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广州市2014届高三毕业班综合测试(一)(文数)


2014 届广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)
2014.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的 市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? N* ? . 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? ? 6

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? 的定义域为( A. ? ??, ?1? B. ? ??,1?
2

) C. ? ?1, ?? ? D. ?1, ?? ? ) D. 2

2.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为( A. ?2 B. ?2

C. ? 2

3.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2sin C
2 2

c 为( b

) D. 2cos C

B. 2cos B

C. 2sin B )

4.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为( A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

5.已知 x ? ?1 ,则函数 y ? x ? A. ?1 6.函数 f ? x ? ?
2

1 的最小值为( x ?1 B. 0


) C. 1 D. 2

x 的图象大致是( x ?1

1

y

y

y

y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

7.已知非空集合 M 和 N ,规定 M ? N ? x x ? M 且x ? N ,那么 M ? ? M ? N ? 等于( A. M ? N B. M ? N C. M )

?

?

) D. N

8.任取实数 a 、 b ? ? ?1,1? ,则 a 、 b 满足 a ? 2b ? 2 的概率为( A.

1 1 3 B. C. 8 4 4 ? ? ? ? ? ? 9.设 a 、 b 是两个非零向量,则使 a ? b ? a ? b 成立的一个必要非充分的条件是(
A. a ? b

D. )

7 8

?

?

B. a ? b

?

?

C. a ? ? b ? ? ? 0 ?

?

?

D. a // b

? ?

10.在数列 ? an ? 中, 已知 a1 ? 1 ,an ?1 ? an ? sin A. 1006

? n ? 1? ? ,记 S
2

n

为数列 ? an ? 的前 n 项和, 则 S2014 ?( D.1009



B. 1007 C. 1008 第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, ,每小题 5 分,满分 20 分) 11.执行如图 1 所示的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N

?

?

? 的值为

. .

12.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 2 所示,则这个四棱锥的体积是

5

2 2 正(主)视图

1 1 侧(左)视图 图2

4 俯视图

13.由空间向量 a ? ?1, 2,3 ? , b ? ?1, ?1,1? 构成的向量集合 A ? x x ? a ? kb, k ? Z ,则向量 x 的模 x 的 最小值为 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? ? sin ? ? cos ? ? ? a 与曲线 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相 交于 A 、 B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为 .
C D O A
2
图3

?

?

?

??

?

?

?

?

?

15.(几何证明选讲选做题)如图 3, PC 是圆 O 的切线,切点为点 C ,直线 PA 与圆 O 已知 PC ? 3 , ?APC 的角平分线交弦 CA 、 CB 于 D 、 A、 B 两点, E 两点, PB ? 2 ,

交于
E B P

PE 则 的值为 PD

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分)已知某种同型号的 6 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期. (1)从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,求抽到没过保质期的饮料的概率; (2)从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,求抽到已过保质期的饮料的概率.

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? (1)求实数 a 的值;

? ? ? ,0? . ? 3 ?

(2)设 g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ? 2 ,求函数 g ? x ? 的最小正周期与单调递增区间.
2

18.(本小题满分 14 分)如图 4,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是棱 D1 D 的中点,点 F 在棱 B1 B 上,且满足 B1 F ? 2 BF . (1)求证: EF ? A1C1 ; (2)在棱 C1C 上确定一点 G ,使 A 、 E 、 G 、 F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求几何体 ABFED 的体积.

D1 A1 B1

C1

E D

F
图4

C

A

B

3

19. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ? an ? 的首项为 10 , 公差为 2 , 数列 ?bn ? 满足 bn ? (1)求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? max ?an , bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . (注: max ?a, b? 表示 a 与 b 的最大值.)

n an ? 6n ,n ? N ? . 2

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 6 x ? 9 x ? 3 .
3 2

(1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)定义:若函数 h ? x ? 在区间 ? s, t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s , t ? ,则称区间 ? s , t ? 为函数 h ? x ? 的“域同 区间”.试问函数 f ? x ? 在 ? 3, ?? ? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间” ; 若不存在,请说明理由.

4

x2 y 2 21.(本小题满分 14 分)已知双曲线 E : 2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 , a 4
离心率为

???? ? ???? ? a2 3 5 ,点 P 是直线 x ? 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? QF2 ? 0 . 5 3

(1)求实数 a 的值; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、 N ,在线段 MN 上去异 于点 M 、 N 的点 H ,满足

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

5

参考答案 一选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。 1C 2A 3B 4A 5C 6A 7B 8D 9B 10C 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题。 ) 题号 答案 11 7 12 4 13 14 -1 或-5 15

13

2 3

(1)解:记“从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,抽到没过保质期的饮料”为事件 A,???1 分 从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,共有 6 种不同的抽法.?????????????2 分 因为 6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期,所以事件 A 包含 4 种情形.????????3 分

6

(2)由(1)得,

?1 ? 3 ? f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? ? ?

?

? ?? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ?
? 2 sin(x ?

?
3

)?

??????7 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 2? ??????????????????????8 分

7

因为函数 y ? sin x 的单调区间为 ?2k? ? 所以当 2k? ? 即 2k? ?

? ?

?
2

,2k? ?

??
2? ?

(k ? Z ) ??????????8 分

?
2

? x?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,函数 f ( x) 单调递增,??????10 分

5? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 时,函数 f ( x) 单调递增. 6 6
? ? 5? ?? ,2k? ? ? (k ? Z ) ????????12 分 6 6?

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?2k? ?

8

9

10

所以当 x ? 1 时,函数f ( x)有极大值为 1,当x ? 3时,函数f ( x)有极小值为- 3. ???5 分 (2)假设函数 f ( x) 在 (3,??) 上存在“域同区间” [ s, t ](3 ? s ? t ) ,??????6 分 由(1)知函数 f ( x) 在 (3,??) 上单调递增.??????????????????7 分
3 2 ? f (s) ? s ? ?s ? 6 s ? 9 s ? 3 ? s, 所以 ? 即? 3 ???????????????????8 分 2 ? f (t ) ? t. ? ?t ? 6t ? 9t ? 3 ? t.

(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 (3,0). 设点 p? , t ?, Q( x0 , y0 ) , 3 3 ?3 ?

11

因为 PF2 ? QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? 所以 ty0 ?

? ?

5 ? ,?t ? ? (3 ? x0 ,? y0 ) ? 0 3 ?

4 ( x0 ? 3) .????????????????????????3 分 3
x0 y ? 0 5 4
2 2

因为点 Q( x0 , y0 ) 在双曲 E 上,所以
2

? 1 ,即 y 02 ?

4 2 ( x0 ? 5) .??4 分 5

所以 K PQ ? K OQ

y ? t y0 y ? ty0 .????????????????5 分 ? 0 ? ? 0 5 x0 5 2 x0 ? x0 ? x0 3 3

4 2 4 ( x0 ? 5) ? ( x0 ? 3) 4 3 ?5 ? . 5 2 5 x0 ? x0 3
所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值

4 .???????????????6 分 5

4 x ? ?2 x2 4 2 4 2 2 ? 4. 将 y ? ( x1 ? 5), y2 ? ( x2 ? 5) 代入⑥,得 y ? ? 1 5 1 ? ?2 5 5
2 2

2 1



12

将②③代入上式得

150 (5k 2 ? 6k ? 9) 30(3x ? 5)(5k 2 ? 3k ) ? ? 10 x ? 0 9(5k 2 ? 4) 9(5k 2 ? 4)

13


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