 平行四边形 EFOM 为菱形, 从而, EO⊥FM, 而 FM∩CD=M,

∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO.而 FM∩CD=M, 所以,EO⊥平面 CDF. 点评: 本题考查证明先面平行、线面垂直的方法,取 CD 中点 M,证明 CD⊥平面 EOM 是解题的难点,属于基本知识的考查. 19. (12 分)如图,已知直线 l1:4x+y=0,直线 l2:x+y﹣1=0 以及 l2 上一点 P (3,﹣2) ,求圆心在 l1 上且与直线 l2 相切于点 P 的圆的方程.

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 法一:利用待定系数法即可求圆 C 的方程; 法二:根据直线和圆相切的等价条件,联立方程组求出圆心和半径即可. 解答: 解:法一:设圆的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2, ∵圆 C 与直线 l:x+y﹣1=0 相切于点 P(3,﹣2) ,且圆心在直线 4x+y=0 上,

∴满足

,解得 a=1,b=4,r=



则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣4)2=8. 法二:过切点且与 x+y﹣1=0 垂直的直线方程为 y+2=x﹣3, 即 y=x﹣5 与 4x+y=0 联立求得圆心为(1,﹣4) , 则半径 r= = ,

则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣4)2=8.

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点评: 本题主要考查圆的标准方程的求解,以及直线和圆相切的应用,利用直 线和圆的位置关系求出圆心和半径是解决本题的关键. 20. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ ,g(x)= .

(1)若函数 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若关于 x 的方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 有唯一的实数解,求实数 a 的取值 范围. 考点: 函数奇偶性的性质;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数 f(x)是 R 上的奇函数得:f(0)=0,代入解析式列方 程,再求实数 a 的值; (2)由题意先求出 g(x)的解析式,代入方程进行化简得:22x﹣a?2x+1﹣a=0, 利用换元法转化已知的方程,根据二次函数根的分布问题,列出不等式组求出实 数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意知,f(x)是定义域为 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 a﹣ (2)因为 f(x)=a﹣ =0,解得 a=1; ,所以 g(x)= +a× = =0, ,

将方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 化为:

化简得 22x﹣a?2x+1﹣a=0, 设 t=2x,则 t>0,代入上式得 t2﹣at+1﹣a=0, 因为关于 x 的方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 有唯一的实数解, 所以关于 t 的方程 t2﹣at+1﹣a=0 有唯一的正实数解, 则 1﹣a<0 或 ,解得 a>1 或 a> ,

所以实数 a 的取值范是(

,+∞) .

点评: 本题考查函数奇偶性的性质,二次函数根的分布问题,以及有关方程根 的转化问题,考查换元法和转化思想.
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21. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 证明题. 分析: (I)欲证平面 B1AC⊥平面 ABB1A1,关键是寻找线面垂直,而 AC⊥平面 ABB1A1,又 AC?平面 B1AC,满足面面垂直的判定定理; (II)过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连接 CM,∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所 成的角,然后在三角形 A1CM 中求出此角的正弦值即可. 解答: 解:

(I)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC,又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1,又 AC?平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. (II)解:过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连接 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC. ∴∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角, ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,∴∠B1CB=30°. 设 AB=BB1=a,可得 B1C=2a,BC= ,

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∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为 点评: 本题主要考查了平面与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 22. (12 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1, 且当 x>0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x2)<3 对任意的 x∈=f (x2﹣x1)+f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1) ,从而得到函数的单调性; (3)f(ax﹣2)+f(x﹣x2)=f(ax﹣2+x﹣x2)+1<3,根据 f(1)=2 及 f(x) 2 在 R 上为增函数即得 x ﹣(a+1)x+3>0 对任意的 x∈=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1 >1+f(x1)﹣1=f(x1) , ∴f(x2)>f(x1) , 即 f(x)在 R 上为增函数; 2 2 (3)∵f(ax﹣2)+f(x﹣x )=f(ax﹣2+x﹣x )+1<3 ∴f(ax﹣2+x﹣x2)<2 又∵f(1)=2 及 f(x)在 R 上为增函数 ∴ax﹣2+x﹣x2<1 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立, 即 x2﹣(a+1)x+3>0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立. 下面对△=(a+1)2﹣12 的正负情况进行讨论: ①当△<0,即(a+1)2﹣12<0 时, ②当△=0 且 x2﹣(a+1)x+3=0 的解小于 1 时, 则 a=± 故 a=﹣ ,x= ; ,

③当△>0 且 x2﹣(a+1)x+3=0 的最大解小于 1 时, 即 0<a2+2a﹣11<a2﹣2a+1, 解得 综合所述, 或 或 , .

点评: 本题主要考查了抽象函数,及其函数的单调性和不等式的解法,着重考 查了函数的简单性质和函数恒成立问题等知识点,属于中档题.

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